Matrix Defini'on : A matrix is a rectangular array - PDF document

3/23/13 ¡ Matrix ¡ ¡ ¡ ¡Defini'on : ¡A ¡ matrix ¡ is ¡a ¡rectangular ¡array ¡of ¡ Matrices numbers. ¡A ¡matrix ¡with ¡ m ¡ rows ¡and ¡ n ¡columns ¡ (Rosen, Chapter 2.6) is ¡called ¡an ¡ m ¡× ¡n ¡ matrix. ¡ ¡ TOPICS – The ¡plural ¡of ¡matrix ¡is ¡ matrices . ¡ – ¡A ¡matrix ¡with ¡the ¡same ¡number ¡of ¡rows ¡as ¡columns ¡is ¡called ¡ square . ¡ ¡ • Matrix Addition – Two ¡matrices ¡are ¡ equal ¡if ¡they ¡have ¡the ¡same ¡number ¡of ¡rows ¡and ¡the ¡ • Matrix Multiplication same ¡number ¡of ¡columns ¡and ¡the ¡corresponding ¡entries ¡in ¡every ¡ • Identity Matrices posiAon ¡are ¡equal. ¡ • Matrix Transpose ¡ 3 ¡ × ¡ 2 ¡ matrix CS 160, Spring Semester 2013 1 NotaAon ¡ Matrix ¡ArithmeAc: ¡AddiAon ¡ • Let ¡ m ¡and ¡ n ¡be ¡posiAve ¡integers ¡and ¡let: ¡ ¡ ¡ ¡Defini'on : ¡Let ¡ A ¡= ¡[a ij ] ¡ and ¡B ¡= ¡[b ij ] ¡ ¡ be ¡ m× ¡n ¡ matrices. ¡The ¡sum ¡of ¡ A ¡and ¡ B , ¡denoted ¡by ¡ A ¡+ ¡ B , ¡is ¡the ¡ m× ¡n ¡ matrix ¡that ¡has ¡ a ij ¡ ¡+ ¡ b ij ¡ ¡ ¡ ¡ as ¡its ¡( i,j )th ¡element. ¡ In ¡other ¡words, ¡ A ¡+ ¡ B ¡= ¡[ a ij ¡ ¡+ ¡ b ij ]. • The ¡ i th ¡row ¡of ¡ A ¡is ¡the ¡ 1 × ¡n ¡ matrix ¡ [ a i 1 , ¡a i 2 ,…,a in ]. ¡ ¡ ¡Example : • The ¡ j th ¡column ¡of ¡ A ¡is ¡the ¡ m ¡× ¡ 1 ¡matrix: • The ¡( i,j )th ¡ ¡element ¡ or ¡entry ¡ of ¡ A ¡ is ¡the ¡element ¡ a ij . ¡ ¡ ¡ ¡Not Note: ¡Matrices ¡of ¡different ¡sizes ¡can ¡not ¡be ¡added. ¡ • We ¡can ¡use ¡ A ¡= ¡[ a ij ¡ ] ¡to ¡denote ¡the ¡matrix ¡with ¡its ¡( i,j )th ¡ element ¡equal ¡to ¡ a ij . ¡ CS 160, Spring Semester 2013 2 CS 160, Spring Semester 2013 3 1 ¡

3/23/13 ¡ IllustraAon ¡of ¡Matrix ¡ Matrix ¡MulAplicaAon ¡ MulAplicaAon ¡ ¡ • The ¡Product ¡of ¡ A ¡= ¡[ a ij ] ¡and ¡ B ¡= ¡[ b ij ] ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Defini'on : ¡Let ¡ A ¡ be ¡an ¡ n × ¡ k ¡ matrix ¡and ¡ B ¡ be ¡a ¡ k ¡ × ¡ n ¡ matrix . ¡The ¡ product ¡of ¡ A ¡and ¡ B , ¡denoted ¡by ¡ AB , ¡is ¡the ¡ m ¡ × ¡ n ¡ matrix ¡that ¡has ¡its ¡( i,j )th ¡element ¡ equal ¡to ¡the ¡sum ¡of ¡the ¡products ¡of ¡the ¡corresponding ¡elments ¡from ¡ the ¡ i th ¡row ¡of ¡A ¡and ¡the ¡ j th ¡column ¡of ¡B. ¡In ¡other ¡words, ¡ ¡if ¡� AB ¡= ¡[ c ij ] ¡then ¡ c ij ¡ = ¡ a i 1 b 1j ¡ + ¡ a i 2 b 2 j ¡+ ¡… ¡+ ¡ a kj b 2 j . ¡ ¡ ¡ ¡Example : ¡ ¡ ¡ ¡ The ¡product ¡of ¡two ¡matrices ¡is ¡undeNined ¡when ¡the ¡number ¡of ¡columns ¡in ¡ the ¡Nirst ¡matrix ¡is ¡not ¡the ¡same ¡as ¡the ¡number ¡of ¡rows ¡in ¡the ¡second . CS 160, Spring Semester 2013 4 CS 160, Spring Semester 2013 5 Matrix ¡MulAplicaAon ¡is ¡not ¡ IdenAty ¡Matrix ¡and ¡Powers ¡of ¡ CommutaAve ¡ Matrices ¡ ¡ ¡ ¡Defini'on : ¡The ¡ iden7ty ¡matrix ¡of ¡order ¡n ¡ is ¡the ¡ m ¡ × ¡ n ¡matrix ¡ I n ¡ ¡= ¡[ a ij ], ¡where ¡ a ij ¡ ¡= ¡1 ¡if ¡ i ¡= ¡ j ¡ ¡ ¡ ¡ Example : ¡Let ¡ and ¡a ij ¡ ¡= ¡0 ¡if ¡ i ≠ j . ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Does ¡ AB ¡= ¡BA ? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡AI n ¡ ¡= ¡ I m A ¡= ¡ ¡= ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Solu'on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡when ¡ A ¡is ¡an ¡ m ¡ × ¡ n ¡ matrix ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡AB ¡ ≠ ¡ BA ¡ CS 160, Spring Semester 2013 6 CS 160, Spring Semester 2013 7 2 ¡

3/23/13 ¡ Transposes ¡of ¡Matrices ¡ Transposes ¡of ¡Matrices ¡ ¡ ¡ ¡Defini'on : ¡Let ¡ A ¡= ¡[ a ij ] ¡be ¡an ¡ m ¡ × ¡ n ¡matrix. ¡The ¡ ¡ ¡ ¡Defini'on : ¡A ¡square ¡matrix ¡ A ¡ ¡is ¡called ¡symmetric ¡if ¡ ¡ transpose ¡of ¡ A , ¡denoted ¡by ¡ A t ¡,is ¡the ¡ n ¡ × ¡ m ¡ A ¡= ¡A t . ¡Thus ¡ A ¡= ¡[ a ij ] ¡is ¡symmetric ¡if ¡ ¡ a ij ¡ ¡= ¡ a ji ¡for ¡ i ¡ matrix ¡obtained ¡by ¡interchanging ¡the ¡rows ¡ and ¡ j ¡with ¡ ¡1≤ ¡ i ≤ ¡ n ¡ ¡and ¡1≤ ¡ j ≤ ¡ n . ¡ and ¡columns ¡of ¡ A . ¡ ¡ ¡ ¡ If ¡ A t ¡= ¡[ b ij ], ¡then ¡ ¡ b ij ¡ ¡= ¡a ji ¡for ¡ i ¡=1,2, …, n ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ and ¡ j ¡= ¡1,2, ¡ ... , m . ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Symmetric ¡ matrices ¡do ¡not ¡change ¡when ¡their ¡ rows ¡and ¡columns ¡are ¡interchanged. CS 160, Spring Semester 2013 8 CS 160, Spring Semester 2013 9 3 ¡