Outline Integer representa+on and opera+ons Bit opera+ons - PowerPoint PPT Presentation

Outline ¡ • Integer ¡representa+on ¡and ¡opera+ons ¡ • Bit ¡opera+ons ¡ • Floa+ng ¡point ¡numbers ¡ Reading ¡Assignment: ¡ – Chapter ¡2 ¡Integer ¡& ¡Float ¡Number ¡Representa+on ¡ related ¡content ¡(Sec+on ¡2.2, ¡2.3, ¡2.4) ¡ 1 ¡

Why ¡we ¡need ¡to ¡study ¡the ¡low ¡level ¡ representa4on? ¡ 1 ¡and ¡3 ¡ è ¡exclusive ¡OR ¡(^) ¡ 2 ¡and ¡4 ¡ è ¡and ¡(&) ¡ 5 ¡ è ¡or ¡(|) ¡ 01100 ¡ ¡carry* ¡ * ¡Always ¡start ¡ ¡ ¡0110 ¡ ¡a ¡ with ¡a ¡carry-­‑in ¡ of ¡0 ¡ ¡ ¡0111 ¡ ¡b ¡ 01101 ¡ ¡a+b ¡ Did ¡it ¡work? ¡ What ¡is ¡a? ¡ ¡ What ¡is ¡b? ¡ What ¡is ¡a+b? ¡ What ¡if ¡8 ¡bits ¡instead ¡of ¡4? ¡ 2 ¡

Integer ¡Representa4on ¡ • Different ¡encoding ¡scheme ¡than ¡float ¡ • *Total ¡number ¡of ¡values: ¡2 w ¡ – where ¡w ¡is ¡the ¡bit ¡width ¡of ¡the ¡data ¡type ¡ • The ¡le[-­‑most ¡bit ¡is ¡the ¡sign ¡bit ¡if ¡using ¡a ¡signed ¡data ¡type ¡ (typically… ¡B2T). ¡ • Unsigned ¡ à ¡non-­‑neg ¡numbers ¡(>=0) ¡ – Minimum ¡value: ¡0 ¡ – *Maximum ¡value: ¡2 w -­‑1 ¡ • Signed ¡ à ¡neg, ¡zero, ¡and ¡pos ¡numbers ¡ – *Minimum ¡value: ¡-­‑2 w-­‑1 ¡ – *Maximum ¡value: ¡2 w-­‑1 -­‑1 ¡ ¡ ¡ * ¡Where ¡w ¡is ¡the ¡bit ¡width ¡of ¡the ¡data ¡type ¡ 3 ¡

Integer ¡Decoding ¡ • Binary ¡to ¡Decimal ¡(mult ¡of ¡powers) ¡ CODE B2U B2T 0000 0 0 • Unsigned ¡= ¡simple ¡binary ¡= ¡B2U ¡ 0001 1 1 0010 2 2 – You ¡already ¡know ¡how ¡to ¡do ¡this ¡:o) ¡ 0011 3 3 • 0101 ¡= ¡5, ¡1111 ¡= ¡F, ¡1110 ¡= ¡E, ¡1001 ¡= ¡9 ¡ 0100 4 4 • Signed ¡= ¡two’s ¡complement ¡= ¡B2T* ¡ 0101 5 5 0110 6 6 – 0 ¡101 ¡= ¡unsigned ¡= ¡5 ¡ 0111 7 7 – 1 ¡111 ¡= ¡-­‑1*2 3 ¡+ ¡7 ¡= ¡-­‑8 ¡+ ¡7 ¡= ¡-­‑1 ¡ 1000 8 -8 1001 9 -7 – 1 ¡110 ¡= ¡-­‑1*2 3 ¡+ ¡6 ¡= ¡-­‑8 ¡+ ¡6 ¡= ¡-­‑2 ¡ 1010 10 -6 – 1 ¡001 ¡= ¡-­‑1*2 3 ¡+ ¡1 ¡= ¡-­‑8 ¡+ ¡1 ¡= ¡-­‑7 ¡ 1011 11 -5 1100 12 -4 – Another ¡way, ¡if ¡sign ¡bit ¡= ¡1 ¡ 1101 13 -3 • invert ¡bits ¡and ¡add ¡1 ¡ 1110 14 -2 1111 15 -1 * ¡reminder: ¡le[ ¡most ¡bit ¡is ¡sign ¡bit ¡ 4 ¡

B2O ¡& ¡B2S ¡ • One’s ¡complement ¡= ¡bit ¡ CODE B2U B2T B2O B2S complement ¡of ¡B2U ¡ 0000 0 0 0 0 0001 1 1 1 1 • Signed ¡Magnitude ¡= ¡le[ ¡ 0010 2 2 2 2 0011 3 3 3 3 most ¡bit ¡set ¡to ¡1 ¡with ¡B2U ¡ 0100 4 4 4 4 for ¡the ¡remaining ¡bits ¡ 0101 5 5 5 5 0110 6 6 6 6 • Both ¡include ¡neg ¡values ¡ 0111 7 7 7 7 • Min/max ¡= ¡-­‑(2 w-­‑1 -­‑1) ¡ ¡to ¡ ¡ 1000 8 -8 -7 -0 1001 9 -7 -6 -1 2 w-­‑1 -­‑1 ¡ 1010 10 -6 -5 -2 • Pos ¡and ¡neg ¡zero ¡ 1011 11 -5 -4 -3 1100 12 -4 -3 -4 • Difficul+es ¡with ¡arithme+c ¡ 1101 13 -3 -2 -5 op+ons ¡ 1110 14 -2 -1 -6 1111 15 -1 -0 -7 5 ¡

Signed ¡vs ¡Unsigned ¡ • Cas+ng… ¡ ¡ CODE B2U B2T 0000 0 0 • Signed ¡to ¡unsigned… ¡ ¡ 0001 1 1 • Unsigned ¡to ¡signed… ¡ 0010 2 2 0011 3 3 ¡ 0100 4 4 *** ¡Changes ¡the ¡meaning ¡of ¡the ¡value, ¡but ¡ 0101 5 5 0110 6 6 not ¡it’s ¡bit ¡representa+on ¡ 0111 7 7 1000 8 -8 1001 9 -7 • No+ce, ¡the ¡difference ¡of ¡16 ¡i.e. ¡le[ ¡most ¡ 1010 10 -6 bit ¡ ¡ à ¡ 1011 11 -5 1100 12 -4 – Unsigned ¡= ¡2 3 ¡= ¡8 ¡ 1101 13 -3 – Signed ¡= ¡-­‑2 3 ¡ = ¡-­‑8 ¡ 1110 14 -2 1111 15 -1 6 ¡

Signed ¡vs ¡Unsigned ¡(cont) ¡ • When ¡an ¡opera+on ¡is ¡performed ¡where ¡one ¡operand ¡is ¡ signed ¡and ¡the ¡other ¡is ¡unsigned, ¡ C ¡implicitly ¡casts ¡the ¡ signed ¡argument ¡to ¡unsigned ¡ and ¡performs ¡the ¡opera+ons ¡ assuming ¡the ¡numbers ¡are ¡nonnega+ve. ¡ – Since ¡bit ¡representa+on ¡does ¡not ¡change, ¡it ¡really ¡doesn’t ¡ maker ¡arithme+cally ¡ – However… ¡rela+onal ¡operators ¡have ¡issues ¡ ß ¡1 ¡= ¡TRUE ¡and ¡0 ¡= ¡FALSE ¡ EXPRESSION ¡ TYPE ¡ EVALUATION ¡ 0 ¡= ¡= ¡0u ¡ unsigned ¡ 1 ¡ -­‑1 ¡< ¡0 ¡ signed ¡ 1 ¡ -­‑1 ¡< ¡0u ¡ unsigned ¡ 0* ¡ ß #define ¡ ¡INT_MIN ¡ ¡ ¡(-­‑INT_MAX ¡– ¡1 ¡ 2147483647 ¡> ¡-­‑2147483647-­‑1 ¡ signed ¡ 1 ¡ ex. ¡w=4 ¡INT_MIN ¡= ¡-­‑8 ¡ ¡INT_MAX=7 ¡ 2147483647u ¡> ¡-­‑2147483647-­‑1 ¡ unsigned ¡ 0* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡*** ¡how ¡is ¡-­‑8 ¡represented ¡in ¡T2U? ¡ ¡ 2147483647 ¡> ¡(int) ¡2147483647u ¡ signed ¡ 1* ¡ -­‑1 ¡> ¡-­‑2 ¡ signed ¡ 1 ¡ (unsigned) ¡-­‑1 ¡> ¡-­‑2 ¡ unsigned ¡ 1 ¡ 7 ¡

Sign ¡Extend ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Trunca4on ¡ ¡ Drops ¡the ¡high ¡order ¡w-­‑k ¡ • Already ¡have ¡an ¡ bytes ¡when ¡trunca+ng ¡a ¡ intui+ve ¡sense ¡of ¡this ¡ w-­‑bit ¡number ¡to ¡a ¡k-­‑bit ¡ number ¡ ¡ w ¡= ¡8 ¡ 4-­‑bit ¡to ¡3-­‑bit ¡trunca+on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡+27 ¡= ¡ ¡ ¡00011011 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡=> ¡invert ¡+ ¡1 ¡for ¡-­‑27 ¡= ¡ ¡ ¡11100101 ¡ ¡ ¡ UNSIGNED ¡– ¡ TWO'S ¡COMP ¡– ¡ w=16 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡00000000 ¡00011011 ¡ HEX ¡ B2U ¡ B2T ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡11111111 ¡11100101 ¡ orig ¡ trunc ¡ orig ¡ trunc ¡ orig ¡ trunc ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ For ¡unsigned ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ Fill ¡to ¡le[ ¡with ¡zero ¡ 9 ¡ 1 ¡ 9 ¡ 1 ¡ -­‑7 ¡ 1 ¡ For ¡signed ¡ B ¡ 3 ¡ 11 ¡ 3 ¡ -­‑5 ¡ 3 ¡ Repeat ¡sign ¡bit ¡ F ¡ 7 ¡ 15 ¡ 7 ¡ -­‑1 ¡ -­‑1 ¡ 8 ¡

Integer ¡Addi4on ¡ ¡ • Signed ¡or ¡unsigned… ¡that ¡is ¡the ¡ques+on! ¡ Unsigned ¡4-­‑bit ¡BTU ¡ Signed ¡4-­‑bit ¡B2T ¡ 0 ¡to ¡16 ¡are ¡valid ¡values ¡ -­‑8 ¡to ¡7 ¡are ¡valid ¡values ¡ • • Only ¡checking ¡carry-­‑out ¡ Checking ¡carry-­‑in ¡AND ¡carry-­‑out ¡ • • x ¡ y ¡ x+y ¡ result ¡ x ¡ y ¡ x+y ¡ result ¡ -­‑8 ¡ -­‑5 ¡ -­‑13 ¡ 3 ¡ 8 ¡ 5 ¡ 13 ¡ 13 ¡ 1000 ¡ 1011 ¡ 10011 ¡ negOF ¡ 1000 ¡ 0101 ¡ 1101 ¡ ok ¡ -­‑8 ¡ -­‑8 ¡ -­‑16 ¡ 0 ¡ 8 ¡ 7 ¡ 15 ¡ 15 ¡ 1000 ¡ 1000 ¡ 10000 ¡ negOF ¡ 1000 ¡ 0111 ¡ 1111 ¡ ok ¡ -­‑8 ¡ 5 ¡ -­‑3 ¡ -­‑3 ¡ 12 ¡ 5 ¡ 17 ¡ 1 ¡ 1000 ¡ 0101 ¡ 11101 ¡ ok ¡ 1100 ¡ 0101 ¡ 10001 ¡ OF ¡ 2 ¡ 5 ¡ 7 ¡ 7 ¡ 0010 ¡ 0101 ¡ 00111 ¡ ok ¡ Nega+ve ¡overflow ¡when ¡x+y ¡< ¡-­‑2 w-­‑1 ¡ 5 ¡ 5 ¡ 10 ¡ -­‑6 ¡ Pos+ve ¡overflow ¡when ¡x+y ¡>= ¡2 w-­‑1 ¡ 0101 ¡ 0101 ¡ 01010 ¡ posOF ¡ 9 ¡