Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 6.4 ¡Surface ¡Area ¡ ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Surface ¡Area ¡ • To ¡find ¡the ¡surface ¡area ¡of ¡a ¡solid ¡of ¡revolu?on, ¡we ¡take ¡ a ¡par??on ¡and ¡approximate ¡by ¡strips/bands. ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Riemann ¡Sum ¡Approxima?on ¡ • The ¡surface ¡area ¡of ¡a ¡band ¡can ¡be ¡calculated ¡in ¡terms ¡of ¡it’s ¡ the ¡radius ¡(distance ¡to ¡the ¡axis ¡of ¡rota?on) ¡and ¡its ¡arc ¡length. ¡ Z b n ∆ x k ! 0 X p p 2 π · f ( x k ) 1 + f 0 ( x k ) 2 ∆ x k 2 π f ( x ) 1 + f 0 ( x ) 2 dx − − − − − → a k =1 Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Surface ¡Area ¡Formula ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Rules ¡ Z b In general the surface area formula is 2 π rds . a y ¡= ¡f(x) ¡ x ¡= ¡g(y) ¡ r = f ( x ) r = y x-‑axis ¡ p p ds = 1 + f 0 ( x ) 2 dx ds = 1 + g 0 ( y ) 2 dy r = x r = g ( y ) y-‑axis ¡ p p ds = 1 + f 0 ( x ) 2 dx ds = 1 + g 0 ( y ) 2 dy ¡ • Note: ¡when ¡rotate ¡about ¡a ¡general ¡line, ¡add ¡appropriate ¡ constant ¡term ¡in ¡the ¡radius ¡r. ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Examples ¡ 1. Find the area of the surface formed by revolving the curve y = √ x ¡ ¡ ¡ ¡ on the interval 0 ≤ x ≤ 2 about the x -axis 2. Find the area of the surface formed by revolving the curve y = x 2 on √ the interval 0 ≤ x ≤ 2 about the y -axis. Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Examples ¡ 3. Find the surface area of sphere of radius a . ¡ ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
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