Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 8.3 ¡Trigonometric ¡Integrals ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Three ¡types ¡of ¡integrals ¡ Three types of i Z sin m x · cos n x dx 1. ¡ ¡ ¡ ¡ ! Z tan m x · sec n x dx 2. ! Z 3. sin( mx ) sin( nx ) dx Z cos( mx ) cos( nx ) dx Z sin( mx ) cos( nx ) dx Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Products ¡of ¡Sine ¡and ¡Cosine ¡ roducts of sine and cosi Z sin m x · cos n x dx ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡( m , n ¡are ¡posiEve ¡integers) ¡ form: ¡ a) m, ¡n: ¡one ¡or ¡both ¡= ¡1 ¡ Use ¡ u -‑subsEtuEon. ¡Let ¡ u ¡= ¡the ¡trig ¡funcEon ¡with ¡power ¡≠ ¡1. ¡ b) m, ¡n: ¡one ¡(or ¡both) ¡odd ¡(both ¡greater ¡than ¡1) ¡ 1. Separate ¡one ¡factor ¡from ¡the ¡odd ¡exponent. ¡ Separate one factor from t 2. Use ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡to ¡transform ¡the ¡remaining ¡even ¡power ¡into ¡ Use to t sin 2 x + cos 2 x = 1 the ¡other ¡trig ¡funcEon. ¡ 3. Use ¡u-‑subsEtuEon ¡to ¡finish ¡the ¡problem ¡(let ¡ u ¡= ¡the ¡“other” ¡trig ¡ funcEon) ¡ c) m, ¡n: ¡both ¡even ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Replace ¡all ¡even ¡powers ¡using ¡the ¡double-‑angle ¡formula: ¡ Replace all powers using the double-angle formulas ¡ ¡ sin 2 x = 1 2 (1 − cos 2 x ) and cos 2 x = 1 2 (1 + cos 2 x ) Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡ Z cos 5 x sin 2 x dx 1. ¡ ¡ 1. Evaluate Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡ Z π cos 4 x sin 2 x dx ¡ ¡ ¡ 2. Evaluate 0 Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡ Z π cos 10 x sin x dx 3. ¡ ¡ 3. Evaluate 0 Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Products ¡of ¡tangent ¡and ¡secant ¡ tan m x · sec n xdx R ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ a) m odd, n positive 1. Factor out (tan x sec x ), which is the derivative of sec x . 2. Use tan 2 x = sec 2 x − 1 to transform the remaining even power of tan x into sec x . 3. Use u -substitution to finish the problem ( u = sec x ) b) n even 1. Factor out (sec 2 x ) which is the derivative of tan x . 2. Use sec 2 x = tan 2 x +1 to transform the remaining even power of sec x into tan x 3. Use u -substitution to finish the problem ( u = tan x ) d c) Other cases: there is no set method... Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡ Z tan 3 x sec 3 x dx 4. ¡ ¡ 5. Evaluate Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡ Z tan 2 x sec 4 x dx 5. ¡ 6. Evaluate ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡ Other ¡cases: ¡ Z 6. ¡ ¡ ¡Evaluate ¡ uate a tan x dx Z 7. Evaluate ¡ ¡ nd sec x dx. Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Linear ¡factors ¡of ¡sine ¡and ¡cosine ¡ Trig. Function ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. sin mx sin nx dx cos mx cos nx dx sin mx cos nx dx ¡ a) If ¡m≠n, ¡ change ¡the ¡product ¡into ¡a ¡sum ¡using ¡the ¡following ¡ idenEEes: ¡ ¡ 1 ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) sin sin cos cos mx nx = m n x m + n x − − 2 1 ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) cos mx cos nx = cos m n x cos m + n x − + 2 1 ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) sin mx cos nx = sin m n x sin m + n x − + 2 b) If ¡m=n, ¡the ¡formulas ¡above ¡become ¡double-‑angle ¡formulas ¡ Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
Example ¡ Z 8. ¡ ¡ 8. Evaluate sin(3 x ) cos(5 x ) dx Math ¡104 ¡-‑ ¡Yu ¡
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