Math 104 Calculus 10.1 Sequences Math 104 - Yu - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 10.1 ¡Sequences ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Infinite ¡sequences ¡ ¡ ¡ ¡ • A sequence is an ordered list of numbers { a 1 , a 2 , a 3 , · · · , a n , · · · } . • If we have an formula for the n -th term we usually write { a n } or { a n } ∞ n =1 . � ∞ ⇢ ⇢ 1 4 , 2 9 , 3 � n Example: = 16 , · · · ( n + 1) 2 n =1 • Note that the index does not have to start with 1. n n ⇢ 3 � 8 , 4 16 , 5 o ∞ Example: n =3 = 32 , · · · 2 n Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Graphing ¡sequences ¡ 10.1 Sequence n ¡ ¡ input : positive integers a = n 2 ( ) n + 1 output : terms of the sequence           1 2 3 4 5 …           1, , 2, , 3, , 4, , 5, ,           4 9 16 25 36 These isolated points make up the graph of the sequence. It seems as though the terms of the sequence are approaching 0 as n → ∞ n n lim = lim 2 2 ( ) n + 2 n + 1 n n n + 1 →∞ →∞ 0 1 n = lim1 = 0 + 2 + 1 n →∞ n 2 n 0 0 ( ) p n ( ) lim = 0 p and polynomials q ( ) q n n →∞ ( ) ( ) when deg num . < deg. denom . Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Limit ¡of ¡a ¡sequence ¡ • In general, if the terms of a sequence are approaching a finite number ¡ ¡ ¡ ¡ L , we say that the sequence converges to L , and write lim n →∞ a n = L or a n → L when n → ∞ . • If the limit does not exists, we say that the sequence diverges . • If lim n →∞ a n = ∞ we say that the sequence diverges to infinity . If n →∞ a n = −∞ , we say that the sequence diverges to negative lim infinity . Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 
 
 
 
 
 
 Examples ¡ ⇢ 1 ¡ ¡ � ⇢ � 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 converges to 0. 
 = 5 . . . n diverges. 
 { ( − 1) n } = { − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , . . . } n o cos( n π 2 ) = { 0 , − 1 , 0 , 1 , 0 , − 1 , 0 , 1 , . . . } diverges ⇢ n 2 � ⇢ 1 � 3 , 4 4 , 9 5 , 16 6 , 25 diverges to = 7 . . . ∞ . n + 2 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

OperaDons ¡on ¡limits ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Sandwich ¡theorem ¡ ¡ ¡ ¡ ! ! Example: lim cos( n ) − 1 n ≤ cos( n ) ≤ 1 = 0 , since n. n n Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Ideas ¡from ¡limits ¡of ¡funcDons ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 Examples ¡ Determine ¡if ¡the ¡following ¡sequences ¡converge ¡or ¡diverge. ¡If ¡the ¡ sequence ¡converges, ¡find ¡the ¡limit. ¡ ⇢ 3 n + 4 � 1. 
 5 n − 2 (r ) n + 1 2. 9 n + 1 ! ⇢ ( − 1) n log n � 3. n ! π n 2 ⇢ ✓ ◆� 4. sin 2 n 2 + 2 n + 4 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Well-­‑known ¡limits ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Other ¡useful ¡rules ¡ ¡ n →∞ | a n | = 0, then lim 1. If lim n →∞ a n = 0. ¡ ¡ ¡  convergent to 0 if − < 1 r < 1  2. ¡ { } n  3. The sequence r is convergent to 1 r = 1   divergent for all other values of r r Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Monotonic ¡Sequence ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡