Math 104 Calculus 8.1 & 8.2 Integra:on by Parts - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 8.1 ¡& ¡8.2 ¡Integra:on ¡by ¡Parts ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Integra:on ¡by ¡Parts ¡ • Reversing ¡the ¡product ¡rule ¡for ¡deriva:ves ¡we ¡obtain ¡ ¡ • Write ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ u = f(x) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ and ¡ ¡ ¡ dv = g’(x)dx ¡ ¡ ¡ ¡ ¡then ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ du = f’(x)dx ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ v = g(x) • The ¡formula ¡can ¡be ¡wriIen ¡as ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

The ¡Case ¡of ¡Definite ¡Integrals ¡ • Using ¡integral ¡by ¡parts ¡and ¡the ¡Fundamental ¡Theorem ¡of ¡ Calculus, ¡we ¡get ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Trading ¡Integrals ¡ • We ¡are ¡trading ¡in ¡one ¡integral ¡for ¡another, ¡this ¡will ¡only ¡work ¡ if ¡the ¡new ¡integral ¡is ¡easier ¡to ¡evaluate. ¡ Z • E.g., ¡let’s ¡evaluate ¡ xe x dx • Wrong ¡way: ¡ Z x 2 u = e x du = e x dx xe x dx = x 2 Z 2 e x − 2 e x dx v = x 2 / 2 dv = xdx • Right ¡way: ¡ Z Z u = x du = dx xe x dx = xe x − e x dx dv = e x dx v = e x = xe x − e x + C • Principle: ¡Choose ¡ u ¡ that ¡becomes ¡simpler ¡when ¡ differen:ated, ¡but ¡make ¡sure ¡ dv ¡can ¡be ¡integrated. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

LIATE ¡hierarchy ¡mnemonic ¡ • L ogarithmic ¡ • I nverse ¡trigonometric ¡ • A lgebraic ¡ • T rigonometric ¡ • E xponen:al ¡ • Choose ¡ u ¡higher ¡up ¡and ¡ dv ¡lower ¡down ¡the ¡list. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 Examples ¡ Z 2 ¡ ¡ ¡ 1. Evaluate x ln( x ) dx 1 Z 2. Evaluate ln( x ) dx Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Examples ¡ Z ¡ ¡ ¡ ¡ x 2 e 5 x dx 3. Evaluate Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Shortcut ¡Method ¡ • Shortcut ¡method ¡works ¡when ¡the ¡integrand ¡is ¡a ¡product ¡of ¡a ¡ polynomial ¡and ¡an ¡exponen:al ¡func:on ¡or ¡a ¡trigonometry ¡ func:on. ¡ • Step ¡1: ¡Differen:ate ¡the ¡polynomial ¡down ¡to ¡zero ¡on ¡the ¡leY ¡ column ¡of ¡a ¡table ¡ • Step ¡2: ¡ Integrate ¡the ¡other ¡func:on ¡the ¡same ¡number ¡of ¡ :mes ¡on ¡the ¡right ¡column ¡of ¡the ¡table ¡ • Step ¡3: ¡ Mul:ply ¡along ¡down ¡diagonal ¡and ¡sum ¡with ¡ alterna:ng ¡signs, ¡star:ng ¡with ¡plus. ¡ Diff Int 5 x 2 x e + ∫ 5 x 1 2 x e 2 5 x 2 5 x 5 x 5 x 1 2 2 x e dx = x e xe + e + C 5 − 5 25 125 − 5 x 1 e 2 25 + 5 x 1 e 0 125 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 Examples ¡ Z 1 ¡ ¡ ¡ ¡ 4. Evaluate x cos( π x ) dx 0 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 5. Find the volume of the solid of revolution formed by rotating, about the y -axis, the region bounded by the curves y = cos( π x/ 2) , y = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 . Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 Example ¡ Z √ 3 ¡ ¡ 6. Evaluate arctan(1 /x ) dx 1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 Example ¡ Z e − x sin( x ) dx ¡ ¡ 7. Evaluate Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Warning ¡ • Never ¡forget ¡your ¡old ¡friend: ¡u-­‑subs:tu:on ¡ Z xe x 2 dx • E.g., ¡evaluate ¡ ¡ uate • In ¡this ¡case, ¡integra:on ¡by ¡parts ¡does ¡not ¡work. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡