Math 104 Calculus 10.2 Infinite Series Math 104 - - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 10.2 ¡Infinite ¡Series ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Infinite ¡series ¡ • Given ¡a ¡sequence ¡we ¡try ¡to ¡make ¡sense ¡of ¡the ¡infinite ¡ sum ¡of ¡its ¡terms. ¡ ¡ • Example: a n = 1 ¡ 2 n s 1 = a 1 = 1 2 s 2 = a 1 + a 2 = 1 2 + 1 4 = 0 . 75 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 = 1 2 + 1 4 + 1 8 = 0 . 875 s 8 = a 1 + · · · + a 8 = 1 1 2 + · · · + 256 = 0 . 996 s 20 = 0 . 99999905 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Infinite ¡series ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 Geometric ¡series ¡ Geometric series • A geometric series is one in which each term is obtained ¡ ¡ ¡ ¡ from the preceding one by multiplying it by the common ratio r . 
 ∞ ar n − 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + · · · X k =1 • We have • Does not converge for some values of r s n = a + ar + ar 2 + · · · + ar n − 1 ∞ rs n = ar + ar 2 + ar 3 + · · · + ar n ar n − 1 = a + a + a + a + · · · → ∞ X r = 1 then s n − rs n = a − ar n k =1 ∞ ar n − 1 = − a + a − a + a − a · · · s n = a (1 − r n ) X r = − 1 then 1 − r k =1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Geometric ¡series ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Geometric ¡series ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ∞ 4 n = 1 1 X 3 n =1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

RepeaEng ¡decimals ¡ • We can use geometric series to convert repeating ¡ ¡ ¡ decimals to fractions. • Example: 1 . 23 = 1 . 2323232323 . . . 1 . 23 = 1 + 23 23 23 100 + 10000 + 1000000 + · · · ∞ 23 / 100 23 X 1 . 23 = 1 + 100 n = 1 + 1 − 1 / 100 n =1 = 1 + 23 / 100 99 / 100 = 1 + 23 99 = 122 99 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 
 
 Telescoping ¡series ¡ • A telescoping series is one in which the middle terms ¡ ¡ ¡ ¡ cancel and the sum collapses into just a few terms. 
 • Find the sum of the following series: 
 ✓ 3 ∞ ◆ 3 X 1. 
 n 2 − ( n + 1) 2 n =1 ∞ 3 X 2. 
 k ( k + 3) n =1 ∞ ✓ ◆ 1 1 X 3. ln( n + 2) − ln( n + 1) n =1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Divergence ¡Test ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ n n − 1 X X Proof: a n = a k − a k = s n − s n − 1 → L − L = 0 . k =1 k =1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡


 
 
 
 
 Examples ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ∞ 3 n 2 X 1. Does converge? 
 n ( n + 1) n =1 ∞ 2. Does X converge? sin( n ) n =1 ! Remark: ∞ 1 1 X The converse is not true but diverges! n → 0 n n =1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

ProperEes ¡of ¡convergence ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ∞ ∞ 3 1 X X Example: 2 n = 3 2 n = 3 · 1 = 3 . n =1 n =1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Reindexing ¡series ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡