Math 104 Calculus 6.1 Volume by Cross-sec:ons - PowerPoint PPT Presentation

Math ¡104 ¡– ¡Calculus ¡ 6.1 ¡Volume ¡by ¡Cross-­‑sec:ons ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Volume ¡by ¡cross-­‑sec:ons ¡ • Goal: ¡ Find ¡the ¡volume ¡of ¡a ¡solid. ¡ • Method: ¡ slice ¡the ¡solid ¡into ¡pieces ¡and ¡sum ¡them ¡up. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Volume ¡by ¡cross-­‑sec:ons ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ n • ¡ ¡ ¡ ¡ X The Riemann sum A ( x k ) ∆ x k converges to an integral. k =1 Z b n X lim A ( x k ) ∆ x k = A ( x ) dx ∆ x k → 0 a k =1 Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Volume ¡by ¡cross-­‑sec:ons ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ Find ¡the ¡volume ¡of ¡the ¡given ¡pyramid, ¡which ¡has ¡a ¡square ¡base ¡of ¡side-­‑ length ¡3m ¡and ¡height ¡5m. ¡ ¡(Anima:on) ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ The ¡base ¡of ¡the ¡solid ¡is ¡a ¡quarter ¡of ¡a ¡disk ¡of ¡radius ¡1. ¡The ¡cross-­‑sec:ons ¡by ¡ planes ¡perpendicular ¡to ¡the ¡x-­‑axis ¡are ¡squares ¡with ¡one ¡side ¡on ¡the ¡disk. ¡ ¡ 1) Find ¡the ¡volume. ¡(Anima:on) ¡ 2) What ¡if ¡the ¡cross-­‑sec:ons ¡are ¡isosceles ¡right ¡triangles ¡with ¡one ¡leg ¡on ¡the ¡ quarter ¡disk? ¡ 3) What ¡if ¡the ¡cross-­‑sec:ons ¡are ¡isosceles ¡right ¡triangles ¡with ¡one ¡leg ¡on ¡the ¡ quarter ¡disk? ¡ 4) What ¡if ¡the ¡cross-­‑sec:ons ¡are ¡equilateral ¡triangles? ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Solids ¡of ¡Revolu:on ¡ • A ¡ solid ¡of ¡revolu,on ¡ is ¡obtained ¡by ¡rota:ng ¡a ¡plane ¡ region ¡about ¡an ¡axis. ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Solids ¡of ¡Revolu:on ¡ • One ¡way ¡to ¡calculate ¡its ¡volume ¡is ¡by ¡using ¡cross-­‑sec:ons ¡ perpendicular ¡to ¡the ¡rota:on ¡axis. ¡ • First ¡case: ¡no ¡gap ¡between ¡the ¡region ¡and ¡the ¡axis, ¡“Disk ¡ Method” ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Solid ¡of ¡Revolu:on ¡ • Second ¡case: ¡there ¡is ¡gap ¡between ¡the ¡region ¡and ¡the ¡ axis, ¡“Washer ¡Method” ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Disk ¡Method ¡ • Disk ¡Method ¡with ¡horizontal ¡axis ¡of ¡rota:on ¡(not ¡necessarily ¡the ¡x-­‑ axis) ¡ R ( x ) = radius as function in x Area of cross-sections: A ( x ) = π [ R ( x )] 2 Z b Z b π [ R ( x )] 2 dx Volume = A ( x ) dx = a a Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ Calculate the volume of the solid generated by rotating the region between ¡ ¡ ¡ ¡ the curves y = √ x and y = 0 about the x -axis. Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Disk ¡Method ¡ • Disk ¡Method ¡with ¡ver:cal ¡axis ¡of ¡rota:on ¡(not ¡necessarily ¡the ¡y-­‑ axis) ¡ R ( y ) = radius as function in y Area of cross-sections: A ( y ) = π [ R ( y )] 2 Z b Z b π [ R ( y )] 2 dy Volume = A ( y ) dy = a a Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ Calculate the volume of the solid generated by rotating the region between ¡ ¡ ¡ ¡ the curves y = x 3 , y = 8, and x = 0 about the y -axis Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ The ¡semi-­‑circle ¡of ¡radius ¡a ¡is ¡revolved ¡around ¡the ¡x-­‑axis ¡to ¡give ¡a ¡ sphere. ¡Find ¡its ¡volume. ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Washer ¡Method ¡ • Washer ¡Method ¡with ¡horizontal ¡axis ¡of ¡rota:on ¡(not ¡necessarily ¡the ¡ x-­‑axis) ¡ R ( x ) = Outer Radius r ( x ) = Inner Radius Z b π [ R ( x ) 2 − r ( x ) 2 ] dx Volume = a Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Washer ¡Method ¡ • Washer ¡Method ¡with ¡ver:cal ¡axis ¡of ¡rota:on ¡(not ¡necessarily ¡the ¡y-­‑ axis) ¡ ¡ R ( y ) = Outer Radius r ( y ) = Inner Radius Z b π [ R ( y ) 2 − r ( y ) 2 ] dy Volume = a Rotate ¡about ¡the ¡y-­‑axis ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ Calculate the volume of the solid generated by rotating the region between the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ curves y = √ x and y = x 2 around the y -axis Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡

Example ¡ Calculate the volume of the solid generated by rotating the region between the curves y = 4 − x 2 and y = 0 about the line y = − 2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Math ¡104 ¡-­‑ ¡Yu ¡