Energy ¡band ¡diagrams ¡ Miro ¡Zeman ¡ PVMD Delft University of Technology
Energy ¡of ¡an ¡ 1 electron ¡
Preliminary ¡ ¡assump2ons ¡ Assump2ons: ¡ § The ¡crystal ¡la5ce ¡has ¡no ¡defects ¡ ¡ § All ¡atoms ¡are ¡fixed ¡in ¡one ¡posi;on ¡ § 1-‑D ¡crystal ¡la5ce ¡ 1-‑D ¡single-‑crystal ¡la;ce ¡ a a a ¡La5ce ¡constant ¡ ¡ N ¡Number ¡of ¡atoms ¡in ¡crystal ¡ Isolated ¡atom ¡ x=0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x=(N-‑1)a ¡ Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡53 ¡
The ¡Schrödinger ¡equa2on ¡ Schrödinger ¡equa2on ¡ ¡ Second ¡order ¡differen;al ¡equa;on ¡applied ¡to ¡determine ¡the ¡ wavefunc;on ¡of ¡a ¡system. ¡ ¡ For ¡a ¡par;cle ¡of ¡mass ¡ m , ¡moving ¡in ¡a ¡one ¡dimensional ¡system ¡with ¡energy ¡ E ¡
Poten2al ¡energy ¡of ¡an ¡electron ¡ ¡ An ¡electron ¡in ¡a ¡crystal ¡la5ce ¡interacts ¡with ¡the ¡atom ¡cores. ¡For ¡purely ¡ Coulombic ¡interac;ons, ¡the ¡poten;al ¡energy ¡of ¡an ¡electron ¡as ¡func;on ¡of ¡ posi;on ¡is ¡a ¡periodic ¡func;on, ¡ U(x) . ¡ U(x) ¡ x ¡ Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡55 ¡
1-‑D ¡periodic ¡func2ons ¡simplifica2ons ¡ Bloch ¡theorem ¡ The ¡wavefunc;on ¡of ¡a ¡periodic ¡poten;al ¡in ¡any ¡unit ¡cell ¡is ¡the ¡ same ¡for ¡all ¡the ¡unit ¡cells ¡in ¡a ¡crystal. ¡ Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡56 ¡
1-‑D ¡periodic ¡func2ons ¡simplifica2ons ¡ For ¡a ¡1-‑D ¡system: ¡ § Wavenumber ¡ k ¡can ¡have ¡only ¡two ¡dis;nct ¡values ¡for ¡each ¡allowed ¡ E ¡ § Δ k ¡is ¡in ¡the ¡range ¡–π/a ¡≤ ¡ k ¡≤ ¡π/a ¡ § Periodic ¡boundary ¡condi;ons ¡apply ¡for ¡a ¡finite ¡la5ce ¡length ¡ § The ¡la5ce ¡is ¡represented ¡as ¡a ¡closed ¡N-‑atoms ¡ring ¡ ¡ Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡56 ¡
Kronig-‑Penney ¡model ¡ ¡ Idealiza;on ¡of ¡the ¡ shape of ¡periodic ¡poten;al ¡func;on ¡ U(x) ¡ Periodic ¡poten2al ¡func2on ¡ x ¡ U(x) ¡ U 0 ¡ Kronig-‑Penney ¡idealiza2on ¡ 0 Unit ¡cell ¡length ¡= ¡a+b ¡ x ¡ ¡ ¡ a -‑b ¡ 0 Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡58 ¡
Solu2on ¡of ¡the ¡Schrödinger ¡equa2on ¡ The ¡energy ¡of ¡an ¡electron ¡can ¡be ¡hence ¡determined ¡by ¡solving ¡the ¡Schrödinger ¡ equa;on ¡applying ¡boundary ¡condi;ons ¡in ¡the ¡unit ¡cell ¡length ¡range ¡ –b ¡< ¡x ¡< ¡a ¡
Energy ¡bands ¡ Defining: ¡ ¡ ¡ ¡ It ¡can ¡be ¡proven ¡that ¡the ¡only ¡allowed ¡solu;ons ¡lie ¡in ¡the ¡range: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-‑ 1 ¡≤ ¡ f(ξ) ¡ ≤ ¡1 ¡ f(ξ) ¡ 3 ¡ Band ¡1 ¡ 2 ¡ Band ¡2 ¡Band ¡3 ¡ Band ¡4 ¡ Band ¡5 ¡ 1 ¡ k ¡= ¡0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ ξ ¡ 5 ¡ -‑1 ¡ k ¡= ¡± ¡π/(a+b) ¡ -‑2 ¡ -‑3 ¡ Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡61 ¡
Energy ¡dispersion ¡ 2 diagrams ¡
Electronic ¡dispersion ¡diagram ¡ E-‑k ¡diagrams ¡(1-‑D) ¡ The ¡allowed ¡electronic ¡energy ¡states ¡are ¡plojed ¡as ¡func;on ¡of ¡ the ¡wavenumber, ¡k. ¡ ¡ E ¡ For ¡a ¡free ¡par;cle: ¡ Band ¡4 ¡ Band ¡3 ¡ Band ¡2 ¡ Band ¡1 ¡ k ¡ -‑π/(a+b) ¡ 0 ¡ π/(a+b) ¡ Robert ¡F. ¡Pierret ¡& ¡Gerold ¡W. ¡Neudeck, ¡Semiconductor ¡Fundamentals, ¡Volume ¡VI ¡of ¡Modular ¡Series ¡on ¡Solid ¡State ¡Devices, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡62 ¡
Dispersion ¡diagram ¡of ¡3-‑D ¡crystals ¡ E-‑k ¡diagrams ¡(3-‑D) ¡ The ¡allowed ¡electronic ¡energy ¡states ¡are ¡plojed ¡as ¡func;on ¡of ¡ the ¡wave ¡vector, ¡k. ¡ ¡ Simplifica2ons: ¡ § Only ¡the ¡por;ons ¡occupied ¡by ¡charge ¡ carriers ¡are ¡represented ¡ § The ¡plot ¡is ¡constructed ¡along ¡direc;ons ¡ characterized ¡by ¡high ¡symmetry ¡ § The ¡symmetry ¡of ¡a ¡crystal ¡enables ¡to ¡focus ¡ only ¡on ¡the ¡+k ¡values, ¡neglec;ng ¡-‑k ¡ Arno ¡H.M. ¡Smets ¡et ¡al., ¡Solar ¡energy, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡154 ¡
Energy ¡band ¡ 3 diagrams ¡
Energy ¡band ¡defini2ons ¡ Valence ¡band ¡ Band ¡of ¡energy ¡states ¡occupied ¡by ¡valence ¡electrons ¡at ¡0K. ¡ ¡ Electrons ¡are ¡stuck ¡in ¡covalent ¡bonds ¡and ¡immobile. ¡ Conduc2on ¡band ¡ Highest ¡energy ¡band ¡occupied ¡by ¡valence ¡electrons ¡at ¡T>0. ¡ Electrons ¡are ¡mobile ¡and ¡can ¡move ¡through ¡material. ¡ Band ¡gap ¡ Band ¡of ¡forbidden ¡energy ¡states ¡for ¡electrons. ¡
Band ¡diagrams ¡ E ¡ E ¡ Conduc2on ¡ band ¡ E C ¡ Band ¡gap ¡ E G ¡ energy ¡ E V ¡ Valence ¡ band ¡
Direct ¡and ¡indirect ¡ 4 band ¡gap ¡materials ¡
Direct ¡and ¡indirect ¡band ¡gap ¡materials ¡ ¡ Direct ¡band-‑gap ¡materials ¡ ¡ The ¡highest ¡point ¡of ¡the ¡valence ¡band ¡is ¡ver;cally ¡aligned ¡with ¡ the ¡lowest ¡of ¡the ¡conduc;on ¡band. ¡ ¡ ¡ Indirect ¡band-‑gap ¡materials ¡ ¡ The ¡highest ¡point ¡of ¡the ¡valence ¡band ¡is ¡not ¡aligned ¡with ¡the ¡ lowest ¡of ¡the ¡conduc;on ¡band. ¡ ¡ ¡
Direct ¡and ¡indirect ¡band ¡gap ¡materials ¡ ¡ Direct ¡band ¡gap ¡ Indirect ¡band ¡gap ¡ Energy ¡ Energy ¡ k ¡ k ¡ Electron ¡excita;on ¡also ¡ An ¡electron ¡can ¡be ¡excited ¡ requires ¡a ¡momentum, ¡ simply ¡by ¡absorp;on ¡of ¡a ¡ provided ¡by ¡la5ce ¡ photon. ¡ vibra;ons. ¡ Adapted ¡from: ¡Arno ¡H.M. ¡Smets ¡et ¡al., ¡Solar ¡energy, ¡1 st ¡edi;on, ¡page ¡66 ¡
5 Equa;ons ¡
h ¡Planck’s ¡constant ¡ h 2 2 h m ¡Par;cle’s ¡mass ¡ ∂ ψ h U x ( ) E U(x) ¡Poten;al ¡energy ¡func;on ¡ = − + ψ = ψ , 2 2 m x 2 E ¡Par;cle’s ¡energy ¡ ∂ π ψ ¡Wavefunc;on ¡ U x ( a ) U x ( ) ika ( x a ) e ( ) x + = IF ¡ THEN ¡ ψ + = ψ 2 2 α + β sin( a )sin( b ) cos( a )cos( b ) cos ( k a b ) − α β + α β = + 2 αβ Where: ¡ For ¡ ¡0 ¡< ¡x ¡< ¡a ¡ For ¡ ¡-‑b ¡< ¡x ¡< ¡0 ¡ β= ¡ { ¡ 2 h 2 ( m U E ) / For ¡0 ¡< ¡E ¡< ¡U 0 ¡ β − = − 0 h 2 2 mE / α = h 2 2 (E m U ) / For ¡E ¡> ¡U 0 ¡ β + = − 0
E h 2 ξ = and ¡ 2 mU / α = U 0 0 0 2 h 2 k E Electron ¡energy ¡ = E E E 2 m = − G C V 2 π k Wavenumber ¡ = λ Par2cle ¡momentum/ ¡ h k = p 2 n π Crystal ¡momentum ¡ ¡ k n= ¡0, ¡±1, ¡±2, ¡… ¡±N/2 ¡ = Na
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