positional notation of unsigned integers
play

Positional notation of unsigned integers The base - b positional - PDF document


  1. ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� 02 Information theory 02.02 Binary arithmetic • Positional notation • Unsigned integers • Unsigned fixed-point • Signed numbers • Floating point numbers • Base conversions • Binary arithmetic ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� Positional notation of unsigned integers • The base - b positional representation of an integer number of n digits has the form c c ... c c (1) n − 1 n − 2 1 0 • The value of the number is n − 1 n − 2 1 0 (2) c b c b ... c b c b + + + + n 1 n 2 1 0 − − • n digits encode all integer numbers from 0 to b n -1 Example: b =2, n =5 10011=1*16+1*2+1*1=19 11111=31=2 5 -1 ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� 1

  2. ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� Base conversion • From base b to decimal: n − 1 n − 2 1 0 (2) c b + c b + ... + c b + c b n − 1 n − 2 1 0 • From decimal to base b : digits from c 0 to c n- 1 are obtained as remainders of subsequent divisions by b of the digital number n − 1 n − 2 1 0 (3) c b + c b + ... + c b + c b = n − 1 n − 2 1 0 n − 2 n − 3 0 = ( c b + c b + ... + c b ) b + c n − 1 n − 2 1 0 ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� Base conversion example (29) (10) =(11101) (2) (11001) (2) =(25) (10) position weight digit 29 0 1 1 1 + 29 14 1 29=14*2+ 1 1 0 2 0 + 14 7 0 14=7*2+ 0 2 0 4 0 + 7 3 1 7=3*2+ 1 3 1 8 8 + 3 1 1 3=1*2+ 1 4 1 16 16 1=0*2+ 1 1 0 1 25 ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� 2

  3. ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� Fixed-point notation of unsigned rational numbers • The base - b positional representation of a rational number of n+m digits has the form c c ... c c . c ... c (4) n − 1 n − 2 1 0 − 1 − m • The value of the number is n − 1 n − 2 1 0 − 1 − m (5) c b + c b + ... + c b + c b + c b + ... + c b n − 1 n − 2 1 0 − 1 − m • n+m digits encode all rational numbers of the form Num (6) m 2 with n + m 0 ≤ Num ≤ 2 − 1 ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� Base conversion • From base b to decimal: n − 1 n − 2 1 0 − 1 − m c b + c b + ... + c b + c b + c b + ... + c b (5) n − 1 n − 2 1 0 − 1 − m • From decimal to base b : – Solution 1: Given a digital number X=Num /2 m , convert Num and shift the decimal point m positions left – Solution 2: Given a digital number X = X int . X frac , convert the integer part X int as outlined before, then convert the fractional part X frac obtaining each digit as the integer part of the result of subsequent multiplications by b : − 1 − 2 − m − 1 − m − 1 (7) ( c b + c b ... + c b ) b = c + c b ... + c b − 1 − 2 − m − 1 − 2 − m ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� 3

  4. ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� Base conversion example (29.375) (10) =(11101.011) (2) 29 0.375 *2 = 0.75 = 0 + 0.75 29 14 1 29=14*2+ 1 0.75 *2 = 1.5 = 1 + 0.5 14 7 0 14=7*2+ 0 7 3 1 7=3*2+ 1 0.5 *2 = 1 = 1 + 0 3 1 1 3=1*2+ 1 1 0 1=0*2+ 1 1 ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� Binary arithmetics • Binary addition: 1 1 1 1 0 1 1 5 0 1 1 1 1 0 0 1 6 0 0 1 1 0 1 1 10 2 1 1 0 1 0 1 • Binary multiplication: 1 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 1 1 0 1 1 3 1 0 1 1 1 0 0 3 6 0 0 0 0 - 2 - 1 1 1 0 0 - - 1 5 6 1 1 0 0 - - - 1 0 0 1 1 1 0 0 ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� 4

  5. ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� Signed numbers • Sign bit: 0=positive, 1=negative (3) (10) = 0 0011; (-3) (10) = 1 0011 • 1’s complement (3) (10) = 0 0011; (-3) (10) = 1 1100 = (0 0011) ’ • 2’s complement (3) (10) = 0 0011; (-3) (10) = 1 1101 = (0 0011) ’ +1 ���������� �������� ���� �������������������������������������������� � ��� ��������������������� �������� ���������������� ������ ����������������� ������ ���������������� 2’s complement numbers • The 2 ’ s complement representation of a negative number (say, - v ) is obtained from the representation of v, by complementing each bit (including the sign bit) and adding 1 - v � v ’ +1 • The resulting binary configuration corresponds to the unsigned number 2 n - v (i.e. , the complement of v to 2 n ), where n is the total number of digits, including the sign 2 n bit. 2 n -v 0 v -v negative positive ���������� �������� ���� �������������������������������������������� �� ��� 5

Recommend


More recommend