Shortest Paths Problems CS420 lecture twelve Given a - PDF document

7/20/10 ¡ Shortest ¡Paths ¡Problems ¡ CS420 ¡lecture ¡twelve ¡ • Given ¡a ¡ weighted ¡directed ¡ graph ¡G=(V,E) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡find ¡the ¡shortest ¡path ¡ ¡ Shortest ¡Paths ¡ – path ¡length ¡is ¡the ¡sum ¡of ¡its ¡edge ¡weights. ¡ ¡ wim ¡bohm ¡cs ¡csu ¡ • The ¡shortest ¡path ¡(SP) ¡from ¡u ¡to ¡v ¡is ¡ ∞ ¡if ¡there ¡ is ¡no ¡path ¡from ¡u ¡to ¡v. ¡ ¡ VariaIons ¡ VariaIons ¡ ¡1) ¡ SSSP ¡(Single ¡source ¡SP): ¡find ¡the ¡SP ¡from ¡ 3) ¡ SDSP ¡(single ¡desInaIon ¡SP) ¡can ¡use ¡1) ¡by ¡ some ¡node ¡s ¡to ¡all ¡nodes ¡in ¡the ¡graph. ¡ ¡ reversing ¡its ¡edges. ¡ ¡2) ¡ SPSP ¡(single ¡pair ¡SP): ¡find ¡the ¡SP ¡from ¡some ¡u ¡ to ¡some ¡v. ¡ ¡ 4) ¡ APSP ¡(all ¡pair ¡SPs) ¡could ¡be ¡solved ¡by ¡|V| ¡ We ¡can ¡use ¡1) ¡to ¡solve ¡2), ¡also ¡there ¡is ¡no ¡ ¡ applicaIons ¡of ¡1), ¡but ¡can ¡be ¡solved ¡faster. ¡ asymptoIcally ¡faster ¡algorithm ¡for ¡2) ¡than ¡that ¡ ¡ for ¡1). ¡ We ¡will ¡thus ¡concentrate ¡on ¡ SSSP ¡and ¡ APSP . ¡ ¡ 1 ¡

7/20/10 ¡ OpImal ¡Substructure ¡ NegaIve ¡weight ¡edges ¡and ¡cycles ¡ • Op1mal ¡Substructure ¡ • NegaIve ¡weight ¡cycles ¡create ¡an ¡ill ¡defined ¡ problem. ¡ Why? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡property ¡that ¡the ¡SP ¡from ¡ u ¡to ¡v ¡via ¡w ¡ ¡ ¡ ¡ • If ¡some ¡weights ¡in ¡the ¡graph ¡are ¡negaIve ¡but ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ consists ¡of ¡a ¡SP ¡from ¡u ¡to ¡w, ¡and ¡a ¡SP ¡from ¡w ¡ ¡ no ¡cycle ¡in ¡the ¡graph ¡has ¡a ¡negaIve ¡length, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡to ¡v ¡ the ¡SP ¡problem ¡stays ¡well ¡defined. ¡ • Some ¡algorithms ¡(Dijkstra) ¡assume ¡all ¡weights ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡or ¡that ¡a ¡ sub ¡path ¡ from ¡p ¡to ¡q ¡ is ¡a ¡SP ¡ from ¡p ¡ ¡ to ¡be ¡posiIve, ¡some ¡(Bellman ¡Ford) ¡allow ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡to ¡q. ¡ negaIve ¡weights ¡but ¡not ¡negaIve ¡length ¡ cycles. ¡ Zero ¡length ¡cycles ¡ SSSP ¡and ¡Shortest ¡path ¡trees ¡ • ¡We ¡have ¡already ¡ruled ¡out ¡negaIve ¡length ¡ • For ¡each ¡vertex ¡v ¡on ¡the ¡shortest ¡path ¡(or ¡the ¡ cycles, ¡a ¡shortest ¡path ¡cannot ¡contain ¡a ¡ shortest ¡path ¡in ¡construcIon) ¡we ¡maintain ¡its ¡ posiIve ¡length ¡cycle, ¡what ¡about ¡ zero ¡length ¡ predecessor ¡ π (v) , ¡a ¡node ¡or ¡nil. ¡ cycles? ¡ ¡ • The ¡predecessor ¡sub ¡graph ¡G π ¡= ¡(V π , ¡E π ) ¡has ¡ • We ¡can ¡remove ¡zero ¡length ¡cycles ¡and ¡ the ¡verIces ¡v ¡and ¡edges ¡ π (v) ¡ ≠ nil ¡plus ¡the ¡ produce ¡a ¡path ¡with ¡the ¡same ¡length. ¡Hence ¡ source ¡s . ¡ ¡ we ¡can ¡assume ¡ ¡that ¡shortest ¡paths ¡have ¡no ¡ • Shortest ¡path ¡algorithms ¡make ¡G π ¡a ¡ shortest ¡ cycles ¡and ¡thus ¡have ¡ at ¡most ¡|V|-­‑1 ¡edges . ¡ path ¡tree ¡ with ¡ root ¡s ¡ with ¡shortest ¡paths ¡to ¡all ¡ verIces ¡ ¡ reachable ¡from ¡s. ¡ ¡ 2 ¡

7/20/10 ¡ d(v) ¡ ∞ ¡ • For ¡each ¡vertex ¡v ¡we ¡maintain ¡ d(v ), ¡the ¡ • ArithmeIc ¡with ¡ ∞ : ¡ shortest-­‑path ¡esImate: ¡ an ¡upper ¡bound ¡on ¡ the ¡shortest ¡path ¡length ¡to ¡v . ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡if ¡a ¡ ≠ ¡-­‑ ∞ , ¡we ¡have ¡a+ ∞ ¡= ¡ ∞ +a ¡= ¡ ∞ ¡ • We ¡iniIalize ¡d-­‑s ¡and ¡ π -­‑s ¡as ¡follows: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Init-­‑SingleSource ¡(G,s){ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡if ¡a ¡ ≠ ¡ ∞ , ¡a+(-­‑ ∞ )=(-­‑ ∞ )+a=-­‑ ∞ . ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡each ¡vertex ¡v ¡{d[v]= ∞ ; ¡ π [v]=nil} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡d[s]=0; ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡} ¡ Relax ¡ δ (s,v) ¡ • Shortest ¡paths ¡algorithms ¡use ¡the ¡operaIon ¡ • The ¡final ¡value ¡for ¡d[v] ¡is ¡denoted ¡as ¡ δ (s,v) , ¡ relax ¡edge ¡(u,v) : ¡tesIng ¡whether ¡we ¡can ¡ the ¡shortest ¡path ¡from ¡s ¡to ¡v. ¡ improve ¡a ¡path ¡from ¡s ¡to ¡v ¡by ¡using ¡edge ¡(u,v) ¡ • Assuming ¡the ¡algorithm ¡starts ¡with ¡ ¡ and, ¡if ¡so, ¡updaIng ¡d[v] ¡and ¡ π [v]: ¡ ¡ ¡ ¡ Init-­‑SingleSource ¡and ¡only ¡does ¡updates ¡on ¡d ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Relax(u,v,w) ¡{ ¡ and ¡ π ¡using ¡Relax , ¡the ¡following ¡properIes ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡if ¡(d[v] ¡> ¡(r ¡= ¡d[u]+w(u,v))) ¡ ¡ ¡ shortest ¡paths ¡and ¡relax ¡can ¡be ¡proved ¡ (Cormen ¡et. ¡al., ¡ch. ¡24.5). ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{d[v] ¡= ¡r; ¡ ¡ π [v]= ¡u} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡} ¡ 3 ¡

7/20/10 ¡ ProperIes ¡ More ¡ProperIes ¡ • Triangle ¡Inequality: ¡ • No-­‑path ¡property: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡For ¡any ¡edge ¡(u,v): ¡ δ (s,v) ¡<= ¡ δ (s,u) ¡+ ¡w(u,v) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡If ¡there ¡is ¡no ¡path ¡from ¡s ¡to ¡v, ¡d[v]= ¡ δ (s,v)= ∞ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ op1mal ¡sub ¡structure ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ relax ¡never ¡changed ¡d ¡ • Upper-­‑bound ¡Property: ¡ • ¡ Convergence ¡property: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡d[v] ¡>= ¡ δ (s,v) ¡and ¡once ¡d[v] ¡achieves ¡ δ (s,v), ¡it ¡ ¡ ¡ ¡ ¡If ¡s ¡ ⇒ ¡u ¡ → ¡v ¡is ¡a ¡shortest ¡path ¡and ¡d[u]= ¡ δ (s,u) ¡ does ¡not ¡change ¡anymore. ¡ ¡ before ¡relaxing ¡edge ¡(u,v), ¡then ¡d[v] ¡= ¡ δ (s,v) ¡ agerward. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡nature ¡of ¡relax ¡ ¡ ¡ ¡ op1mal ¡sub ¡structure ¡ and ¡more ¡ Bellman-­‑Ford ¡SSSP ¡ • Path-­‑relaxa1on ¡property: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡If ¡p ¡= ¡<v 0 ,v 1 ,...,v k > ¡is ¡a ¡shortest ¡path ¡from ¡s=v 0 ¡ • Allows ¡negaIve ¡edge ¡weights ¡ to ¡v k, ¡ and ¡the ¡edges ¡are ¡relaxed ¡in ¡order ¡(v 0 ,v 1 ), ¡ • Checks ¡for ¡negaIve ¡length ¡cycles ¡ (v 1 ,v 2 ) ¡etc., ¡then ¡d[v]= ¡ δ (s,v). ¡ • returns ¡false ¡if ¡there ¡is ¡a ¡negaIve ¡length ¡cycle ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡induc1ve ¡argument ¡ ¡ • otherwise, ¡BF ¡returns ¡true ¡and ¡and ¡the ¡ • Predecessor-­‑subgraph ¡property: ¡ shortest ¡paths ¡in ¡d ¡and ¡the ¡shortest ¡path ¡tree ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Once ¡d[v]= ¡ δ (s,v) ¡for ¡all ¡v ¡in ¡V, ¡the ¡predecessor ¡ in ¡ π . ¡ ¡ ¡ subgraph ¡is ¡the ¡shortest ¡path ¡tree ¡rooted ¡at ¡s. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡nature ¡of ¡Relax ¡ 4 ¡