outline
play

Outline Example Climate Prediction Adaptive Methods for - PowerPoint PPT Presentation

S PARSE O CCUPANCY T REES Peter Binev Seminar on High Dimensional Approximation University of South Carolina Columbia, SC February 27, 2008 S PARSE O CCUPANCY T REES p. 1/32 Outline Example Climate Prediction Adaptive Methods for


  1. S PARSE O CCUPANCY T REES Peter Binev Seminar on High Dimensional Approximation University of South Carolina Columbia, SC February 27, 2008 S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 1/32

  2. Outline Example – Climate Prediction Adaptive Methods for Approximation Partitions and Functions Near Best Tree Approximation Sparse Occupancy Trees Numerical Results and Comments S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 2/32

  3. Climate Model - NCAR CAM National Center for Atmospheric Research (NCAR) Community Atmosphere Model (CAM) general prediction equation for a generic variable ψ ∂ψ ∂t + D ( ψ, t ) = P ( ψ ) ψ – represents prognostic variables such as temperature or horizontal wind component D – dynamical core component P – physical parameterization suite S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 3/32

  4. Climate Physics - credit to Andrew Gettelman, NCAR ������������������������������������� ������������������������������������� ������������������������ S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 4/32

  5. Climate Physics - credit to Andrew Gettelman, NCAR ������������������������� ������������������������� ���������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� �������������������������� �������������������������� � ������������������������� � ������������������������� � �������������������������������������������������������������������� � �������������������������!��� � � "�������������������������������� "�������������������������������� � ������������������������ � ������������#������������������������ � ������������������ � ����������������������������������� � ������������ �������� �� � ��������������������������������������������� � $$$ ������������������������ S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 5/32

  6. Climate Physics - credit to Andrew Gettelman, NCAR ��������� ��������� ������������������������ S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 6/32

  7. Climate Physics - credit to Andrew Gettelman, NCAR ���������������������������������� ���������������������������������� 1. Low Clouds over the ocean: Reflect Sunlight (cool) : Dominant Effect Trap heat (warm) More Clouds=Cooling Fewer Clouds=Warming ������������������������ S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 7/32

  8. Climate Physics - credit to Andrew Gettelman, NCAR ���������������������������������� ���������������������������������� 2. High Clouds: Dominant effect is that they Trap heat (warm) More Clouds=Warming Fewer Clouds=Cooling ������������������������ S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 8/32

  9. Climate Physics - credit to Andrew Gettelman, NCAR ������� ������� � ����������������������� ����������������������� � � ���������������������������������������� � ���������������������� ������������������������������� � �����������������������������������������!������������ � "��������������������� ��������������� � "��������������������� ��������������� � ������!����������������������������������!������� � ��������������#�������������������������������$ � ����������������������������������!������������������ ����������� � ����#�����!��������������������������!��������������������� � �%�%&�������� �����������!���������������������������!�������'�� ������ ������������ � �������������������������������������������������(����������������� !����������������� ������������������������ S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 9/32

  10. Climate Model - NCAR CAM general prediction equation for a generic variable ψ ∂ψ ∂t + D ( ψ, t ) = P ( ψ ) P = { M, R, S, T } – physical parameterization of precipitation ( M oist), clouds and R adiation, S urface model, T urbulent mixing; calculated using a multivariate vector R 220 → I R 33 f ( x ) : I function x – dependent variable representing a vertical column of 25 to 70 levels (26 for NCAR CAM) on a (coarse) spherical grid S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 10/32

  11. High Dimensions – Climate Modelling find f : R 220 → R 33 approximation problem: derive the value y = f ( x ) at any query point x using the values y j at ∼ 10 5 training data points x j find a procedure which is fast and reliable on-line algorithm – include the possibility of improvement of the approximation by adding more training points in the process S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 11/32

  12. Curse of Dimensionality no chance of good approximation, if the distribution ρ of the points of interest has full dimensionality how to find an approximation which is good in the regions of concentration of ρ using only the information received from the point cloud Learning Problem: approximation with respect to a norm generated by the unknown probability measure ρ how to define/calculate the approximation S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 12/32

  13. Typical Adaptive Algorithm We want to find a partitioning of X by subdividing the domain into cells (hypercubes, simplices, etc.) for each cell define control parameters (error of approximation, number of points, etc.); split/merge conditions to determine the local depth of resolution; assign values based on the data, or (if the information is not sufficient) indirectly to preserve some properties (e.g. monotonicity); find the balance between the resources (memory, time) and the precision. S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 13/32

  14. Linear vs Nonlinear Approximation    s : s - piecewise constant, N pieces,   S N := Linear Approximation � k � N breakpoints  N k =0 1 2 N − 1 0 1 . . . N N N    s : s - piecewise constant, N pieces,   Σ N := Nonlinear Approximation arbitrary breakpoints { x k } N − 1  k =1 0 1 x 1 x 2 . . . x N − 1 S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 14/32

  15. Adaptive Approximations � Trees � k 2 j , k +1 � Dyadic Partition : Associated Tree I = 2 j [0,1] [0,1/2] [1/2,1] [1/4,1/2] [0,1/4] [1/4,3/8] [3/8,1/2] [1/4,5/16] [5/16,3/8] 1 3 1 0 1 4 8 2 [5/16,11/32] [11/32,3/8] S PARSE O CCUPANCY T REES – p. 15/32

Recommend


More recommend