CSE446: ¡Kernels ¡and ¡ ¡ Kernelized ¡Perceptron ¡ Winter ¡2015 ¡ Luke ¡Ze@lemoyer ¡ ¡ ¡ Slides ¡adapted ¡from ¡Carlos ¡Guestrin ¡
What ¡if ¡the ¡data ¡is ¡not ¡linearly ¡separable? ¡ Use features of features of features of features…. x 1 . . . x n x 1 x 2 φ ( x ) = x 1 x 3 . . . e x 1 . . . Feature space can get really large really quickly!
Non-‑linear ¡features: ¡1D ¡input ¡ • Datasets ¡that ¡are ¡linearly ¡separable ¡with ¡some ¡noise ¡work ¡ out ¡great: ¡ ¡ x 0 • But ¡what ¡are ¡we ¡going ¡to ¡do ¡if ¡the ¡dataset ¡is ¡just ¡too ¡hard? ¡ ¡ x 0 • How ¡about… ¡mapping ¡data ¡to ¡a ¡higher-‑dimensional ¡space: ¡ x 2 x
Feature ¡spaces ¡ • General ¡idea: ¡ ¡ ¡map ¡to ¡higher ¡dimensional ¡space ¡ – if ¡ x ¡is ¡in ¡R n , ¡then ¡φ( x ) ¡is ¡in ¡R m ¡for ¡m>n ¡ – Can ¡now ¡learn ¡feature ¡weights ¡ w ¡ in ¡R m ¡ and ¡predict: ¡ ¡ y = sign ( w · φ ( x )) – Linear ¡funcXon ¡in ¡the ¡higher ¡dimensional ¡space ¡will ¡be ¡non-‑linear ¡in ¡ the ¡original ¡space ¡ x → φ ( x )
Higher ¡order ¡polynomials ¡ number of monomial terms d=4 m – input features d – degree of polynomial d=3 grows fast! d = 6, m = 100 d=2 about 1.6 billion terms number of input dimensions
Efficient ¡dot-‑product ¡of ¡polynomials ¡ Polynomials of degree exactly d d =1 � u 1 � v 1 ⇥ ⇥ � ⇥ � ⇥ φ ( u ) . φ ( v ) = = u 1 v 1 + u 2 v 2 = u.v . u 2 v 2 u 2 v 2 ⇤ ⌅ ⇤ ⌅ d =2 ⌃ ⇧ ⌃ 1 1 u 1 u 2 v 1 v 2 ⌃ = u 2 1 v 2 1 + 2 u 1 v 1 u 2 v 2 + u 2 2 v 2 ⌥ � ⌥ � φ ( u ) . φ ( v ) = ⌃ . ⌥ � ⌥ � 2 u 2 u 1 v 2 v 1 ⇧ ⇧ = ( u 1 v 1 + u 2 v 2 ) 2 u 2 v 2 2 2 = ( u.v ) 2 For any d (we will skip proof): φ ( u ) . φ ( v ) = ( u.v ) d K ( u, v ) = • Cool! Taking a dot product and an exponential gives same results as mapping into high dimensional space and then taking dot product
The ¡ “ Kernel ¡Trick ” ¡ • A ¡ kernel ¡func*on ¡defines ¡a ¡dot ¡product ¡in ¡some ¡feature ¡space. ¡ ¡ ¡ ¡K ( u , v )= ¡ φ ( u ) ¡ φ ( v ) ¡ • Example: ¡ ¡ ¡2-‑dimensional ¡vectors ¡ u =[ u 1 ¡ ¡ ¡ u 2 ] ¡and ¡ v =[ v 1 ¡ ¡ ¡ v 2 ]; ¡ ¡let ¡ K ( u,v )=(1 ¡+ ¡ u v ) 2 , ¡ ¡Need ¡to ¡show ¡that ¡ K ( x i , x j )= ¡ φ ( x i ) ¡ φ ( x j ): ¡ ¡ ¡ K ( u , v )=(1 ¡+ ¡ u v ) 2 , = ¡1+ ¡ u 1 2 v 1 2 ¡ + ¡ 2 ¡ u 1 v 1 ¡ u 2 v 2 + ¡u 2 2 v 2 2 ¡ + ¡2 u 1 v 1 ¡ + ¡ 2 u 2 v 2 = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ [1, ¡ u 1 2 , ¡ ¡ √ 2 ¡ u 1 u 2 , ¡ ¡ ¡u 2 2 , ¡ ¡ √ 2 u 1 , ¡ ¡ √ 2 u 2 ] ¡ ¡ [1, ¡ ¡ v 1 2 , ¡ ¡ √ 2 v 1 v 2 , ¡ ¡ v 2 2 , ¡ ¡ √ 2 v 1 , ¡ ¡ √ 2 v 2 ] ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ φ ( u ) ¡ φ ( v ), ¡ ¡ ¡ ¡where ¡ φ ( x ) ¡= ¡ ¡ [1, ¡ ¡ x 1 2 , ¡ ¡ √ 2 ¡ x 1 x 2 , ¡ ¡ ¡x 2 2 , ¡ ¡ ¡ √ 2 x 1 , ¡ ¡ √ 2 x 2 ] ¡ • Thus, ¡a ¡kernel ¡funcXon ¡implicitly ¡ maps ¡data ¡to ¡a ¡high-‑dimensional ¡space ¡ (without ¡the ¡need ¡to ¡compute ¡each ¡ φ ( x ) ¡explicitly). ¡ • But, ¡it ¡isn’t ¡obvious ¡yet ¡how ¡we ¡will ¡incorporate ¡it ¡into ¡actual ¡learning ¡ algorithms… ¡
“Kernel ¡trick” ¡for ¡The ¡Perceptron! ¡ • Never ¡compute ¡features ¡explicitly!!! ¡ – Compute ¡dot ¡products ¡in ¡closed ¡form ¡K(u,v) ¡= ¡Φ(u) ¡ ¡Φ(v) ¡ ¡ • Kernelized ¡Perceptron: ¡ • Standard ¡Perceptron: ¡ • set ¡a i =0 ¡for ¡each ¡example ¡i ¡ • set ¡w i =0 ¡for ¡each ¡feature ¡i ¡ • For ¡t=1..T, ¡i=1..n: ¡ • set ¡a i =0 ¡for ¡each ¡example ¡i ¡ – ¡ ¡ X a k φ ( x k )) · φ ( x i )) y = sign (( • For ¡t=1..T, ¡i=1..n: ¡ k y = sign ( w · φ ( x i )) – ¡ ¡ X a k K ( x k , x i )) ¡ = sign ( – if ¡y ¡≠ ¡y i ¡ – if ¡y ¡≠ ¡y i ¡ w = w + y i φ ( x i ) k • ¡ ¡ • a i ¡+= ¡y i ¡ • ¡ a i ¡+= ¡y i ¡ ¡ • At ¡all ¡Xmes ¡during ¡learning: ¡ Exactly the same ¡ X a k φ ( x k ) computations, but can use w = K(u,v) to avoid enumerating k the features!!!
• set ¡a i =0 ¡for ¡each ¡example ¡i ¡ IniXal: ¡ • a ¡= ¡[a 1 , ¡a 2 , ¡a 3 , ¡a 4 ] ¡= ¡[0,0,0,0] ¡ • For ¡t=1..T, ¡i=1..n: ¡ t=1,i=1 ¡ – ¡ ¡ X a k K ( x k , x i )) y = sign ( • Σ k a k K(x k ,x 1 ) ¡= ¡0x4+0x0+0x4+0x0 ¡= ¡0, ¡sign(0)=-‑1 ¡ – if ¡y ¡≠ ¡y i ¡ k • a 1 ¡+= ¡y 1 à ¡a 1 +=1, ¡new ¡a= ¡[1,0,0,0] ¡ • a i ¡+= ¡y i ¡ t=1,i=2 ¡ • Σ k a k K(x k ,x 2 ) ¡= ¡1x0+0x4+0x0+0x4 ¡= ¡0, ¡sign(0)=-‑1 ¡ ¡ t=1,i=3 ¡ x 1 ¡ x 2 ¡ y ¡ ¡ • Σ k a k K(x k ,x 3 ) ¡= ¡1x4+0x0+0x4+0x0 ¡= ¡4, ¡sign(4)=1 ¡ t=1,i=4 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ • Σ k a k K(x k ,x 4 ) ¡= ¡1x0+0x4+0x0+0x4 ¡= ¡0, ¡sign(0)=-‑1 ¡ -‑1 ¡ 1 ¡ -‑1 ¡ t=2,i=1 ¡ x 1 • Σ k a k K(x k ,x 1 ) ¡= ¡1x4+0x0+0x4+0x0 ¡= ¡4, ¡sign(4)=1 ¡ -‑1 ¡ -‑1 ¡ 1 ¡ … ¡ ¡ 1 ¡ -‑1 ¡ -‑1 ¡ x 2 ¡ ¡ x 1 ¡ x 2 ¡ x 3 ¡ x 4 ¡ K(u,v) ¡= ¡(u v ) 2 ¡ K ¡ Converged!!! ¡ e.g., ¡ ¡ x 1 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 4 ¡ 0 ¡ • y=Σ k ¡a k ¡K(x k ,x) ¡ K(x 1 ,x 2 ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡1×K(x 1 ,x)+0×K(x 2 ,x)+0×K(x 3 ,x)+0×K(x 4 ,x) ¡ x 2 ¡ 0 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡K([1,1],[-‑1,1]) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡K(x 1 ,x) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡(1x-‑1+1x1) 2 ¡ x 3 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 4 ¡ 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡K([1,1],x) ¡ ¡ ¡(because ¡x 1 =[1,1]) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ = ¡0 ¡ x 4 ¡ 0 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡(x 1 +x 2 ) 2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(because ¡ ¡ K(u,v) ¡= ¡(u v) 2 ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Common ¡kernels ¡ • Polynomials ¡of ¡degree ¡exactly ¡ d ¡ • Polynomials ¡of ¡degree ¡up ¡to ¡ d ¡ • Gaussian ¡kernels ¡ • Sigmoid ¡ ¡ ¡ • And ¡many ¡others: ¡very ¡acXve ¡area ¡of ¡research! ¡
Overfipng? ¡ • Huge ¡feature ¡space ¡with ¡kernels, ¡what ¡about ¡ overfipng??? ¡ – Oqen ¡robust ¡to ¡overfipng, ¡e.g. ¡if ¡you ¡don’t ¡make ¡ too ¡many ¡Perceptron ¡updates ¡ – SVMs ¡(which ¡we ¡will ¡see ¡next) ¡will ¡have ¡a ¡clearer ¡ story ¡for ¡avoiding ¡overfipng ¡ – But ¡everything ¡overfits ¡someXmes!!! ¡ • Can ¡control ¡by: ¡ – Choosing ¡a ¡be@er ¡Kernel ¡ – Varying ¡parameters ¡of ¡the ¡Kernel ¡(width ¡of ¡Gaussian, ¡etc.) ¡
Kernels ¡in ¡logisXc ¡regression ¡ 1 P ( Y = 0 | X = x , w , w 0 ) = 1 + exp ( w 0 + w · x ) • Define ¡weights ¡in ¡terms ¡of ¡data ¡points: ¡ X α j φ ( x j ) w = j 1 P ( Y = 0 | X = x , w , w 0 ) = 1 + exp ( w 0 + P j α j φ ( x j ) · φ ( x )) 1 = ¡ 1 + exp ( w 0 + P j α j K ( x j , x )) • Derive ¡gradient ¡descent ¡rule ¡on ¡ α j ,w 0 ¡ • Similar ¡tricks ¡for ¡all ¡linear ¡models: ¡SVMs, ¡etc ¡
What ¡you ¡need ¡to ¡know ¡ • The ¡kernel ¡trick ¡ • Derive ¡polynomial ¡kernel ¡ • Common ¡kernels ¡ • Kernelized ¡perceptron ¡
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