Bayesian Hierarchical Models for parameter inference with - PowerPoint PPT Presentation

FERMILAB-SLIDES-18-079 Bayesian ¡Hierarchical ¡Models ¡for ¡parameter ¡inference ¡with ¡ missing ¡data: ¡Supernova ¡cosmology ¡case ¡study. ¡ ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March, ¡University ¡of ¡Pennsylvania ¡ T his document was prepared by [DES Collaboration] using the resources of the Fermi National Accelerator Laboratory (Fermilab), a U.S. Department of Energy, Office of Science, HEP User Facility. Fermilab is New ¡ PerspecĀves , ¡ Fermilab ¡18 th -­‑19 th ¡June ¡2018 ¡ 1 ¡ managed by Fermi Research Alliance, LLC (FRA), acting under Contract No. DE-AC02-07CH11359.

Mo) vaĀon ¡ & ¡ Overview ¡ Bayes ¡ Dark ¡Energy ¡ w=? ¡ Theorem ¡ Mission: ¡To ¡understand ¡the ¡nature ¡of ¡dark ¡energy ¡ • Using ¡ the ¡ Dark ¡Energy ¡Camera ¡ to ¡ search ¡ for ¡ Supernovae ¡ Ia ¡ • Usin g ¡ Bayes ¡Theory ¡ to ¡ do ¡ the ¡ staĀs) cal ¡ analysis ¡ in ¡ order ¡ to ¡ understand ¡ the ¡ nature ¡ of ¡ dark ¡energy . ¡ ¡ ¡ ¡ • Specific ¡ challenge ¡ addressed ¡ in ¡ this ¡ talk: ¡ • How ¡ to ¡ deal ¡ with ¡ missing ¡data ¡ (magnitude ¡ limited ¡ survey) ¡ in ¡a ¡ Bayesian ¡ way, ¡ in ¡ order ¡ to: ¡ • Use ¡ Supernovae ¡ Ia ¡ to ¡ do ¡ Bayesian ¡Model ¡SelecCon ¡ ¡ • Understand ¡ and ¡ reduce ¡ systemaCcs ¡ ¡ Maris a ¡ Cris) n a ¡ March ¡ 2 ¡

Physics ¡ concept: ¡ Using ¡ standard ¡ candles ¡ to ¡ measure ¡ dark ¡ energy ¡ If ¡you ¡have ¡objects ¡of ¡a ¡standard ¡brightness, ¡you ¡can ¡ work ¡out ¡how ¡far ¡away ¡they ¡are ¡based ¡on ¡how ¡bright ¡ they ¡appear ¡to ¡be. ¡ Define ¡ the ¡ ‘observed’ ¡ distance ¡ modulus, ¡ to ¡ be ¡ the ¡ difference ¡ between ¡ the ¡ apparen t ¡ (observed) ¡ and ¡ absolute ¡ magnitudes ¡ (brightness) ¡ of ¡ your ¡ standard ¡ object: ¡ µ observed = m B − M 0 absolute ¡ magnitude ¡ Recipe: ¡ (1) Measure ¡ the ¡ apparen t ¡ apparen t ¡ magnitude ¡ dark ¡ energy ¡ magnitude. ¡ The ¡ theore) cal ¡ distance ¡ modulus ¡ depends ¡ on ¡ ¡ equaĀon ¡ of ¡ (2) Measure ¡ the ¡ redshiX. ¡ the ¡ redshiX ¡ and ¡ the ¡ cosmological ¡ parameters: ¡ state ¡ (3) Work ¡ ou t ¡ wh at ¡ values ¡ the ¡ µ theory = f { z, Ω m , Ω κ , Ω Λ , w ( z ) } cosmological ¡ parameters ¡ mus t ¡ be ¡ to ¡ get: ¡ ¡ redshi X ¡ µ theory = µ observed ¡ curvature ¡ maĀer ¡ dark ¡ energy ¡ ¡ ¡ density ¡ density ¡ ¡ density ¡ 3 ¡

Distance ¡ ¡modulus ¡ ¡ Evidence ¡ for ¡ Cosmic ¡ AcceleraĀon ¡ Maris a ¡ Cris) n a ¡ March ¡ RedshiI ¡ ¡ 4 ¡ Image ¡ Credit: ¡ (A ¡ Riess ¡ e t ¡ .). ¡ ¡ Michael ¡ Turner, ¡ conference ¡ summary; ¡ Turner ¡ and ¡ Huterer ¡2007. ¡

Using ¡ Supernovae ¡ Type ¡ Ia ¡ as ¡ Standard ¡ Candles ¡ ¡ Use ¡ the ¡ stretch ¡ and ¡ color ¡ of ¡ the ¡ SNe ¡ ligh t ¡ curves ¡ to ¡ apply ¡ small ¡ correc) ons ¡ to ¡ (i.e. ¡ to ¡ standardize) ¡ their ¡ brightness. ¡ stretch ¡ µ observed = m B − M 0 + α x 1 − β c col or ¡ nuisance ¡ parameters ¡ SNe ¡ Ia ¡ thermonuclear ¡ explosions ¡ come ¡ from ¡ white ¡ dwarf ¡ binary ¡ mass ¡ transfer. ¡ magnitude ¡ 5 ¡ days ¡

Data: ¡ Supernov a ¡ Ligh t ¡ Curves ¡ Plo t ¡ credit: ¡ Chris ¡ D’Andre a ¡ Maris a ¡ Cris) n a ¡ March ¡ 6 ¡

Slide ¡ & ¡ Plo t ¡ Credit: ¡ ¡ Thanks ¡ to ¡ Dillon ¡ Brout ! ¡ 7 ¡

Beyond ¡ the ¡ preliminary ¡ results: ¡ • SystemaĀcs? ¡ • Model ¡ Selec) on? ¡ ¡ Use Bayes Theory!� ¡ Maris a ¡ Cris) n a ¡ March ¡ 8 ¡

Supernov a ¡ Bayesian ¡ Hierarchical ¡ Model ¡ ¡ MM. ¡ e t ¡ al. ¡ 2011 ¡ Allows ¡ use ¡ of ¡ Supernov a ¡ d ata ¡ for ¡ Bayesian ¡ Model ¡ Selec) on. ¡ ¡ ¡ • Which ¡model ¡best ¡explains ¡dark ¡energy? ¡ ¡ LCDM, ¡ Modified ¡ Gravity? ¡ ¡ Scalar ¡ Field? ¡ Chameleon ¡ Field? ¡ • Uses ¡ latent ¡ or ¡ hidden ¡ variables ¡ and ¡ priors ¡ to ¡ model ¡ observaĀonal ¡ data. ¡ Maris a ¡ Cris) n a ¡ March ¡ 9 ¡

Truncated data sets and Malmquist bias in SN cosmology • Problem ¡ is ¡ th at ¡ supernov a ¡ d ata ¡ sets ¡ are ¡ incomplete ¡ in ¡ magnitude ¡ space. ¡ ¡ Limi t ¡ of ¡ magnitude ¡ is ¡ se t ¡ by ¡ instrumen t ¡ and ¡ environmental ¡ condionĀs. ¡ • One ¡ solu) on ¡ is ¡ to ¡ discard ¡data ¡ below ¡ a ¡ magnitude ¡ threshold. ¡ Disadvantage ¡ is ¡ loss ¡of ¡informaCon. ¡ • Another ¡ solu) on ¡ is ¡ to ¡ simulate ¡ surveys ¡ and ¡ “ correct ” ¡ mB ¡ d ata ¡ points ¡ to ¡ recover ¡ correc t ¡ cosmology. ¡ Disadvantage ¡ is ¡ th at ¡ this ¡ canno t ¡ be ¡ used ¡ for ¡ Bayesian ¡ model ¡ selec) on. ¡ • AlternaCve ¡way: ¡ ¡ Bayesian ¡ Hierarchical ¡ Model. ¡ Maris a ¡ Cris) n a ¡ March ¡ 10 ¡

Analy) c ¡ solu) on ¡ for ¡ Malmquist ¡ bias ¡ (missing ¡ data) ¡ ¡ in ¡ Supernov a ¡ Bayesian ¡ Hierarchical ¡ Model ¡ Posterior ¡ probability ¡ of ¡ parameters ¡ in ¡a ¡ ¡ truncated ¡ d ata ¡ se t ¡ arXiv:1804.02474 ¡ Maris a ¡ Cris) n a ¡ March ¡ 11 ¡

Constant, ¡ M0 ¡ Parameter estimation with simulated Slope ¡ (SALT -­‑ II) ¡ ¡ truncated supernovae data sets. Parameters ¡ α, ¡ β ¡ ¡ Intrinsic ¡ dispersion ¡ Standard ¡ deviaĀons ¡ and ¡ ¡ means ¡ of ¡ laten t ¡ x1 ¡ and ¡ c ¡ ¡ independen t ¡ variables ¡ MaĀer ¡ density ¡ Curvature ¡ density ¡ H0 ¡ Dark ¡ Energy ¡ ¡ density ¡ 12 ¡

Summary ¡ & ¡ Nex t ¡ Steps ¡ Done: ¡ ¡ Summary: ¡ Analy) c ¡ solu) on ¡ for ¡ missing ¡ data. ¡ • If ¡ you ¡ wan t ¡ to ¡ do ¡ Bayesian ¡ Model ¡ Tested ¡ on ¡ basic ¡ simulaĀons. ¡ selecCon , ¡ you ¡ need ¡ to ¡ have ¡ the ¡ correc t ¡ ¡ Bayesian ¡ Posterior. ¡ Next ¡Steps: ¡ ¡ • How ¡ do ¡ you ¡ accoun t ¡ for ¡ missing ¡data ¡ ¡ in ¡a ¡ • Include ¡ refined ¡ selec) on ¡ func) on, ¡ Bayesian ¡ way? ¡ tes t ¡ on ¡ SNANA ¡ DES ¡ like ¡ simulaĀons. ¡ • See ¡ arXive : ¡ 1804.02474 ¡ ¡ • Accoun t ¡ for ¡ uncertainty ¡ in ¡ typing. ¡ Maris a ¡ Cris) n a ¡ March ¡ 13 ¡