Bayesian Hierarchical Models for parameter inference with - PowerPoint PPT Presentation

Bayesian ¡Hierarchical ¡Models ¡for ¡parameter ¡inference ¡with ¡ missing ¡data: ¡Supernova ¡cosmology ¡case ¡study. ¡ ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March, ¡University ¡of ¡Pennsylvania ¡ New ¡Perspec)ves, ¡Fermilab ¡18 th -­‑19 th ¡June ¡2018 ¡ 1 ¡

Mo)va)on ¡& ¡Overview ¡ Bayes ¡ Dark ¡Energy ¡ w=? ¡ Theorem ¡ Mission: ¡To ¡understand ¡the ¡nature ¡of ¡dark ¡energy ¡ • Using ¡the ¡ Dark ¡Energy ¡Camera ¡ to ¡search ¡for ¡Supernovae ¡Ia ¡ • Using ¡ Bayes ¡Theory ¡ to ¡do ¡the ¡sta)s)cal ¡analysis ¡in ¡order ¡to ¡understand ¡the ¡nature ¡ of ¡ dark ¡energy . ¡ ¡ ¡ ¡ • Specific ¡challenge ¡addressed ¡in ¡this ¡talk: ¡ • How ¡to ¡deal ¡with ¡ missing ¡data ¡ (magnitude ¡limited ¡survey) ¡in ¡a ¡ Bayesian ¡way, ¡in ¡ order ¡to: ¡ • Use ¡Supernovae ¡Ia ¡to ¡do ¡ Bayesian ¡Model ¡SelecCon ¡ ¡ • Understand ¡and ¡reduce ¡ systemaCcs ¡ ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 2 ¡

Physics ¡concept: ¡Using ¡standard ¡candles ¡ to ¡measure ¡dark ¡energy ¡ If ¡you ¡have ¡objects ¡of ¡a ¡standard ¡brightness, ¡you ¡can ¡ work ¡out ¡how ¡far ¡away ¡they ¡are ¡based ¡on ¡how ¡bright ¡ they ¡appear ¡to ¡be. ¡ Define ¡the ¡‘observed’ ¡distance ¡modulus, ¡to ¡be ¡the ¡ difference ¡between ¡the ¡apparent ¡(observed) ¡and ¡absolute ¡ magnitudes ¡(brightness) ¡of ¡your ¡standard ¡object: ¡ µ observed = m B − M 0 absolute ¡magnitude ¡ Recipe: ¡ (1) Measure ¡the ¡apparent ¡ apparent ¡magnitude ¡ dark ¡energy ¡ magnitude. ¡ The ¡theore)cal ¡distance ¡modulus ¡depends ¡on ¡ ¡equa)on ¡of ¡ (2) Measure ¡the ¡redshiX. ¡ the ¡redshiX ¡and ¡the ¡cosmological ¡parameters: ¡ state ¡ (3) Work ¡out ¡what ¡values ¡the ¡ µ theory = f { z, Ω m , Ω κ , Ω Λ , w ( z ) } cosmological ¡parameters ¡ must ¡be ¡to ¡get: ¡ ¡ redshiX ¡ µ theory = µ observed ¡ curvature ¡ maYer ¡ dark ¡energy ¡ ¡ ¡density ¡ density ¡ ¡density ¡ 3 ¡

Distance ¡ ¡modulus ¡ ¡ Evidence ¡for ¡Cosmic ¡Accelera)on ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ RedshiI ¡ ¡ 4 ¡ Image ¡Credit: ¡(A ¡Riess ¡et ¡.). ¡ ¡ Michael ¡Turner, ¡conference ¡summary; ¡Turner ¡and ¡Huterer ¡2007. ¡

Using ¡Supernovae ¡Type ¡Ia ¡as ¡Standard ¡Candles ¡ ¡ Use ¡the ¡stretch ¡and ¡color ¡of ¡the ¡SNe ¡light ¡ curves ¡to ¡apply ¡small ¡correc)ons ¡to ¡(i.e. ¡to ¡ standardize) ¡their ¡brightness. ¡ stretch ¡ µ observed = m B − M 0 + α x 1 − β c color ¡ nuisance ¡parameters ¡ SNe ¡Ia ¡thermonuclear ¡ explosions ¡come ¡from ¡white ¡ dwarf ¡binary ¡mass ¡transfer. ¡ magnitude ¡ days ¡ 5 ¡

Data: ¡Supernova ¡Light ¡Curves ¡ Plot ¡credit: ¡Chris ¡D’Andrea ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 6 ¡

Slide ¡& ¡Plot ¡Credit: ¡ ¡Thanks ¡to ¡Dillon ¡Brout! ¡ 7 ¡

Beyond ¡the ¡preliminary ¡results: ¡ • Systema)cs? ¡ • Model ¡Selec)on? ¡ ¡ Use Bayes Theory!� ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 8 ¡

Supernova ¡Bayesian ¡Hierarchical ¡Model ¡ ¡ MM. ¡et ¡al. ¡2011 ¡ Allows ¡use ¡of ¡Supernova ¡data ¡for ¡Bayesian ¡Model ¡Selec)on. ¡ ¡ ¡ • Which ¡model ¡best ¡explains ¡dark ¡energy? ¡ ¡LCDM, ¡Modified ¡Gravity? ¡ ¡Scalar ¡ Field? ¡Chameleon ¡Field? ¡ • Uses ¡ latent ¡or ¡hidden ¡variables ¡and ¡ priors ¡to ¡model ¡observa)onal ¡data. ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 9 ¡

Truncated data sets and Malmquist bias in SN cosmology • Problem ¡is ¡that ¡supernova ¡data ¡sets ¡ are ¡ incomplete ¡in ¡magnitude ¡space. ¡ ¡ Limit ¡of ¡magnitude ¡is ¡set ¡by ¡ instrument ¡and ¡environmental ¡ condi)ons. ¡ • One ¡solu)on ¡is ¡to ¡ discard ¡data ¡ below ¡ a ¡magnitude ¡threshold. ¡Disadvantage ¡ is ¡ loss ¡of ¡informaCon. ¡ • Another ¡solu)on ¡is ¡to ¡ simulate ¡ surveys ¡and ¡“ correct ” ¡mB ¡data ¡points ¡ to ¡recover ¡correct ¡cosmology. ¡ Disadvantage ¡is ¡that ¡this ¡cannot ¡be ¡ used ¡for ¡Bayesian ¡model ¡selec)on. ¡ • AlternaCve ¡way: ¡ ¡ Bayesian ¡ Hierarchical ¡Model. ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 10 ¡

Analy)c ¡solu)on ¡for ¡Malmquist ¡bias ¡(missing ¡data) ¡ ¡in ¡ Supernova ¡Bayesian ¡Hierarchical ¡Model ¡ Posterior ¡probability ¡of ¡parameters ¡ in ¡a ¡ ¡truncated ¡data ¡set ¡ arXiv:1804.02474 ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 11 ¡

Parameters ¡ of ¡interest ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 12 ¡

Parameters ¡ data ¡ of ¡interest ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 13 ¡

Parameters ¡ data ¡ of ¡interest ¡ Likelihood ¡of ¡observed ¡data ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 14 ¡

Parameters ¡ data ¡ of ¡interest ¡ Likelihood ¡of ¡observed ¡data ¡ missing ¡data ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 15 ¡

Parameters ¡ data ¡ of ¡interest ¡ Likelihood ¡of ¡observed ¡data ¡ missing ¡data ¡ priors ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 16 ¡

Constant, ¡M0 ¡ Parameter estimation with simulated Slope ¡(SALT-­‑II) ¡ ¡ truncated supernovae data sets. Parameters ¡α, ¡β ¡ ¡ Intrinsic ¡dispersion ¡ Standard ¡devia)ons ¡and ¡ ¡ means ¡of ¡latent ¡x1 ¡and ¡c ¡ ¡ independent ¡variables ¡ MaYer ¡density ¡ Curvature ¡density ¡ H0 ¡ Dark ¡Energy ¡ ¡ density ¡ 17 ¡

Summary ¡& ¡Next ¡Steps ¡ Done: ¡ ¡ Summary: ¡ Analy)c ¡solu)on ¡for ¡missing ¡data. ¡ If ¡you ¡want ¡to ¡do ¡Bayesian ¡ Model ¡ • Tested ¡on ¡basic ¡simula)ons. ¡ selecCon , ¡you ¡need ¡to ¡have ¡the ¡correct ¡ ¡ Bayesian ¡ Posterior. ¡ Next ¡Steps: ¡ ¡ • How ¡do ¡you ¡account ¡for ¡ missing ¡data ¡ ¡in ¡a ¡ • Include ¡refined ¡selec)on ¡func)on, ¡ Bayesian ¡way? ¡ test ¡on ¡SNANA ¡DES ¡like ¡simula)ons. ¡ • See ¡arXive: ¡ 1804.02474 ¡ ¡ • Account ¡for ¡uncertainty ¡in ¡ typing. ¡ Marisa ¡Cris)na ¡March ¡ 18 ¡