A Time Marching Scheme for Solving Volume Integral Equa9ons - PowerPoint PPT Presentation

A ¡Time ¡Marching ¡Scheme ¡for ¡Solving ¡Volume ¡ Integral ¡Equa9ons ¡on ¡Nonlinear ¡Sca<erers ¡ ¡ Hakan ¡Bağcı ¡ ¡ Division ¡of ¡Computer, ¡Electrical, ¡and ¡Mathema9cal ¡Sciences ¡and ¡Engineering ¡(CEMSE) ¡ KAUST ¡SRI ¡Center ¡for ¡Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡in ¡Computa9onal ¡Science ¡and ¡Engineering ¡ King ¡Abdullah ¡University ¡of ¡Science ¡and ¡Technology ¡(KAUST) ¡ ¡ SRI ¡UQ ¡Annual ¡Mee9ng ¡ January ¡6, ¡2015 ¡ KAUST, ¡Thuwal ¡23955-­‑6900, ¡Saudi ¡Arabia ¡ ¡

Outline ¡ • Mo9va9on: ¡Need ¡for ¡Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡(UQ) ¡in ¡Electromagne9c ¡Simula9ons ¡ • UQ ¡Framework ¡ § Surrogate ¡Model ¡Assisted ¡Monte ¡Carlo ¡Method ¡ § Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ § Mul9 ¡Element ¡Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ • Time ¡Domain ¡Determinis9c ¡Simulator ¡for ¡Kerr-­‑nonlinear ¡Sca<erers ¡ § Time ¡Domain ¡Volume ¡Integral ¡Equa9on ¡(TDVIE) ¡Solver ¡ § TDVIE ¡Formula9on ¡ § Discre9za9on ¡ ¡ § Explicit ¡Marching-­‑on-­‑in-­‑Time ¡(MOT) ¡Solu9on ¡ § Numerical ¡Results ¡

Mo9va9on: ¡UQ ¡for ¡Electromagne9c ¡Simula9ons ¡ • Electromagne9c ¡simulators ¡are ¡needed ¡in ¡a ¡broad ¡range ¡of ¡ applica9ons ¡ § EMC/EMI ¡characteriza9on ¡ § Wireless ¡network ¡design ¡in ¡harsh ¡environments ¡ § Device ¡design ¡at ¡microwave ¡and ¡op9cal ¡frequencies ¡ ¡ • Almost ¡all ¡these ¡systems ¡are ¡replete ¡with ¡uncertain9es ¡ § Fabrica9on ¡and ¡installa9on ¡ambigui9es ¡ § Contamina9on ¡of ¡materials ¡ § Approxima9ons ¡in ¡cons9tu9ve ¡models– ¡dispersion ¡models, ¡ homogeniza9on ¡techniques, ¡etc. ¡ § Noise ¡sources ¡ • State-­‑of-­‑the-­‑art ¡electromagne9c ¡simulators ¡ § Large ¡scale ¡problems ¡(paralleliza9on, ¡adap9ve ¡meshing ¡and ¡9me ¡ stepping, ¡FMM/FFT ¡accelera9on) ¡ § Mul9-­‑scale ¡physics ¡(high/low ¡frequency, ¡geometry ¡details, ¡ hybridiza9on ¡of ¡different ¡equa9ons, ¡precondi9oners) ¡ • Objec9ve: ¡Efficient ¡UQ ¡techniques ¡in ¡electromagne9c ¡simula9on ¡ frameworks ¡to ¡allow ¡for ¡design ¡and ¡characteriza9on ¡of ¡complex ¡ electromagne9c ¡and ¡photonic ¡systems ¡

• UQ ¡Framework ¡ § Surrogate ¡Model ¡Assisted ¡Monte ¡Carlo ¡Method ¡ § Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ § Mul9 ¡Element ¡Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ with: ¡Abdulkadir ¡Yucel ¡and ¡Eric ¡Michielssen ¡(University ¡of ¡Michigan) ¡

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡ • ¡ ¡ ¡ ¡parameterizes ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡random ¡variables ¡distributed ¡with ¡an ¡assumed/known ¡pdf ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ N dof x W ( x ) V ( x ) represents ¡a ¡set ¡of ¡EM ¡observables ¡ { ∏ N dof ⎧ ⎫ W ( x ) = w ( x i ) V ( x ) = E-field( x ), cable positions/bend/electrical characteristics, ⎪ ⎪ i = 1 ⎪ source locations (ext/int. generated EMI), ⎪ H-field( x ), x i ∈ D i = a i , b i ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ angle of arrival (ext. generated EMI), Power( x ) } ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ source strengths/signatures (int. generated EMI), ⎪ N dof ] = x = [ x 1 , x 2 , … , x ⎨ ⎬ = ∏ N i dof D D incident field polarization (ext. generated EMI), ⎪ ⎪ = i 1 ⎪ ⎪ widths and lengths of interconnects, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ constitutive parameters of substrates, ⎪ ⎪ electronic system positions/parameters, … ⎪ ⎪ ¡ ⎩ ⎭ • Sta9s9cal ¡moments ¡of ¡EM ¡observable ¡ ¡ V ( x ) ∫ ⎦ = ⎡ ⎤ E V ( x ) V ( x ) W ( x ) d x ⎣ D ( ) 2 W ( x ) d x ∫ ⎡ ⎦ = ⎤ V 2 ( x ) − E V ( x ) ⎡ ⎤ std V ( x ) ⎣ ⎣ ⎦ ¡ D • Es9ma9ng ¡sta9s9cal ¡informa9on ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡via ¡Monte ¡Carlo ¡(MC) ¡method ¡ ¡ V ( x )

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ Direct ¡Monte ¡Carlo ¡Method ¡ Mean Random Std. dev Variables Monte Carlo EM Binning Method Solver x i x V ( x i ) pdf of V ( x ) pdf of x i = 1,..., N MC • Direct ¡Monte ¡Carlo ¡(MC) ¡Method ¡ § Slow ¡convergence ¡ ¡ § ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡high ¡ N MC § Very ¡costly ¡since ¡ ¡each ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡a ¡computer ¡simula9on ¡ V ( x i )

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ Surrogate ¡Model ¡Assisted ¡Monte ¡Carlo ¡Method ¡ i = 1,..., N MC Monte Carlo p = 1,..., N SM Method Random x Variables N SM  N MC x i Mean Std. dev pdf of x x Surrogate Binning pdf of Model   V ( x ) V ( x i ) x k V ( x k ) EM Solver • Surrogate ¡model ¡assisted ¡MC ¡Method ¡ § Dras9cally ¡cheaper ¡if ¡ ¡ N SM  N MC  § Accurate ¡pdfs ¡if ¡ ¡ V ( x ) ≈ V ( x )

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ ¡ Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ • The ¡probabilis9c ¡colloca9on ¡(PC) ¡generates ¡surrogate ¡model ¡by ¡ p th -­‑order ¡generalized ¡polynomial ¡chaos ¡(gPC) ¡ expansion ¡ N p ( ) ! ( ) − 1 ∑ V ( x ) ≈  V ( x ) = , N p = N dof + p v m P m ( x ) N dof ! p ! m = 0 • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡mul9variate ¡orthogonal ¡polynomial ¡basis ¡selected ¡due ¡to ¡ ¡ P m ( x ) W ( x ) • Legendre ¡polynomials ¡are ¡selected ¡as ¡polynomial ¡bases ¡regardless ¡of ¡ ¡ W ( x ) v m • Invert ¡this ¡rela9on ¡to ¡get ¡the ¡coefficients ¡ N SM ∑ ∫ v m = V ( x ) P m ( x ) d x = V ( x k ) P m ( x k ) α k , m = 0, … , N p k = 1 D • To ¡numerically ¡evaluate ¡mul9dimensional ¡integral ¡ § Tensor-­‑product ¡(TP) ¡integra9on ¡rule ¡ ¡ § Sparse ¡grid ¡(SG) ¡integra9on ¡rule ¡ ¡ Surrogate Model Observable

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ ¡ Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ • The ¡probabilis9c ¡colloca9on ¡(PC) ¡generates ¡surrogate ¡model ¡by ¡ p th -­‑order ¡generalized ¡polynomial ¡chaos ¡(gPC) ¡ expansion ¡ N p ( ) ! ( ) − 1 ∑ V ( x ) ≈  V ( x ) = , N p = N dof + p v m P m ( x ) N dof ! p ! m = 0 • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡mul9variate ¡orthogonal ¡polynomial ¡basis ¡selected ¡due ¡to ¡ ¡ P m ( x ) W ( x ) • Legendre ¡polynomials ¡are ¡selected ¡as ¡polynomial ¡bases ¡regardless ¡of ¡ ¡ W ( x ) v m • Invert ¡this ¡rela9on ¡to ¡get ¡the ¡coefficients ¡ N SM ∑ ∫ v m = V ( x ) P m ( x ) d x = V ( x k ) P m ( x k ) α k , m = 0, … , N p k = 1 D • To ¡numerically ¡evaluate ¡mul9dimensional ¡integral ¡ § Tensor-­‑product ¡(TP) ¡integra9on ¡rule ¡ ¡ § Sparse ¡grid ¡(SG) ¡integra9on ¡rule ¡ ¡ Surrogate Model Observable

Uncertainty ¡Quan9fica9on ¡Framework ¡– ¡ ¡ The ¡Mul9-­‑Element ¡Probabilis9c ¡Colloca9on ¡Method ¡ ¡ • The ¡ME-­‑PC ¡method* ¡ ¡for ¡efficiently ¡handling ¡func9ons ¡with ¡discon9nui9es, ¡rapid, ¡and ¡slow ¡varia9ons ¡together ¡ • Adap9vely ¡refines ¡(sub-­‑) ¡domains ¡based ¡on ¡the ¡decay ¡ ¡ ¡ ¡ ¡rates ¡of ¡observables ’ ¡local ¡variances ¡ ( ) τ γ = − γ ≥ β 1 (var var ) var ; J − j p j , p 1, j p j , j • Refinement ¡is ¡performed ¡along ¡dimensions ¡that ¡sa9sfy ¡ ⎛ ⎞ i ≥ τ 2 ⋅ i = v j ¡ i (var p , j − var p − 1, j ) α j i = 1, … , N dof α j ⎟ ; α j i max ⎜ ⎝ ⎠ ¡ * ¡ X. ¡Wan ¡and ¡G. ¡E. ¡Karniadakis, ¡ “ An ¡adap9ve ¡mul9-­‑element ¡generalized ¡polynomial ¡chaos ¡method ¡for ¡stochas9c ¡differen9al ¡equa9ons. ” J. ¡Comput. ¡ Phys. , ¡209 ¡(2005), ¡pp. ¡617-­‑642. ¡