using bayes theorem to infer the material parameters of
play

Using Bayes theorem to infer the material parameters of human - PowerPoint PPT Presentation


  1. ������������������� ��������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������� ����������������������������� ������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ������������ ������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������� ������������ � ������������������ ����������� ������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������� ������������������� ��������������� ������������������� ����������������� ����������������������������������������������������� ������������������������ ���������������������� ���������������������� ������������ ���������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� �������� ���������� � � ����� ����������� ������������ ������������������������� �������������������� � ������������ ��������� ���������� ������ ����������������� ������������� ������������������������������� ���� ������������ ������� ���������� ��� ���������� ���������� �������� ���������� ����������� �������������������������������� ��������������������� University of Ghent, Bayesian Afternoon Seminar Using Bayes’ theorem to infer the material parameters of human tissue Jack S. Hale Collaborators: Patrick E. Farrell, Stéphane P. A. Bordas 1

  2. Overview • Motivation. • Bayesian approach to inversion. • Relate classical optimisation techniques to the Bayesian inversion approach. • Using a domain specific language for variational forms to solve the equations. • Low-rank updates to deal with high-dimensional posterior covariance. • Example problem: sparse surface observations of a solid block. 2

  3. Motivation. 3

  4. Source: Phillips 4

  5. 5

  6. 6

  7. Q: What can we infer about the parameters inside the domain, just from displacement observations on the outside? Q: Which parameters am I most uncertain about? 7

  8. Framework 8

  9. X ∼ N (¯ x, Γ prior ) E ∼ N (0 , Γ noise ) Parameter Map y obs y x G + Inference π posterior ( x | y ) ∝ π likelihood ( y | x ) π prior ( x ) � � − 1 − 1 2 || y − G ( u ) || 2 π posterior ( x | y ) ∝ exp 2 || x − ¯ x || Γ − 1 Γ − 1 prior noise 9

  10. G : X → Y Inverse Problems: A Bayesian perspective. Stuart, Acta Numerica (2010). Contribution: Bayesian inverse problems in an infinite- dimensional setting. When is a Bayesian inverse problem well-posed? 10

  11. B 0 B φ The displacements y for a given material parameter x are defined by a the minimum point of the following Lagrangian: � � L ( y, x ) = Ω ψ ( y, x ) dx � Γ t · y ds where the energy density functional ψ is defined through the following equations: ψ ( u, x ) = x 2( I c � d ) � x ln( J ) + λ 2 ln( J ) 2 , F = ∂φ ∂ X = I + � y, C = F T F , I C = tr( C ) , J = det F . 11

  12. Even once discretised (Finite Element Method) G h : R n → R m Colin27 brain atlas 20% extension test, 16 Core Xeon, 1.12 million cells, ~29 secs. n = 1 , 112 , 000 12

  13. Problems • Evaluating parameter-to-observable map is very expensive. • Discretised parameter space can be very large. • Outcome: Exploring posterior with ‘traditional sampling’ is not going to work. 13

  14. Solutions 1. Connect Bayesian approach to ideas from classical optimisation. Using derivatives of posterior in parameter-space (Girolami). 2. Exploiting low-rank structure of prior to posterior covariance updates (Flath 2012, Spantini 2015). 14

  15. π posterior ( x | y ) ∝ π likelihood ( y | x ) π prior ( x ) x MAP = arg max x ∈ R n π posterior ( x | y ) x MAP cov( x | y ) x CM 15

  16. Linearise y = Ax − ln π posterior ( x | y ) = 1 + 1 2 || y − Ax || 2 2 || x − x 0 || Γ − 1 Γ − 1 prior noise 16

  17. Take the derivative � � � 1 + 1 � 2 � y � A x � 2 2 � x � x 0 � 2 g ( x MAP ) := � x � Γ � 1 Γ � 1 � noise prior � x = x map = A T Γ � 1 noise ( y � A x map ) + Γ � 1 prior ( x map � x 0 ) = 0 � − 1 ( A T Γ noise y + Γ prior x 0 ) � Γ − 1 prior − A T Γ − 1 x MAP = noise A 17

  18. MAP estimate. Bound-constrained Quasi-Newton BLMVM with More-Thuente line search and ‘correct’ Riesz map. 18

  19. and the second derivative… H := ∇ x g = Γ − 1 prior − A T Γ − 1 noise A � − 1 ( A T Γ noise y + Γ prior x 0 ) � Γ − 1 prior − A T Γ − 1 x MAP = noise A (After a fair bit of manipulation…) π posterior ∼ N ( x MAP , H − 1 ) 19

  20. MAP estimate x MAP cov( x | y ) x CM 20

  21. x MAP H − 1 ( x MAP ) cov( x | y ) x CM 21

  22. π posterior ∼ N ( x MAP , H − 1 ) π approx posterior ∼ N ( x MAP , H − 1 ( x MAP )) x MAP H − 1 ( x MAP ) cov( x | y ) x CM 22

  23. Tools • The FEniCS Project is collection of free software for the automated, efficient solution of differential equations using the finite element method. http://fenicsproject.org • dolfin-adjoint automatically Wells, Logg, Rognes, Kirby and many, many others… derives the discrete adjoint, tangent linear and higher- order adjoint models from a high-level description of the http://www.dolfin-adjoint.org forward model. Farrell, Funke, Ham and Rognes. 2015 Wilkinson Prize for Numerical Software. 23

  24. B 0 B φ The displacements y for a given material parameter x are defined by a the minimum point of the following Lagrangian: � � L ( y, x ) = Ω ψ ( y, x ) dx � Γ t · y ds where the energy density functional ψ is defined through the following equations: ψ ( u, x ) = x 2( I c � d ) � x ln( J ) + λ 2 ln( J ) 2 , F = ∂φ ∂ X = I + � y, C = F T F , I C = tr( C ) , J = det F . 24

Recommend


More recommend