Sum nota)on NEU 466M Instructor: Professor Ila R. Fiete - PowerPoint PPT Presentation

Sum ¡nota)on ¡ NEU ¡466M ¡ Instructor: ¡Professor ¡Ila ¡R. ¡Fiete ¡ Spring ¡2016 ¡

What ¡is ¡sum ¡nota)on? ¡ upper ¡limit ¡of ¡index ¡ N X a i = ( a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a N ) i =1 dummy ¡index ¡ lower ¡limit ¡of ¡index ¡

Proper)es: ¡sums ¡involving ¡a ¡constant ¡ a : ¡constant ¡that ¡does ¡not ¡change ¡with ¡index ¡ i ¡ ¡ N X a = Na i =1 N N X X ca i = c a i i =1 i =1 c : ¡constant ¡that ¡does ¡not ¡change ¡with ¡index ¡ i, ¡ ¡ thus ¡can ¡slide ¡out ¡of ¡sum ¡

Proper)es: ¡sum ¡of ¡sums ¡ N N N X X X a i + b i = ( a i + b i ) i =1 i =1 i =1

Proper)es: ¡products ¡of ¡sums ¡ ! 2 ✓ N ◆✓ N N do ¡not ¡repeat ¡dummy ¡index ¡ ◆ X X X = when ¡compu)ng ¡product ¡ ¡ a i a i a j over ¡sums ¡ ¡ i =1 i =1 j =1 ✓ N N ◆ a i ¡slides ¡into ¡sum ¡over ¡j ¡since ¡ ¡ X X = a i a j it ¡does ¡not ¡depend ¡on ¡j ¡ i =1 j =1 N N X X = ( a i a j ) i =1 j =1 N rewri)ng ¡both ¡sums ¡over ¡i,j ¡ ¡ ¡ X = ( a i a j ) more ¡compactly ¡under ¡single ¡ sum ¡sign ¡ ¡ i,j =1

Verify: ¡products ¡of ¡sums ¡ ! 2 N X = ( a 1 + a 2 + · · · + a N )( a 1 + a 2 + · · · + a N ) a i i =1 = a 1 a 1 + a 1 a 2 + a 1 a 3 + · · · + a 2 a 1 + a 2 a 2 + · · · + a N a 1 + a N a 2 + · · · a N a N N X = a i a j i,j =1

Proper)es: ¡shiM ¡in ¡index ¡ N N − M X X a i = a i + M i =0 i = M N + Q N X X a i = a i − Q i = M i = M + Q N N + k X X change-­‑of-­‑variables: ¡ a i b i + k = a j − k b j j=i+k ¡ i = M j = M + k