Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie Directeur: Benjamin Werner (TypiCal) Co-Directeur: St´ ephane Gaubert (Maxplus) Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON LIX, ´ Ecole Polytechnique Vendredi 14 Janvier 2011 Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
Plan 1 Contexte 2 Programmation semi-d´ efinie 3 Preuves formelles d’in´ egalit´ es convexes Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
Contexte Preuves appelant des calculs informatiques: Primalit´ e Th´ eor` eme des 4 couleurs D´ emonstration de Hales de la conjecture de Keppler Multiples int´ erˆ ets: Une partie du champ math´ ematique aborde ces techniques L’interface entre la partie « conventionnelle » d´ eductive et la partie calculatoire est particuli` erement propice aux erreurs Ouverture de nouveaux champs aux syst` emes de preuves en permettant l’automatisation de certains r´ esultats Am´ eliorer les outils d´ evelopp´ es par Roland Zumkeller en utilisant des techniques de programmation semi-d´ efinie = > int´ erˆ et pour les math´ ematiques appliqu´ ees Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
Programmation semi-d´ efinie Classe de probl` emes d’optimisation sous contraintes portant sur des matrices sym´ etriques d´ efinies-positives: Trouver X ∈ S n , solution de: inf � C , X � (P) A ( X ) = b X � 0 . De nombreux probl` emes courants peuvent ˆ etre formul´ es de cette mani` ere: d´ ecomposition de polynˆ omes en sommes de carr´ es, probl` emes de graphes,... R´ esolution avec l’algorithme des points int´ erieurs Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
Un exemple d’in´ egalit´ e polynomiale Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
Un exemple d’in´ egalit´ e polynomiale L’in´ egalit´ e d’avant peut se ramener ` a un probl` eme de somme de carr´ es (SOS) en multipliant le polynˆ ome par un autre de degr´ e suffisamment grand On utilise la m´ ethode de Gram, F ( x ) SOS ssi F ( x ) = ω ( x ) t Q ω ( x ) avec ω ( x ) un vecteur de monˆ omes, et Q � 0 On se ram` ene au probl` eme de r´ ealisibilit´ e SDP: f α = � β + γ = α Q β,γ (en posant F ( x ) = � α f α ) On factorise Q = L t L (Cholesky), le SDP est donn´ e par f = Lz Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
Preuves formelles d’in´ egalit´ es convexes Comment exploiter de tels algorithmes en Coq de mani` ere ` a pouvoir en accepter les r´ esultats comme des preuves formelles? Les algorithmes sont tr` es gourmands en calcul donc: On d´ el` egue ` a un outil ext´ erieur et rapide (C, Caml,...) le calcul, le r´ esultat ´ etant le certificat Le syst` eme de preuves doit alors seulement v´ erifier ce certificat: calcul formel Par exemple, on peut obtenir un certificat sur la d´ ecomposition en SOS. Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
Difficult´ es et points techniques Limiter la taille du certificat en choisissant un format hybride pour repr´ esenter les nombres, mˆ elant repr´ esentations num´ eriques classiques et symboliques Les conditions de r´ ealisabilit´ e qui sont n´ ecessaires pour avoir la convergence des m´ ethodes de points int´ erieurs ne sont pas tout le temps satisfaites = > points pass´ es sous silence dans la litt´ erature (Parillo, Lasserre, Peyrl, ...) Des erreurs d’arrondi peuvent faire augmenter la taille du certificat Difficult´ e d’interfacer les outils ext´ erieurs (languages de l’algorithme de r´ esolution des SDP) avec COQ = > mise en relation avec des travaux r´ ecents de David Monniaux sur les SOS Int´ erˆ et de traiter le probl` eme SDP avec d’autres outils math´ ematiques r´ ecents comme les amibes Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
Fin Merci pour votre attention! Doctorant 1` ere annee Victor MAGRON Preuves Formelles d’In´ egalit´ es et Programmation Semi-D´ efinie
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