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10/28/15 ¡ Scaffolding ¡Thinking: ¡Pu8ng ¡Students' ¡ Visual ¡RepresentaAons ¡to ¡Work ¡in ¡the ¡ Primary ¡MathemaAcs ¡Classroom ¡ Wisconsin ¡MathemaAcs ¡Council ¡ MathemaAcal ¡Proficiency ¡for ¡All ¡Students ¡Conference ¡ ¡Fall ¡2015 ¡ ¡ Beth ¡Schefelker—School ¡District ¡of ¡South ¡Milwaukee ¡ Melissa ¡Hedges—University ¡of ¡Wisconsin—Milwaukee ¡ ¡ Join ¡us ¡as ¡we ¡explore… ¡ • connecAons ¡between ¡MP4: ¡Model ¡with ¡ mathemaAcs ¡and ¡MTP3: ¡Use ¡and ¡connect ¡ mathemaAcal ¡representaAons. ¡ • representaAonal ¡competence ¡for ¡teachers ¡and ¡ students. ¡ • the ¡role ¡representaAons ¡play ¡in ¡supporAng ¡ classroom ¡discussions. ¡ • strategies ¡for ¡engaging ¡young ¡learners ¡in ¡ mathemaAcal ¡discussions ¡that ¡scaffold ¡their ¡ representaAonal ¡competence. ¡ 1 ¡

10/28/15 ¡ Learning ¡Targets ¡ • Explore ¡ways ¡to ¡help ¡young ¡learners ¡translate ¡ between ¡mathemaAcal ¡representaAons ¡so ¡ they ¡can ¡share ¡their ¡thinking. ¡ • Use ¡young ¡learners’ ¡visual ¡representaAons ¡as ¡ sites ¡for ¡discussions ¡of ¡mathemaAcal ¡ideas. ¡ • Engage ¡in ¡Math ¡Teaching ¡PracAce ¡3: ¡Use ¡and ¡ connect ¡mathemaAcal ¡representaAons. ¡ RepresentaAons: ¡ ¡ Bridges ¡to ¡Modeling ¡with ¡ MathemaAcs ¡ 2 ¡

10/28/15 ¡ Let’s ¡start ¡with ¡modeling! ¡ MP4: ¡Model ¡with ¡mathemaAcs. ¡ • MathemaAcally ¡proficient ¡students ¡can ¡apply ¡ the ¡mathemaAcs ¡they ¡know ¡to ¡solve ¡problems ¡ arising ¡in ¡everyday ¡life, ¡society, ¡and ¡the ¡ workplace. ¡ ¡ ¡ The ¡Basic ¡Modeling ¡Cycle ¡ p. ¡59 ¡High ¡School ¡CCSSM ¡ How ¡might ¡ ¡ Am ¡I ¡sure? ¡ I ¡solve ¡it? ¡ ¡ ¡ Hmmm… ¡ I ¡need ¡to ¡tell ¡ ¡ This ¡is ¡an ¡interesAng ¡ my ¡thinking ¡to ¡ ¡ problem, ¡indeed! ¡ someone ¡else. ¡ ¡ I ¡have ¡an ¡ ¡ What ¡does ¡that ¡ answer! ¡ answer ¡mean? ¡ ¡ ¡ 3 ¡

10/28/15 ¡ MP4: ¡Model ¡With ¡MathemaAcs ¡ ¡ A ¡Student ¡Driven ¡Process ¡ “As ¡teachers ¡we ¡model ¡with ¡mathemaAcs ¡rouAnely ¡ in ¡our ¡classrooms, ¡but ¡our ¡goal ¡is ¡that ¡our ¡students ¡ are ¡also ¡able ¡to ¡model ¡mathemaAcal ¡ ideas” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡2013, ¡p. ¡61). ¡ ¡ ¡ “While ¡teacher ¡modeling ¡[of ¡mathemaAcal ¡ideas] ¡is ¡ a ¡powerful ¡instrucAonal ¡tool, ¡our ¡students ¡will ¡only ¡ develop ¡this ¡pracAce ¡if ¡they ¡are ¡creaAng ¡their ¡own ¡ [mathemaAcal] ¡models” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡ 2013, ¡p. ¡61). ¡ ¡ ¡ MP4: ¡Model ¡With ¡MathemaAcs ¡ ¡ A ¡Student ¡Driven ¡Process ¡ “As ¡teachers ¡we ¡model ¡with ¡mathemaAcs ¡rouAnely ¡ in ¡our ¡classrooms, ¡but ¡our ¡goal ¡is ¡that ¡our ¡students ¡ are ¡also ¡able ¡to ¡model ¡mathemaAcal ¡ ideas” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡2013, ¡p. ¡61). ¡ ¡ ¡ “While ¡teacher ¡modeling ¡[of ¡mathemaAcal ¡ideas] ¡is ¡ a ¡powerful ¡instrucAonal ¡tool, ¡our ¡students ¡will ¡only ¡ develop ¡this ¡pracAce ¡if ¡they ¡are ¡creaAng ¡their ¡own ¡ (mathemaAcal) ¡models” ¡(O’Connell ¡& ¡SanGiovanni, ¡ 2013, ¡p. ¡61). ¡ ¡ ¡ 4 ¡

10/28/15 ¡ Ge8ng ¡mathemaAcal ¡thinking ¡ ¡ “out ¡of ¡their ¡heads” ¡ With ¡a ¡partner ¡come ¡up ¡with ¡several ¡ways ¡ young ¡learners ¡would ¡approach ¡this ¡problem: ¡ ¡ There ¡are ¡13 ¡crayons ¡in ¡the ¡box. ¡7 ¡are ¡red ¡and ¡ the ¡rest ¡are ¡black. ¡How ¡many ¡black ¡crayons ¡are ¡ there? ¡ Connec&ons ¡to ¡the ¡CCSSM ¡Kindergarten ¡ Standards ¡for ¡Mathema&cal ¡Content ¡ Opera&ons ¡and ¡Algebraic ¡Thinking ¡(OA) ¡ Understand ¡addi&on ¡as ¡pu@ng ¡together ¡and ¡adding ¡to, ¡and ¡ understand ¡subtrac&on ¡as ¡taking ¡apart ¡and ¡taking ¡from. ¡ K.OA.A.1 ¡ Represent ¡addiAon ¡and ¡subtracAon ¡with ¡objects, ¡fingers, ¡ mental ¡images, ¡drawings, ¡sounds ¡(e.g., ¡claps), ¡acAng ¡out ¡ ¡ ¡ situaAons, ¡verbal ¡explanaAons, ¡expressions, ¡or ¡equaAons. ¡ ¡ K.OA.A.2 ¡ Solve ¡addiAon ¡and ¡subtracAon ¡word ¡problems*, ¡and ¡add ¡ and ¡subtract ¡within ¡10, ¡e.g., ¡by ¡using ¡objects ¡or ¡drawings ¡to ¡ ¡ ¡ represent ¡the ¡problem. ¡ ¡ Kindergarten ¡students ¡work ¡with ¡“add ¡to” ¡and ¡“take ¡from” ¡result ¡unknown ¡situaAons ¡ and ¡“put ¡together/take ¡apart” ¡total ¡unknown ¡and ¡both ¡addends ¡unknown ¡situaAons ¡ ¡ Common ¡Core ¡Standards ¡WriAng ¡Team. ¡(2011). ¡ Progressions ¡for ¡the ¡common ¡core ¡state ¡standards ¡ in ¡mathema1cs ¡(dra3): ¡ ¡Coun1ng ¡and ¡cardinality, ¡opera1ons ¡and ¡algebraic ¡thinking . ¡hpp:// ime.math.arizona.edu/progressions. ¡ ¡ NaAonal ¡Governors ¡AssociaAon ¡Center ¡for ¡Best ¡PracAces ¡(NGA ¡Center) ¡and ¡Council ¡of ¡Chief ¡ ¡State ¡ School ¡Officers ¡(CCSSO). ¡(2014). ¡ Common ¡core ¡state ¡standards ¡for ¡mathema1cs . ¡ hpp://www.corestandards.org/Math/Content/1/NBT ¡ 5 ¡

10/28/15 ¡ Use and connect mathematical representations. Because of the abstract nature of mathematics, people have access to mathematical ideas only through the representations of those ideas. (National Research Council, 2001, p. 94) High-­‑leverage ¡Teaching ¡PracAce ¡#3 ¡ ¡ Use ¡and ¡Connect ¡Mathema&cal ¡Representa&ons ¡ ¡ Visual : ¡Illustrate, ¡show, ¡or ¡work ¡ Physical : ¡Use ¡concrete ¡objects ¡ with ¡mathemaAcal ¡ideas ¡using ¡ to ¡show, ¡study, ¡act ¡upon, ¡ ¡ diagrams, ¡pictures, ¡number ¡lines, ¡ or ¡manipulate ¡mathemaAcal ¡ graphs, ¡and ¡other ¡math ¡drawings. ¡ ideas ¡(e.g., ¡cubes, ¡counters, ¡ paper ¡strips). ¡ Symbolic : ¡Record ¡or ¡work ¡ with ¡mathemaAcal ¡ideas ¡ Contextual : ¡Situate ¡ using ¡numerals, ¡variables, ¡ mathemaAcal ¡ideas ¡in ¡ tables, ¡and ¡other ¡symbols. ¡ everyday, ¡ ¡real-­‑world, ¡ imaginary, ¡or ¡ ¡ mathemaAcal ¡situaAons ¡ Verbal : ¡Use ¡language ¡(words) ¡to ¡ and ¡contexts. ¡ interpret, ¡state, ¡define, ¡or ¡describe ¡ mathemaAcal ¡ideas. ¡ Huinker, ¡D. ¡(2015). ¡Teaching ¡for ¡representaAonal ¡competence ¡in ¡mathemaAcs. ¡New ¡England ¡ Journal ¡of ¡MathemaAcs. ¡ 6 ¡

10/28/15 ¡ Use ¡and ¡Connect ¡ ¡ Mathema&cal ¡Representa&ons ¡ • What ¡is ¡the ¡disAncAon ¡ ¡ between ¡physical ¡and ¡ ¡ visual ¡representaAons? ¡ • Describe ¡some ¡physical ¡ ¡ representaAons ¡that ¡might ¡ ¡ support ¡students’ ¡thinking ¡ ¡ in ¡the ¡Crayon ¡Task. ¡ ¡ • Describe ¡are ¡some ¡visual ¡representaAons ¡you ¡ would ¡expect ¡students ¡to ¡produce. ¡ ¡ • In ¡the ¡diagram, ¡why ¡do ¡the ¡arrows ¡go ¡both ¡ways? ¡ ¡ ¡ Use ¡and ¡Connect ¡ ¡ MathemaAcal ¡RepresentaAons ¡ Person ¡#1 ¡studies ¡the ¡ teacher ¡ac&ons . ¡ Person ¡#2 ¡studies ¡the ¡ student ¡ac&ons . ¡ ¡ Highlight ¡or ¡mark ¡key ¡ideas ¡on ¡the ¡hand-­‑out. ¡ Make ¡note ¡of ¡important ¡acAons. ¡ ¡ Turn ¡and ¡summarize ¡some ¡of ¡the ¡key ¡ideas ¡with ¡ your ¡partner ¡from ¡your ¡respecAve ¡list. ¡ 7 ¡