Game Theory -- Lecture 2 Patrick Loiseau - PowerPoint PPT Presentation

Game ¡Theory ¡ -­‑-­‑ ¡ Lecture ¡2 ¡ ¡ ¡ Patrick ¡Loiseau ¡ EURECOM ¡ Fall ¡2013 ¡ 1 ¡

Lecture ¡1 ¡recap ¡ • Defined ¡games ¡in ¡normal ¡form ¡ • Defined ¡dominance ¡noGon ¡ – IteraGve ¡deleGon ¡ – Does ¡not ¡always ¡give ¡a ¡soluGon ¡ • Defined ¡best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡ – Computed ¡Nash ¡equilibrium ¡in ¡some ¡examples ¡ à ¡Can ¡we ¡always ¡find ¡a ¡Nash ¡equilibrium? ¡ à à ¡How? ¡ à 2 ¡

Outline ¡ 1. Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡ – Equilibrium ¡computaGon ¡and ¡existence ¡theorem ¡ – Example: ¡Cournot ¡duopoly ¡ 2. Mixed ¡strategies ¡ – Best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡ 3. Mixed ¡strategies ¡Nash ¡equilibrium ¡computaGon ¡ 4. InterpretaGons ¡of ¡mixed ¡strategies ¡ 3 ¡

Outline ¡ 1. Games ¡with ¡conGnuous ¡acGon ¡sets ¡ – Equilibrium ¡computaGon ¡and ¡existence ¡theorem ¡ – Example: ¡Cournot ¡duopoly ¡ 2. Mixed ¡strategies ¡ – Best ¡response ¡and ¡Nash ¡equilibrium ¡ 3. Mixed ¡strategies ¡Nash ¡equilibrium ¡computaGon ¡ 4. InterpretaGons ¡of ¡mixed ¡strategies ¡ 4 ¡

The ¡partnership ¡game ¡(see ¡exercise ¡ sheet ¡1) ¡ • Two ¡partners ¡choose ¡effort ¡s i ¡in ¡S i =[0, ¡4] ¡ • Share ¡revenue ¡and ¡have ¡quadraGc ¡costs ¡ u 1 (s 1 ¡, ¡s 2 ) ¡= ¡½ ¡[4 ¡(s 1 ¡+ ¡s 2 ¡+ ¡b ¡s 1 ¡s 2 )] ¡-­‑ ¡s 1 2 ¡ ¡ u 2 (s 1 ¡, ¡s 2 ) ¡= ¡½ ¡[4 ¡(s 1 ¡+ ¡s 2 ¡+ ¡b ¡s 1 ¡s 2 )] ¡-­‑ ¡s 2 2 ¡ ¡ • Best ¡responses: ¡ ŝ 1 ¡= ¡1 ¡+ ¡b ¡s 2 ¡ ¡ ¡= ¡BR 1 (s 2 ) ¡ ŝ 2 ¡= ¡1 ¡+ ¡b ¡s 1 ¡ ¡ ¡= ¡BR 2 (s 1 ) ¡ 5 ¡

Finding ¡the ¡best ¡response ¡(with ¡twice ¡ conGnuously ¡differenGable ¡uGliGes) ¡ ∂ u 1 ( s 1 , s 2 ) • First ¡order ¡condiGon ¡(FOC) ¡ = 0 ∂ s 1 ∂ 2 u 1 ( s 1 , s 2 ) • Second ¡order ¡condiGon ¡(SOC) ¡ ≤ 0 ∂ 2 s 1 • Remark: ¡the ¡SOC ¡is ¡automaGcally ¡saGsfied ¡if ¡u i (s i ,s -­‑i ) ¡is ¡ concave ¡in ¡s i ¡for ¡all ¡s -­‑i ¡(very ¡standard ¡assumpGon) ¡ 6 ¡

Nash ¡equilibrium ¡graphically ¡ s 2 ¡ 5 ¡ BR 1 (s 2 ) ¡ 4 ¡ 3 ¡ BR 2 (s 1 ) ¡ 2 ¡ 1 ¡ 0 ¡ s 1 ¡ 1 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 4 ¡ 5 ¡ • NE ¡is ¡fixed ¡point ¡of ¡(s 1 , ¡s 2 ) ¡ à ¡(BR(s 2 ), ¡BR(s 1 )) ¡ 7 ¡

Best ¡response ¡correspondence ¡ • DefiniGon: ¡ŝ i ¡is ¡a ¡BR ¡to ¡s -­‑i ¡if ¡ŝ i ¡solves ¡ max ¡u i (s i ¡, ¡s -­‑i ) ¡ • The ¡BR ¡to ¡s -­‑i ¡may ¡not ¡be ¡unique! ¡ • BR(s -­‑i ): ¡set ¡of ¡s i ¡that ¡solve ¡ max ¡u i (s i ¡, ¡s -­‑i ) ¡ ¡ • The ¡definiGon ¡can ¡be ¡wriden: ¡ ¡ ŝ i ¡is ¡a ¡BR ¡to ¡s -­‑i ¡if ¡ ˆ s i ∈ BR i ( s − i ) = argmax u i ( s i , s − i ) s i • Best ¡response ¡correspondence ¡of ¡i: ¡s -­‑i ¡ à ¡BR i (s -­‑i ) ¡ • (Correspondence ¡= ¡set-­‑valued ¡funcGon) ¡ 8 ¡

Nash ¡equilibrium ¡as ¡a ¡fixed ¡point ¡ • Game ¡ ( ) ( ) i ∈ N , u i ( ) i ∈ N N , S i • Let’s ¡define ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(set ¡of ¡strategy ¡profiles) ¡ S = × i ∈ N S i and ¡the ¡correspondence ¡ B : S → S s  B ( s ) = × i ∈ N BR i ( s − i ) • For ¡a ¡given ¡s, ¡B(s) ¡is ¡the ¡set ¡of ¡strategy ¡profiles ¡s’ ¡ such ¡that ¡s i ’ ¡is ¡a ¡BR ¡to ¡s -­‑i ¡for ¡all ¡i. ¡ ¡ s * ∈ B ( s * ) • A ¡strategy ¡profile ¡s * ¡is ¡a ¡Nash ¡eq. ¡iif ¡ (just ¡a ¡re-­‑wriGng ¡of ¡the ¡definiGon) ¡ ¡ 9 ¡

Kakutani’s ¡fixed ¡point ¡theorem ¡ Theorem: ¡Kakutani’s ¡fixed ¡point ¡theorem ¡ Let ¡ X ¡be ¡a ¡compact ¡convex ¡subset ¡of ¡R n ¡and ¡let ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡be ¡a ¡set-­‑valued ¡funcGon ¡for ¡which: ¡ f : X → X • for ¡all ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡the ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡nonempty ¡convex; ¡ x ∈ X f ( x ) • the ¡graph ¡of ¡f ¡is ¡closed. ¡ Then ¡there ¡exists ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡such ¡that ¡ x * ∈ f ( x * ) x * ∈ X 10 ¡

Closed ¡graph ¡(upper ¡hemiconGnuity) ¡ • DefiniGon: ¡f ¡has ¡closed ¡graph ¡if ¡for ¡all ¡sequences ¡(x n ) ¡and ¡(y n ) ¡ such ¡that ¡y n ¡is ¡in ¡f(x n ) ¡for ¡all ¡n, ¡x n à x ¡and ¡y n à y, ¡y ¡is ¡in ¡f(x) ¡ • AlternaGve ¡definiGon: ¡f ¡has ¡closed ¡graph ¡if ¡for ¡all ¡x ¡we ¡have ¡the ¡ following ¡property: ¡for ¡any ¡open ¡neighbourhood ¡V ¡of ¡f(x), ¡ there ¡exists ¡a ¡neighbourhood ¡U ¡of ¡x ¡such ¡that ¡for ¡all ¡x ¡in ¡U, ¡f(x) ¡ is ¡a ¡subset ¡of ¡V. ¡ • Examples: ¡ 11 ¡

Existence ¡of ¡(pure ¡strategy) ¡Nash ¡ equilibrium ¡ Theorem: ¡Existence ¡of ¡pure ¡strategy ¡NE ¡ Suppose ¡that ¡the ¡game ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡saGsfies: ¡ ¡ ( ) ( ) i ∈ N , u i ( ) i ∈ N N , S i • The ¡acGon ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡each ¡player ¡is ¡a ¡nonempty ¡ S i compact ¡convex ¡subset ¡of ¡R n ¡ • The ¡uGlity ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡each ¡player ¡is ¡conGnuous ¡in ¡ ¡ ¡ u i s (on ¡ ¡ ¡) ¡and ¡concave ¡in ¡ ¡ ¡ ¡(on ¡ ¡ ¡ ¡) ¡ s i S i S Then, ¡it ¡exists ¡a ¡(pure ¡strategy) ¡Nash ¡equilibrium. ¡ ¡ ¡ • Remark: ¡the ¡concave ¡assumpGon ¡can ¡be ¡relaxed ¡ 12 ¡

Proof ¡ • Define ¡B ¡as ¡before. ¡B ¡saGsfies ¡the ¡assumpGons ¡of ¡ Kakutani’s ¡fixed ¡point ¡theorem ¡ • Therefore ¡B ¡has ¡a ¡fixed ¡point ¡which ¡by ¡definiGon ¡is ¡a ¡ Nash ¡equilibrium! ¡ • Now, ¡we ¡need ¡to ¡actually ¡verify ¡that ¡B ¡saGsfies ¡the ¡ assumpGons ¡of ¡Kakutani’s ¡fixed ¡point ¡theorem! ¡ 13 ¡

Example: ¡the ¡partnership ¡game ¡ • N ¡= ¡{1, ¡2} ¡ • S ¡= ¡[0,4]x[0,4] ¡compact ¡convex ¡ • UGliGes ¡are ¡conGnuous ¡and ¡concave ¡ u 1 (s 1 ¡, ¡s 2 ) ¡= ¡½ ¡[4 ¡(s 1 ¡+ ¡s 2 ¡+ ¡b ¡s 1 ¡s 2 )] ¡-­‑ ¡s 1 2 ¡ ¡ u 2 (s 1 ¡, ¡s 2 ) ¡= ¡½ ¡[4 ¡(s 1 ¡+ ¡s 2 ¡+ ¡b ¡s 1 ¡s 2 )] ¡-­‑ ¡s 2 2 ¡ ¡ • Conclusion: ¡there ¡exists ¡a ¡NE! ¡ • Ok, ¡for ¡this ¡game, ¡we ¡already ¡knew ¡it! ¡ • But ¡the ¡thm ¡is ¡much ¡more ¡general ¡and ¡applies ¡to ¡ games ¡where ¡finding ¡the ¡equilibrium ¡is ¡much ¡ more ¡difficult ¡ 14 ¡

One ¡more ¡word ¡on ¡the ¡partnership ¡ game ¡before ¡we ¡move ¡on ¡ • We ¡have ¡found ¡that ¡ ¡ – At ¡Nash ¡equilibrium: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡s* 1 ¡= ¡s* 2 ¡=1/(1-­‑b) ¡ ¡ – To ¡maximize ¡the ¡sum ¡of ¡uGliGes: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡s W 1 ¡= ¡s W 2 ¡=1/(1/2-­‑b) ¡> ¡s* 1 ¡ • Sum ¡of ¡uGliGes ¡called ¡social ¡welfare ¡ • Both ¡partners ¡would ¡be ¡beder ¡off ¡if ¡they ¡ worked ¡s W 1 ¡(with ¡social ¡planner, ¡contract) ¡ • Why ¡do ¡they ¡work ¡less ¡than ¡efficient? ¡ ¡ 15 ¡

Externality ¡ • At ¡the ¡margin, ¡I ¡bear ¡the ¡cost ¡for ¡the ¡extra ¡unit ¡of ¡ effort ¡I ¡contribute, ¡but ¡I’m ¡only ¡reaping ¡half ¡of ¡the ¡ induced ¡profits, ¡because ¡of ¡ profit ¡sharing ¡ • This ¡is ¡known ¡as ¡an ¡“externality” ¡ è When ¡I’m ¡figuring ¡out ¡the ¡effort ¡I ¡have ¡to ¡put ¡I ¡don’t ¡ take ¡into ¡account ¡that ¡other ¡half ¡of ¡profit ¡that ¡goes ¡to ¡ my ¡partner ¡ è In ¡other ¡words, ¡my ¡effort ¡benefits ¡my ¡partner, ¡not ¡just ¡ me ¡ • ExternaliGes ¡are ¡omnipresent: ¡public ¡good ¡problems, ¡ free ¡riding, ¡etc. ¡(see ¡more ¡in ¡the ¡netecon ¡course) ¡ 16 ¡