Development and Application of Worm-type Algorithm in Classical and Quantum Lattice Models Youjin ¡Deng ¡ Univ. ¡of ¡Sci. ¡& ¡Tech. ¡of ¡China ¡(USTC) ¡ Adjunct: ¡Umass, ¡Amherst ¡ Ins-tute ¡for ¡Advanced ¡Study, ¡Tsinghua ¡ ¡University ¡ Beijing, ¡2013-‑10-‑9
Outline u Worm ¡Algorithm ¡ - Markovian-‑Chain ¡Monte ¡Carlo ¡(MCMC) ¡method ¡ - Worm ¡algorithm ¡for ¡Ising ¡and ¡Bose-‑Hubbard ¡models ¡ - Worm ¡algorithm ¡for ¡other ¡models ¡ u ¡Applica@ons ¡ - Quantum ¡cri@cal ¡dynamics ¡ - N-‑component ¡loop ¡models ¡ Nikolay ¡Prokof’ev ¡ Boris ¡Svistunov ¡ Timothy ¡Garoni ¡ Qingquan ¡Liu ¡ Kun ¡Chen ¡ Yuan ¡Huang ¡ UMass, ¡Amherst ¡ UMass, ¡Amherst ¡ Monash ¡University ¡ USTC ¡ USTC ¡ USTC ¡
Introduction to MCMC l Given a statistical system—e.g, Ising model ∑ ( W ν : weight of configuration v ) Partition Sum: Z = W ν ν ( ) W ν / Z ∑ To-be-calculated observable: A = A ν ν l Procedure for Markov-Chain Monte Carlo method ∝ W ν GOAL: Probability of each configuration
Introduction to MCMC l Sufficient conditions - Detailed balance (easy to satisfy) ( ) = W ν ' p u P ( ) acc ν → ν ' acc ν ' → ν W ν p u P u u p u : probability to choose "update u " ( ) : acceptance probability acc ν → ν ' P u - Ergodicity (difficult to prove) Ø Different update schemes ßà Different algorithms
What is worm? ¡ Masha ¡ Ira ¡ A ¡cartoon ¡picture ¡of ¡a ¡worm Worm ¡in ¡worm ¡algorithm
What is worm? Configuration space { v }: close loops Worm ¡state ¡space ¡(A,I,M) Ira ¡ Masha ¡ Simple Idea: Extend configuration space!
Worm algorithm for Ising model • Ising model ⇓
Worm algorithm for Ising model • Partition sum in worm sector: Worm ¡state ¡space ¡(A,I,M) ∑ Z worm = tanh β | A | Ira ¡ {( A , I , M )} Masha ¡ Standard ¡worm ¡update ( , , A I M ) i) Start ¡in ¡configura@on ¡ ¡ ii) Pick ¡I ¡or ¡M, ¡say ¡I ¡ iii) Choose ¡one ¡of ¡ ¡I’s ¡neighbor, ¡say ¡ ¡L ¡ → Δ iv) Propose ¡ ( , , A I M ) ( A IL L M , , ) v) Accept ¡the ¡propose ¡with ¡probability ¡p ¡ ! Just a Metropolis method.
Worm algorithm for Ising model • Demonstration
Worm Algorithm for Bose-Hubbard Model An efficient update scheme for the continuous-time (imaginary) path-integral (world-line) representation of interacting bosonic or spin systems without sign problem.
Interacting Particles on a lattice: ∑ ∑ ∑ = + = − µ − + H H H U n n n t n n ( , ) b b 0 1 ij i j i i i j j i < > i j i i j diagonal off-diagonal β ∫ − τ τ H ( ) d 1 −β −β = ≡ H H Z Tr e Tr e e 0 0 β −β τ = H H H ( ) e H e 0 0 1 1 ⎧ β β β ⎫ ⎪ ⎪ ∫ ∫∫ −β = H − τ τ + τ τ τ τ + Tr e 1 H ( ) d H ( ) H ( ') d d ' ... ⎨ ⎬ 0 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ τ 0 ' 0 = ... { } n { , n n n , , } In the diagonal basis set (occupation-number representation): i 1 2 3 β β β ∑ ∫ ∫∫ −β − β−τ −τ − β−τ − τ−τ −τ = H − ( ) H H τ + ( ) H ( ') H ' H τ τ + Z { } n e e H e d e H e H e d d ' ... { } n 0 0 0 0 0 0 i 1 1 1 i { n } τ 0 ' 0 i { } n Each term describes a particular evolution of as imaginary “time” increases i
0-order term one of the 2-order terms β imaginary time t (1,2) τ ' + + τ in this example 0 i j n = i { } 0,1,2,0 j i β ∫ − U ({ n i ( τ )}) d τ K ∑ ∏ Z = { n i ( τ k + 0)}|( − H 1 d τ k ) |{ n i ( τ k − 0)} e 0 { n i ( τ )} k = 1 off-diagonal matrix elements for the trajectory with K kinks at times β β > τ > > τ > τ > (ordered sequence on the -cylinder) ... 0 potential K 2 1 energy contribution in this example, for K=2, it equals all possible trajectories for bosons × t 2 t 2 for N particles with K hopping transitions
β - H Z=Tre high-order term for β Similar expansion in hopping terms for + β τ τ - H G = Tr b ( i , ) b i ( , )e IM M M M I I I + two special points for Ira and Masha β 0 τ M M I τ I 0 i i M I ∪ Z G The rest is worm algorithm in this configuration space: IM draw and erase lines using exclusively Ira and Masha
ergodic set of local updates τ time shift: Ira or Masha τ ' j j i i space shift space shift (“particle” type): (“hole” type): j j i i Insert/delete Ira and Masha: ↔ Z G Z G connects and configuration spaces
I I M M I I
Worm Algorithm for Other Models • XY model (reduced Hamiltonian) ∑ 2 H = − J i = ( S i = 1 x , S i y ) and S S i S S j i < i , j > Par@@on ¡sum ¡ - Spin ¡representa@on ¡ ∏ ∏ ∫ Z spin = exp( J S i S j ) dS k < i , j > k • Graph ¡representa@on ¡ ∑ I l i , j ( β ) ∏ ¡ Z XY = ' Oriented ¡Loops ¡(current): ¡ < i , j > l i , j Kirchoof ¡law ¡for ¡each ¡site! Ø More general current models can be formulated—e.g, Villain model. Ø Worm algorithm can be easily formulated.
Worm Algorithm for Other Models • N-component loop model on cubic lattices - Spin ¡representa@on ¡ ∏ ∏ ∫ Z spin = (1 + J S i ⋅ S j ) dS k ¡ < i , j > k - Graph ¡representa@on ¡ ∑ Z loop = ( x = tanh J ) x | A | n | c | Non-intersecting loops ¡ Ø Parameter n can be non-integer. Ø It plays an important role in the SLE theory in 2D. Ø Worm algorithm needs to combine with other computational techniques. (--e.g, coloring technique, efficient search algorithm, rejection-free trick). Ø Physics is less well known for D>2. Ø Study becomes difficult without worm algorithm.
Worm Algorithm for Other Models • Coloring problem (T=0 Potts antiferromagnet) – Ising ¡an@ferromagnet ¡on ¡triangular ¡laPce ¡ – Three-‑coloring ¡problem ¡on ¡kagome ¡laPce ¡ – Four-‑coloring ¡problem ¡on ¡triangular ¡laPce ¡
Worm Algorithm for Other Models • Planar/standard q-state Potts models ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ è ¡flow ¡polynomial ¡ ¡ | ϕ | 4 • model ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ è ¡J-‑current ¡model ¡ • Spin glass?
Worm Algorithm for Other Models • Quantum spin models without sign problem ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ (mul@-‑site ¡interac@on ¡is ¡allowed) ¡ ¡ • Fermions in 1D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(No ¡sign ¡problem ¡in ¡1D) ¡ • Diagrammatic MC method for Fermionic systems
Worm Algorithm for Other Models Move ¡worm ¡in ¡diagMC: ¡ k − q − δ k k − q Σ + = ( p ) + δ − q − − δ q q + q + δ p 无法显示图像。您的 计算机可能因内存不 足而无法打开图像， 或图像已遭损坏。请 p Σ Σ Now ¡measure ¡ ¡Do ¡not ¡measure ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Efficiency of Worm Algorithm • Ising model τ ξ z – Near ¡cri@cality, ¡autocorrela@on ¡@me ¡ – D= ¡2 ¡Ising ¡model ¡ • Glauber ¡(Metropolis) ¡ ¡z ¡≈ ¡2 ¡ • Swendsen-‑Wang ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ z ¡≈ ¡0.2 ¡ z | A | ≈ 0.379 • Worm ¡ ¡ – D=3 ¡Ising ¡model ¡ z | A | ≈ 0.174 • ¡Worm ¡ • ¡ Swendsen-‑Wang ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ z ¡≈ ¡0.46 ¡
Efficiency of Worm Algorithm • Bosons/quantum spins From system sizes L = 3 3 8 L = 3 3 200 To system sizes
Efficiency of Worm Algorithm • Why is worm algorithm efficient: - Easy to change topology - Capture two-point correlation/Green functions
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