Weak localisation magnetoresistance in graphene Edward McCann - PowerPoint PPT Presentation

Weak localisation magnetoresistance in graphene Edward McCann Lancaster University, UK with K. Kechedzhi, V.I. Fal’ko, H. Suzuura, T. Ando, B.L. Altshuler

Outline 1. Introduction – chiral particles in graphene, Berry’s phase π π π π , absence of backscattering, antilocalisation (?) 2. Weak localisation in graphene – trigonal warping and “hidden” valley symmetry [high density ε ε F τ τ >>1] ε ε τ τ 3. Weak localisation in bilayer graphene

J.Slonczewski and P.Weiss, Phys. Rev. 109, 272 (1958)

e − 2 π i / 3 i 0 e 2 π i / 3 e + π π � p

������������������� For one K point (e.g. ξ ξ ξ ξ =+1) we have a 2 component wave function,   ψ   ψ = A   ψ   B with the following effective Hamiltonian:  −    + π 0 p ip ( ) � . � 0     x y = = = σ + σ = σ H v v v p p v p     + x x y y π 0 p ip     0 x y Bloch function amplitudes on the AB sites (‘pseudospin’) mimic spin components of a relativistic Dirac fermion.

������������������� Chiral electrons   + π � � � � 0   pseudospin direction = = σ ⋅ = σ ⋅ H v v p vp n   is linked to an axis π   0 determined by electronic momentum. for conduction band E = vp � � electrons, � p σ ⋅ n = 1 p p � � x y σ ⋅ n = − 1 � p valence band (‘holes’)

�������������������������       + − ϕ − ϕ π i i / 2 0 0 e e ( )       = = = ⇔ ψ ϕ = 1 H v vp ; E vp       ϕ ϕ π i i / 2 2       0 e 0 e ������������������������������� ( ) ( ) ( ) 2 ψ ϕ ψ ϕ = = ϕ 2 0 cos / 2 ϕ = 0 ϕ ϕ ϕ ���������������� �������������� ��������� ����������� �����������������������������

��������������������������������������������

�������������������������������������������� page 5098

����������������������������� article 266603 ��������������������� ���������������������� ��������������������� ����������������

����������������������������� !""# ���������� ����������������������������������������������������� ������������ ��!�����������"� �����������#�����$����%&�'������������(�)��������$�& �*����� '����+���%���,� $% ��-./0-.�12--/3 ������ ����������%������������'�������������*�������� (�� �������������'����+���%���,� $% ��-4/0-2�12--/3 �"���������� ����������������5������$����$������$����������������������������������6���������� ��������� &#��������� ��$�#�*����������$5���7-/-4809 �:���������������������������������� ��$����������������������������� ����;����� � ����$������"�#��<����=������������&�$�����$�>%�&����������'����+���%���,� $% ��.?/0-@�12--/3 �����������$����$���������������������������� "%�&������ ��$� >������������$5���7-/-82-- �%��������������������$����$���$���������� &�&�����$�����$5���7-/-82?8

&����������� π π π π   + π 0 �������������������������   = H v   ���������������������' π   0 &�������������������� �����������������������������������' ()������������ ������'

*������� ������

*������� ������ φ π = + ≡ i p ip pe x y + − φ π = − ≡ i p ip pe x y       + π π A 2 0 0   ξ = +     1 = ξ v − µ   H B     1 + π π   2     0 ( ) 0  B  ξ = − 1     A �������� ������ �����������+� ξ ξ ,-.��. ξ ξ

*������� ������   A       + π π 2 ξ = + 1 0 0       B = ξ v − µ H       1 + π π 2     0 ( ) 0  B  ξ = − 1     A ε = − ξµ φ + µ µ << 2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 cos 3 ; / 1 v p vp p p v

*������� ������ *������� ������������������������������������ �������������� ���������������������������� ��������������������������������������� [ ] ( � ) ( � ) ∑ δ = ε − ε − � p p l v j j j F [ ] ( � ) ( � ) ∑ δ = ε − ε − p p l v j j j j F j /����������������� ��� � ( ) δ τ 2 2 2 � ~ Tr h p φ t / ~ 1 >> τ w ������������������������������ t τ ���������������������������� t / τ ������ l ~ v j F *������� �����������+����������� � ( ) ( ) 2 τ − τ τ ε µ 1 2 2 2 2 � � ~ Tr h p / ~ 2 / v w w

*������� ������   A       + π π 2 ξ = + 1 0 0       B = ξ v − µ H       1 + π π 2     0 ( ) 0  B  ξ = − 1     A ε = − ξµ φ + µ µ << 2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 cos 3 ; / 1 v p vp p p v

0����������������   1 0 0 0   ���������   � � 0 1 0 0 ˆ ��������� = + V ( r ) u ( r )   0 0 1 0 ��������       0 0 0 1 ��)�)�������� ������������������������� ����������������� �������������� � � � � ����������������� ( ) = δ − 2 u ( r ) u ( r ' ) u r r ' ������������������������������������ �������������1��������2 ��������������� τ τ τ " τ �.