Threshold Networks over undirected graphs Universidad Adolfo - PowerPoint PPT Presentation

Threshold ¡Networks ¡over ¡undirected ¡graphs ¡ Universidad ¡Adolfo ¡Ibáñez, ¡SanHago, ¡Chile ¡ Antonio.chacc@gmail.com ¡

Threshold ¡networks ¡ x ∈ {0,1} n n ∑ for 1 ≤ i ≤ n x i = H ( w ij x j − b i ) " j = 1 W = ( w ij ) the ¡weight ¡integral ¡matrix ¡ b = ( b i ) the ¡threshold ¡vector ¡ if ¡ H ( u ) = 1 u ≥ 0 ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡otherwise ¡

The ¡dynamics ¡ Block-­‑ ¡sequenHal ¡updates : ¡ ¡ ¡ Consider ¡a ¡parHHon ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡the ¡set ¡ ¡{1, ¡…, ¡n} ¡ { I 1 ,..., I p } ¡ We ¡update ¡ ¡the ¡blocks ¡one ¡by ¡one: ¡ ¡ To ¡update ¡the ¡k-­‑th ¡block ¡we ¡consider ¡the ¡new ¡state ¡of ¡every ¡sites ¡belong ¡to ¡previous ¡blocks. ¡ ¡ Parallel ¡or ¡synchronous ¡update: ¡only ¡one ¡block. ¡Every ¡site ¡is ¡updated ¡at ¡ ¡the ¡same ¡Hme. ¡ ¡ SequenHal ¡update: ¡n-­‑blocks ¡of ¡cardinality ¡one: ¡sites ¡are ¡updated ¡one ¡by ¡ ¡one ¡in ¡a ¡prescribed ¡order . ¡ ¡

_ ¡ 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ EXAMPLE ¡ {1,2,3} ¡ Some ¡Block-­‑SequenHal ¡ {1} ¡{2,3} ¡ {1,2} ¡{3} ¡ ¡parHHons ¡for ¡three ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡sites ¡ {1} ¡{2} ¡{3} ¡ F {1,2,3} ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 2 , x 1 + x 3 , ¬ x 2 ) F {1,2}{3} ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 2 , x 1 + x 3 ,( ¬ x 1 )( ¬ x 3 )) F {1}{2,3} ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 2 , x 2 + x 3 , ¬ x 2 ) F {1}{2,3} ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 2 , x 2 + x 3 ,( ¬ x 2 )( ¬ x 3 ))

Two ¡cycle ¡ 101 ¡ 111 ¡ F 001 ¡ 010 ¡ 101 ¡ {1,2,3} 000 ¡ 001 ¡ 011 ¡ 110 ¡ 000 ¡ 100 ¡ 111 ¡ F 010 ¡ 100 ¡ {1,2}{3} 011 ¡ 110 ¡ 101 ¡ 111 ¡ F {1}{2,3} Block ¡ ¡ 000 ¡ 001 ¡ 011 ¡ 110 ¡ sequenHal ¡ diagrams ¡ 100 ¡ 010 ¡ 000 ¡ 001 ¡ 010 ¡ 100 ¡ 011 ¡ 110 ¡ 101 ¡ F 111 ¡ {1}{2}{3}

Cycles ¡for ¡synchronous ¡and ¡sequenHal ¡updates ¡ G :{0,1} 3 → {0,1} 3 F :{0,1} 3 → {0,1} 3 1 ¡ 1 ¡ g 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 2 f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 2 2 ¡ 2 ¡ g 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 3 f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 3 3 ¡ 3 ¡ g 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 2 f 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 ¡ ¡ 100 ¡ 000 ¡ 111 ¡ 000 ¡ 011 ¡ 111 ¡ 001 ¡ 010 ¡ 100 ¡ 001 ¡ 010 ¡ 101 ¡ 110 ¡ 011 ¡ 110 ¡ 101 ¡ SequenHal ¡update: ¡2-­‑cycle ¡ Parallel ¡update: ¡3-­‑cycles ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Hopfield ¡Threshold ¡Networks ¡ ¡ ¡ ¡ ε k ∈ { − 1,1} n { ε 1 ,..., ε p } ¡ p ¡vectors ¡to ¡be ¡memorized ¡ ¡ ¡ p w ij = 1 The ¡matrix ¡weight: ¡ ¡ ∑ i , j ∈ {1,..., n } k k ε i ε j p k = 1 Thresholds ¡= ¡ ¡0 ¡ W ¡is ¡symmetric ¡ Dynamics: ¡ ¡sequenHal ¡or ¡asynchronous ¡update. ¡ J. ¡J. ¡Hopfield, ¡"Neural ¡networks ¡and ¡physical ¡systems ¡with ¡emergent ¡ collecHve ¡computaHonal ¡abiliHes", ¡Proceedings ¡of ¡the ¡NaHonal ¡ Academy ¡of ¡Sciences ¡of ¡the ¡USA, ¡vol. ¡79 ¡no. ¡8 ¡pp. ¡2554–2558, ¡April ¡ 1982 ¡

Arabidopsis ¡regulaHon ¡threshold ¡network ¡ BioinformaHcs. ¡1999 ¡Jul-­‑Aug;15(7-­‑8):593-­‑606. ¡ Demongeot ¡J, ¡G. ¡E, ¡Morvan ¡M, ¡Noual ¡M, ¡Sené ¡S ¡(2010) ¡ApracHon ¡ GeneHc ¡control ¡of ¡flower ¡morphogenesis ¡in ¡Arabidopsis ¡thaliana: ¡ ¡ Basins ¡as ¡Gauges ¡of ¡Robustness ¡ ¡ a ¡logical ¡analysis. ¡Mendoza ¡L, ¡Thieffry ¡D, ¡Alvarez-­‑Buylla ¡ER. ¡ against ¡Boundary ¡CondiHons ¡in ¡Biological ¡Complex ¡Systems. ¡PLoS ¡ONE ¡ ¡ 5(8): ¡e11793. ¡doi:10.1371 ¡

Parallel ¡ dynamics ¡ ¡of ¡Yeast1 ¡ Yeast ¡cell-­‑cycle ¡ Threshold ¡Networks ¡ Parallel ¡ dynamics ¡ ¡of ¡yeast2 ¡ D econtrucHon ¡and ¡Dynamical ¡robustness ¡ of ¡regulatory ¡networks: ¡applicaHon ¡to ¡the ¡Yeast ¡ cell ¡cycle ¡networks. ¡E.G, ¡M. ¡Montalva ¡and ¡G. ¡ ¡Ruz, ¡ Bull ¡Math ¡Biol ¡(2013) ¡75, ¡939-­‑966 ¡

The ¡Schelling ¡segregaHon ¡model ¡ T homas ¡C. ¡Schelling ¡(1969) ¡ Two ¡dimensional ¡lasce ¡with ¡Moore’s ¡neighborhood, ¡states ¡{-­‑1,1} ¡ An ¡individual ¡is ¡unhappy ¡if ¡there ¡are ¡ • more ¡than ¡ ¡k ¡ ¡individuals ¡on ¡the ¡other ¡ state ¡in ¡its ¡neighborhood ¡ At ¡each ¡step, ¡one ¡lists ¡the ¡unhappy ¡individuals ¡ of ¡both ¡ ¡ ¡ species, ¡and ¡then ¡randomly ¡ ¡one ¡exchanges ¡two ¡individuals ¡of ¡opposite ¡ value . ¡ ¡ N. ¡Goles-­‑Domic, ¡E.G., ¡S. ¡Rica, ¡Dynamics ¡and ¡Complexity ¡ Of ¡the ¡Schelling ¡segregaHon ¡model, ¡Phys. ¡Rev ¡E, ¡vol1E83 ¡ Pp1-­‑13,2011 ¡

Phase ¡diagram ¡

¡ ¡ ¡ ¡Bootstrap ¡PercolaHon ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Given ¡a ¡finite ¡undirected ¡graph ¡G=(V,E) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡an ¡iniHal ¡configuraHon ¡of ¡0’s ¡and ¡1’s ¡ ¡ Consider ¡the ¡strict ¡majority ¡funcHon ¡operaHng ¡at ¡each ¡node ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡What ¡is ¡the ¡relaHonship ¡between ¡the ¡graph ¡and ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡proporHons ¡of ¡1’s ¡such ¡that ¡ ¡updated ¡in ¡parallel ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡every ¡node ¡ ¡will ¡become ¡1? ¡ ¡ ¡ E. ¡G., ¡P. ¡Montealegre-­‑Barba, ¡I. ¡Todinca, ¡The ¡complexity ¡of ¡the ¡bootstraping ¡ ¡percolaHon ¡and ¡related ¡problems, ¡TheoreHcal ¡Comp. ¡Science, ¡to ¡appear ¡(2013). ¡

x i = 1 Remains ¡constant ¡at ¡1 ¡ If ¡ ¡ ¡ x i = 0 x j > 1 ∑ Maj i ( x ) = 1 ⇔ 2 | V i | j ∈ V i x i = 1 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡otherwise ¡ V i = { j ∈ V /( i , j ) ∈ E }

Apractors ¡on ¡threshold ¡networks ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡over ¡undirected ¡graphs ¡

We ¡consider ¡only ¡symmetric ¡integral ¡threshold ¡networks. ¡ ¡ i.e. ¡W ¡being ¡a ¡symmetric ¡matrix ¡with ¡integral ¡entries. ¡ ¡ W=W(G) ¡is ¡the ¡symmetric ¡incidence ¡matrix ¡of ¡a ¡weighted ¡graph ¡G=(V,E) ¡ 2 ¡ # 0 2 1 0 & 1 ¡ 2 ¡ % ( 2 0 5 1 1 ¡ % ( 1 ¡ W = 5 ¡ % 1 5 0 0 ( % ( 3 ¡ 4 ¡ 0 1 0 − 1 $ ' -­‑1 ¡

¡ ¡Example ¡of ¡dynamics ¡for ¡symmetric ¡threshold ¡networks ¡ We ¡consider ¡a ¡4x4 ¡lasce ¡with ¡periodic ¡condiHons, ¡ nearest ¡interacHons, ¡states ¡0 ¡or ¡1, ¡and ¡the ¡local ¡majority ¡funcHon: ¡ ¡ If ¡the ¡number ¡of ¡ones ¡is ¡bigger ¡or ¡equal ¡to ¡the ¡number ¡of ¡zeros ¡then ¡ the ¡site ¡takes ¡the ¡value ¡1 ¡ x i − 1, j + x i + 1, j + x i , j − 1 + x i , j + 1 ≥ 2 x ' ij = 1 iff

Dynamics: ¡two ¡cycles ¡and ¡fixed ¡points; ¡different ¡behavior ¡for ¡different ¡updates ¡

For ¡arbitrary ¡matrices ¡W ¡previous ¡model ¡may ¡accept, ¡ ¡ Iterated ¡in ¡parallel ¡or ¡sequenHally, ¡long ¡period ¡cycles ¡ ¡ and ¡transients ¡….. ¡ ¡But ¡when ¡W ¡is ¡symmetric ¡the ¡network ¡converges ¡to ¡ ¡fixed ¡point ¡or ¡two ¡periodic ¡cycles ¡(parallel ¡update), ¡ ¡ ¡ And, ¡if ¡diag(W)≥0 ¡to ¡fixed ¡point ¡(sequenHal ¡update) . ¡ ¡ E.G, ¡J. ¡Olivos, ¡Periodic ¡behaviour ¡of ¡generalized ¡threshold ¡funcHons, ¡ ¡ Discrete ¡mathemaHcs, ¡vol ¡30, ¡pp ¡187-­‑189, ¡1980. ¡ E.G., ¡Fixed ¡Point ¡behavior ¡of ¡threshold ¡funcHons ¡on ¡a ¡finite ¡set, ¡SIAM ¡Journal ¡on ¡ ¡ Alg. ¡ ¡And ¡Discrete ¡Methods, ¡vol ¡3(4), ¡pp ¡2554-­‑2558, ¡1982. ¡