Thermodynamics ¡with ¡ continuous ¡information ¡3low ¡ ¡ Jordan ¡M. ¡Horowitz ¡ New ¡Fron;ers ¡in ¡Nonequilibrium ¡Physics, ¡ July ¡27, ¡2015 ¡ Kyoto, ¡Japan ¡
Szilard ¡engine ¡ R T, V L W ext = kT ln 2 2 ¡
Szilard ¡engine ¡ R I = ln 2 L R L W ext = kT ln 2 W meas = kT ln 2 W ext = kTI = W meas 3 ¡
Autonomous ¡demons ¡ B A time time C WaG ¡Governor ¡ Sensory ¡Adapta;on ¡ 4 ¡ Quantum ¡dot ¡Maxwell ¡Demon ¡
Information ¡3low ¡ 5 ¡
Stochastic ¡thermodynamics ¡ j Master ¡equa;on ¡ J ij X d t p i = J ij i j Current ¡ ¡ J ij = W ij p j − W ji p i ¡ Local ¡detailed ¡balance ¡ ln W ij = β q ij W ji 6 ¡
Second ¡law ¡ S i = d t S + ˙ ˙ S r ≥ 0 J ij ln p j Shannon ¡entropy ¡rate: ¡ X d t S = p i ¡ i ≥ j J ij ln W ij Environment ¡entropy ¡rate: ¡ ˙ X S r = W ji i ≥ j J ij ln W ij p j Entropy ¡produc;on: ¡ ˙ X S i = W ji p i i ≥ j 7 ¡
Bipartite ¡systems ¡ Y X y 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 1 x 1 x 2 Flows ¡ xx 0 = A X + A Y J yy 0 xx 0 A yy 0 X A ( J ) = x ≥ x 0 ,y ≥ y 0 8 ¡
Information ¡3low ¡ Mutual ¡informa;on ¡ p ( x, y ) ln p ( x, y ) X I ( X, Y ) = p ( x ) p ( y ) x,y Informa;on ¡flow ¡ I X + ˙ d t I = ˙ I Y ln p ( x | y ) X J y,y 0 x,x 0 ln p ( y | x ) p ( x | y 0 ) x X J y x,y � y 0 p ( y | x 0 ) x � x 0 ,y 9 ¡
Second ¡law ¡ = d t S X + ˙ I X ≥ 0 ˙ r − ˙ S X S X i i = d t S Y + ˙ I Y ≥ 0 ˙ r − ˙ S Y S Y Horowitz/Esposito ¡PRX ¡2014; ¡Har;ch/Barato/Seifert ¡JSTAT ¡2014; ¡ ¡ 10 ¡ Allahverdyan/Janzig/Mahler ¡JSTAT ¡2009 ¡
Second ¡law ¡for ¡X ¡ σ X = d t S X + ˙ σ X = d t S X + ˙ r ≥ ˙ S X S X I X r Informa;on ¡resource ¡ I X < 0 → σ X < 0 ˙ Measurement ¡cost ¡ I X > 0 → σ X > ˙ ˙ I X 11 ¡
Applications ¡ 12 ¡
Nonautonomous ¡demons ¡ Y ¡Engine ¡ X ¡Memory ¡ X ¡ ¡ ¡ ¡Measurement ¡ meas = ∆ S X + ∆ r S X ∆ i S X meas − I ≥ 0 I Measurement ¡ Y ∆ i S Y meas = 0 Feedback ¡ Feedback ¡ X 0 ∆ i S X fb = 0 fb = ∆ S Y + ∆ r S Y ∆ i S Y fb + I ≥ 0 I Y 0 Cycle ¡ ∆ i S = ∆ S X + ∆ S Y + ∆ r S X meas + ∆ r S Y fb ≥ 0 13 ¡
Autonomous ¡demons ¡ = d t S X + ˙ I X ≥ 0 ˙ r − ˙ S X S X i i = d t S Y + ˙ I Y ≥ 0 ˙ r − ˙ S Y S Y 14 ¡
Autonomous ¡demons ¡ = d t S X + ˙ I X ≥ 0 ˙ r − ˙ S X S X i i = d t S Y + ˙ I Y ≥ 0 ˙ r − ˙ S Y S Y I X = − ˙ I = ˙ ˙ I Y 15 ¡
Autonomous ¡demons ¡ ˙ = ˙ r − ˙ S X S X I ≥ 0 i ˙ i = ˙ r + ˙ S Y S Y I ≥ 0 16 ¡
Autonomous ¡demons ¡ ˙ r ≥ ˙ S X I − ˙ r ≤ ˙ S Y I Informa;on ¡efficiency ¡ ( ˙ I > 0) ε Y = | ˙ S Y ˙ r | I ε X = ˙ ˙ S X I r 17 ¡
Quantum ¡dot ¡ 0.20 J e 0.15 µ L > µ R 0.10 0.05 0.00 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Horowitz/Esposito ¡PRX ¡2014; ¡ 18 ¡ ¡Strasberg ¡et ¡al. ¡PRL ¡2013 ¡
Diffusion ¡processes ¡ Bipar;te ¡diffusions ¡have ¡ uncorrelated ¡noise ¡ d t p = − ∂ x J x − ∂ y J y J k = µ k F k ( x, y ) − µ k T ∂ k p Allahverdyan/Janzig/Mahler ¡JSTAT ¡2009; ¡ 19 ¡ Horowitz ¡JSTAT ¡P03006 ¡(2015) ¡
Multipartite ¡Information ¡Flow ¡ 20 ¡
In3luence ¡network ¡ y 2 Y X y 1 x 1 x 2 21 ¡
Multipartite ¡systems ¡ X i X j X k X l X n X m 22 ¡
Multipartite ¡systems ¡ X i X j X k X l X n X m 23 ¡
Second ¡law ¡ ˙ i = d t S ( X k ) + ˙ r − ˙ S k S k I k ( X k ; X − k ) ≥ 0 X i X j X k X l X n X m 24 ¡ Horowitz ¡JSTAT ¡2014 ¡
Neighbors ¡ X i X j X Ω k X k X − Ω k X l X n X m 25 ¡
Re3ined ¡second ¡law ¡ Neighbors ¡are ¡useful ¡ d t S ( X k ) + ˙ r − ˙ S k I k ( X k ; X Ω k ) ≥ 0 Non-‑neighbor ¡informa;on ¡decreases ¡ ˙ I k ( X k ; X − Ω k | X Ω k ) ≤ 0 X i X j X Ω k X k X − Ω k X l X n X m 26 ¡
Competing ¡Demons ¡ Total ¡work ¡ ¡ to ¡measure ¡ (force ¡due ¡to ¡M 1 ) ¡ 27 ¡
Information ¡measures ¡ ¡ ¡ 28 ¡
Second-‑law-‑like ¡inequalities ¡ σ X ≥ ˙ I ˙ Informa;on ¡flow: ¡ I flow rate ¡of ¡change ¡of ¡mutual ¡informa;on ¡ Transfer ¡entropy ¡rate: ¡ ˙ I trans informa;on ¡rate ¡between ¡measurement ¡trajectory ¡and ¡system ¡ state ¡ Trajectory ¡mutual ¡informa;on: ¡ ˙ I traj informa;on ¡rate ¡between ¡system ¡and ¡measurement ¡ trajectories ¡ Entropy ¡pumping: ¡ ˙ I pump phase ¡space ¡compression ¡due ¡to ¡feedback ¡ 29 ¡
Information ¡hierarchy ¡ I pump ≤ ˙ ˙ I flow ≤ ˙ I trans ≤ ˙ I traj 4 3 Velocity ¡damping: ¡ m ˙ v t = − γ v t − ay t + ξ t 2 τ ˙ y t = − ( y t − v t − η t ) 1 0 0 10 20 30 40 a Horowitz/Sandberg ¡NJP ¡2014; ¡Har;ch/Barato/Seifert ¡JSTAT ¡2014; ¡ ¡ 30 ¡ Allahverdyan/Janzig/Mahler ¡JSTAT ¡2009; ¡Munakata/Rosinberg ¡JSTAT ¡2012 ¡
Measurement ¡cost ¡ Rewri;ng ¡ one ¡ memory ¡ system ¡ meas ≥ ˙ σ m I flow m ¡ Tape ¡of ¡memories ¡ system ¡ ≥ ˙ σ m 1 m 2 ··· I trans meas m 3 ¡ m 2 ¡ m 1 ¡ 31 ¡ Horowitz/Sandberg ¡NJP ¡2014 ¡
Second-‑law-‑like ¡inequalities ¡ ˙ S i = d t S + ˙ ˙ S env S env v ¡ = d t S + ˙ S r − ˙ S r − ˙ ˙ I ≥ 0 I Environmental ¡entropy ¡flow ¡includes ¡ informa;on ¡ Horowitz/Esposito ¡PRX ¡2014; ¡Har;ch/Barato/Seifert ¡JSTAT ¡2014; ¡ ¡ 32 ¡ Deffner/Jarzynski ¡PRX ¡2014 ¡
Summary ¡ Informa;on ¡flow ¡ ¡ quan;fies ¡the ¡thermodynamically ¡exploitable ¡ correla;ons ¡for ¡interac;ng ¡mul;par;te ¡systems ¡ Informa;on ¡cost ¡to ¡measure ¡ informa;on ¡bounds ¡the ¡entropy ¡flow ¡to ¡the ¡ memory ¡device ¡ 33 ¡
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