Teoria dos Grafos Introdu¸ c˜ ao
Referˆ encias P. O. Boaventura Netto, Grafos: Teoria, Modelos e Algoritmos , S˜ ao Paulo, E. Blucher 2001; R. J. Trudeau, Introduction to Graph Theory , New York, Dover Publications, 1993; Kaufmann, Arnold. Exercices de combinatorique avec solutions . Paris: Dunod, 1969-1972 3v. Harary, Frank. Graph theory . Reading, Mass.: Addison-Wesley, c1969. 274 p.: il. West, Douglas B.. Introduction to graph theory . 2nd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, c2001. 588 p.
Motiva¸ c˜ ao Qual a rota mais r´ apida entre cidades de um mapa? Em que ordem cidades devem ser visitadas para minimizar o tempo de viagem? Como cabear uma rede de telefones com custo m´ ınimo fazendo com que todos estejam conectados? Qual o fluxo m´ aximo que pode ser aplicado a uma rede de encanamentos?
Introdu¸ c˜ ao A teoria dos Grafos surgiu com os trabalhos de Leonard Euler, Gustav Kirchhoff, Arthur Cayley, ... Esta teoria tem sido utilizada largamente em diferentes ´ areas da biologia, qu´ ımica e na matem´ atica aplicada. O termo grafo foi criado no s´ eculo XIX, por James Sylvester (matem´ atico, 1878) e Edward Frankland (qu´ ımico, 1884). Contra¸ c˜ ao de nota¸ afica ( graphic notation → graph ) c˜ ao gr´ Primeiro e mais famoso problema em teoria dos grafos: O problema das pontes de K¨ onigsberg, resolvido por Euler em 1736.
Problema das pontes de K¨ onigsberg (1736) K¨ onigsberg Prussia/Alemanha (1255-1946) Kaliningrado URSS/Russia (1946-) A cidade ´ e cortada pelo rio Pregel, criando ilhas na cidade. Existiam sete pontes conectando as ilhas e as margens opostas do rio. O problema consiste em determinar se ´ e poss´ ıvel ou n˜ ao fazer um passeio pela cidade come¸ cando e terminando no mesmo lugar, cruzando cada ponte exatamente uma ´ unica vez.
Problema das pontes de K¨ onigsberg (1736) Kaliningrado, 2013
Problema das pontes de K¨ onigsberg (1736) rio Pregel Kaliningrado, 2013
Problema das pontes de K¨ onigsberg (1736) rio Pregel Königsberg, 1736
Problema das pontes de K¨ onigsberg (1736) 1 a b 2 c 3 rio Pregel d e f 4 g Königsberg, 1736
Problema das pontes de K¨ onigsberg (1736) 1 a b 2 c 3 d e f 4 g
Defini¸ c˜ ao de grafo Um grafo G consiste de um conjunto finito e n˜ ao vazio de n v´ ertices (ou n´ os ), denotado por V ( G ) , e m arestas , denotado por A ( G ) . Cada aresta corresponde a um par n˜ ao ordenado de v´ ertices. 1 a c b 2 3 V ( G ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } d A ( G ) = { a, b, c, d, e, f, g } f e g 4
La¸ co e arestas m´ ultiplas Os n´ os constituintes de uma aresta podem ser diferentes ou n˜ ao. Se n˜ ao forem diferentes ent˜ ao a aresta forma um la¸ co . Arestas que ligam os mesmos pares de n´ os s˜ ao chamadas ultiplas . arestas m´ 1 2 3 5 4
Grafo, Multigrafo e Pseudografo Harary define um multigrafo como o grafo que possui arestas m´ ultiplas, mas que n˜ ao possui la¸ cos. Se o grafo possui la¸ cos e arestas m´ ultiplas ent˜ ao ele ´ e chamado pseudografo . Em multigrafos/pseudografos, conv´ em rotular as arestas para distingu´ ı-las entre si, devido a multiplicidade de conex˜ oes entre os n´ os. a a 1 2 1 2 1 1 2 2 b b 3 3 3 3 d d i c c e e h h f f 5 4 5 4 5 5 4 4 g g grafo multigrafo pseudografo
Incidˆ encia e Adjacˆ encia Dizemos que uma aresta ´ e incidente aos n´ os aos quais est´ a associada. Arestas incidentes em um mesmo n´ o s˜ ao chamadas arestas adjacentes . N´ os incidentes em uma mesma aresta s˜ ao chamados n´ os adjacentes . Um n´ o pode estar isolado dos demais, caso ele n˜ ao esteja ligado atrav´ es de uma aresta aos restantes. 5 2 1 4 3
Descrevendo grafos Dados os grafos abaixo: 2 5 2 e a f b 1 1 4 4 d c 3 3 G 1 G 2 G 1 : V ( G 1 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } A ( G 1 ) = { (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 3) , (2 , 4) } . G 2 : V ( G 2 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } A ( G 1 ) = { a, b, c, d, e, f } .
D´ ıgrafo Um grafo dirigido , ou d´ ıgrafo , ´ e um grafo cujas arestas s˜ ao pares ordenados, comumente chamados de arcos ou arestas direcionadas . Grafos orientados s˜ ao grafos dirigidos que n˜ ao possuem la¸ cos ou pares sim´ etricos de arestas direcionadas. 1 1 2 2 3 3 5 4 5 4 D´ ıgrafo Grafo Orientado
Grau O grau d G ( v ) ou d ( v ) de um n´ o corresponde ao n´ umero de arestas incidentes a ele. Cada la¸ co conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G ´ e denotado por δ ( G ) O maior grau presente em um grafo G ´ e denotado por ∆( G ) 5 2 2 e a f b 1 4 1 4 d c 3 3 δ ( G 1 ) = ? ∆( G 1 ) = ? δ ( G 2 ) = ? ∆( G 2 ) = ?
Grau O grau d G ( v ) ou d ( v ) de um n´ o corresponde ao n´ umero de arestas incidentes a ele. Cada la¸ co conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G ´ e denotado por δ ( G ) O maior grau presente em um grafo G ´ e denotado por ∆( G ) 3 0 5 2 2 e a f b 1 4 1 4 3 2 d c 3 3 2 δ ( G 1 ) = 0 ∆( G 1 ) = 3 δ ( G 2 ) = ? ∆( G 2 ) = ?
Grau O grau d G ( v ) ou d ( v ) de um n´ o corresponde ao n´ umero de arestas incidentes a ele. Cada la¸ co conta como duas arestas. O menor grau presente em um grafo G ´ e denotado por δ ( G ) O maior grau presente em um grafo G ´ e denotado por ∆( G ) 3 4 0 5 2 2 e a f b 1 4 1 4 3 2 2 4 d c 3 3 2 2 δ ( G 1 ) = 0 ∆( G 1 ) = 3 δ ( G 2 ) = 2 ∆( G 2 ) = 4
F´ ormula da Soma dos Graus A soma total dos graus de todos os n´ os de um grafo ´ e sempre par � d ( v ) = 2 m v ∈ V ( G ) Prova por indu¸ c˜ ao no n´ umero de arestas ( m ) B.I. : Suponha um grafo sem arcos. Todos os seus n´ os tˆ em grau zero e portanto a soma geral dos graus dos n´ os ´ e par ( 0 ) H.I. : Suponha que para todo grafo de m arestas a soma dos graus de todos os n´ os ´ e par ( 2 m ). P.I. : Suponha um grafo G de m + 1 arestas. Seja G ′ um grafo igual a G exceto com menos uma aresta. Portanto G ′ tem m arestas e pela H.I. tem como soma total dos graus de seus n´ os um n´ umero par ( 2 m ). A inclus˜ ao da aresta removida faz com a soma dos graus seja incrementada de 2 (cada n´ o incidente ´ e incrementado de 1 grau), portanto a soma dos graus dos n´ os de G ´ e um n´ umero par ( 2 m + 2 = 2( m + 1) ).
Lema do aperto de m˜ aos ( Handshaking lemma ) O n´ umero de n´ os com grau ´ ımpar em um grafo tem que ser par Prova por indu¸ c˜ ao no n´ umero de arestas ( m ) B.I. : Suponha um grafo sem arestas, neste caso temos a soma dos graus de todos os n´ os sendo par. Como a quantidade de n´ os com grau ´ ımpar ´ e igual a zero. Ent˜ ao temos uma quantidade par de n´ os de grau ´ ımpar. H.I. : Suponha um grafo com m arestas e um n´ umero par de n´ os com grau ´ ımpar.
Lema do aperto de m˜ aos ( Handshaking lemma ) P.I. : Seja G um grafo com m + 1 arestas. Seja G ′ , o grafo resultante da retirada de uma aresta ( v, w ) . Pela H.I. , G ′ tem um n´ umero par de n´ os com grau ´ ımpar. Vamos analisar o grafo G , baseado nas seguintes situa¸ c˜ oes dos n´ os v e w em G ′ : 1 v e w tˆ em grau ´ ımpar 2 v tem grau ´ ımpar e w tem grau par 3 v e w tˆ em grau par
Lema do aperto de m˜ aos ( Handshaking lemma ) ao da aresta ( v, w ) em G ′ pode resultar nas seguintes situa¸ A adi¸ c˜ c˜ oes: 1 v e w tˆ em grau ´ ımpar em G ′ A adi¸ c˜ ao da aresta ( v, w ) faz com que v passe a ter grau par, assim como w . Como o n´ umero de n´ os de grau ´ ımpar ´ e par e como transformamos 2 n´ os de grau ´ ımpar em n´ os de grau par, G tem um n´ umero par de n´ os de grau ´ ımpar. 2 v tem grau ´ ımpar e w tem grau par em G ′ A adi¸ c˜ ao da aresta ( v, w ) faz com que v passe a ter grau par e w passe a ter grau ´ ımpar. Logo, G tem um n´ umero par de n´ os com grau ´ ımpar. 3 v e w tˆ em grau par em G ′ A adi¸ c˜ ao da aresta ( v, w ) faz com que tanto v quanto w passem a ınhamos em G ′ um n´ ter grau ´ ımpar. Como t´ umero par de n´ os de grau ´ ımpar, e como aumentou em 2 este n´ umero, temos que o n´ umero de n´ os de grau ´ ımpar em G ´ e par.
Exerc´ ıcio Seja G um grafo com ao menos dois n´ os. Prove que sim ou que n˜ ao: Eliminando um n´ o de grau δ ( G ) n˜ ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio. o de grau ∆( G ) n˜ Eliminando um n´ ao ´ e poss´ ıvel aumentar o grau m´ edio.
Exerc´ ıcio Eliminando um n´ o de grau δ ( G ) n˜ ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio.
Exerc´ ıcio Eliminando um n´ o de grau δ ( G ) n˜ ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio. � v ∈ V ( G ) d ( v ) = 2 m grau m´ edio = d G = n n { � v ∈ V ( G ) d ( v ) } − 2 d ( x ) = 2 m − 2 δ ( G ) d G − x = n − 1 n − 1
Exerc´ ıcio Eliminando um n´ o de grau δ ( G ) n˜ ao ´ e poss´ ıvel reduzir o grau m´ edio. � v ∈ V ( G ) d ( v ) = 2 m grau m´ edio = d G = n n { � v ∈ V ( G ) d ( v ) } − 2 d ( x ) = 2 m − 2 δ ( G ) d G − x = n − 1 n − 1 edio sse 2 m − 2 δ ( G ) < 2 m Ser´ a poss´ ıvel reduzir o grau m´ n , logo n − 1 ⇒ δ ( G ) > d G 2 mn − 2 δ ( G ) n < 2 mn − 2 m = ⇒ δ ( G ) n > m = 2
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