Stochas&c efficiencies G. Verley, M. Esposito, T. - PowerPoint PPT Presentation

Yukawa ¡Interna?onal ¡Seminar ¡2015 ¡ Stochas&c ¡efficiencies ¡ G. ¡Verley, ¡M. ¡Esposito, ¡T. ¡Willaert ¡and ¡C. ¡Van ¡den ¡Broeck ¡ The ¡unlikely ¡Carnot ¡efficiency ¡ ¡ T. ¡R. ¡Gingrich, ¡G. ¡M. ¡Rotskoff, ¡S. ¡Vaikuntanathan, ¡and ¡P. ¡L. ¡ Nature ¡Communica?ons ¡DOI: ¡10.1038/ncomms5721 ¡ Geissler, ¡New ¡Journal ¡of ¡Physics ¡16, ¡102003 ¡(2014). ¡ (2014) ¡ ¡ ¡ S. ¡Rana, ¡P. ¡Pal, ¡A. ¡Saha, ¡and ¡A. ¡Jayannavar, ¡ ¡ Physical ¡Review ¡E ¡90, ¡042146 ¡(2014). ¡ G. ¡Verley, ¡M. ¡Esposito, ¡T. ¡Willaert ¡and ¡C. ¡Van ¡den ¡Broeck ¡ ¡ Universal ¡theory ¡of ¡efficiency ¡fluctua?ons ¡ M. ¡Pole`ni, ¡G. ¡Verley, ¡and ¡M. ¡Esposito, ¡ ¡ Phys. ¡Rev. ¡E ¡90, ¡052145 ¡(2014). ¡ ¡ Physical ¡Review ¡Leaers ¡114, ¡050601 ¡(2015). ¡ ¡ ¡ K. ¡Proesmans, ¡B. ¡Cleuren ¡and ¡C. ¡Van ¡den ¡Broeck ¡ M. ¡Esposito, ¡M. ¡A. ¡Ochoa, ¡and ¡M. ¡Galperin, ¡ ¡ Stochas?c ¡efficiency ¡for ¡effusion ¡as ¡a ¡thermal ¡engine ¡ Physical ¡Review ¡B ¡91, ¡115417 ¡(2015). ¡ ¡ EPL ¡109, ¡20004 ¡(2015). ¡ ¡ J.-­‑H. ¡Jiang, ¡B. ¡K. ¡Agarwalla, ¡and ¡D. ¡Segal, ¡ ¡ ¡ ¡arXiv:1503.04310 ¡(2015). ¡ K. ¡Proesmans ¡and ¡C. ¡Van ¡den ¡Broeck ¡ ¡ Stochas?c ¡efficiency: ¡five ¡case ¡studies ¡ S. ¡Rana, ¡P. ¡Pal, ¡A. ¡Saha, ¡and ¡A. ¡Jayannavar, ¡ NJP ¡17, ¡065004 ¡(2015). ¡ ¡ ¡arXiv:1503.02559 ¡(2015). ¡ ¡ ¡ . ¡ chris&an.vandenbroeck@uhasselt.be ¡ ¡ ¡

Perpetuum ¡Mobile ¡ ¡ ( mechanical ¡magne?c ¡chemical ) ¡ ¡PROPOSITIO ¡XXXII. ¡ ¡ ¡ Ioco-­‑serium ¡naturae ¡et ¡ar/s, ¡sive ¡magiae ¡naturalis ¡centuriae ¡tres ¡(1666) ¡ Mobile ¡perpetuum ¡Alchymis?cum ¡ ¡ ACcipe ¡amalgama?s ¡(aeris) ¡drachmas ¡v. ¡aut ¡vi. ¡& ¡amal-­‑ ¡ elixir ¡ ¡ gama?s ¡(stanni) ¡tantundem. ¡Tereomnia ¡cum ¡(Mer-­‑ ¡ of ¡life ¡ curij) ¡sublima? ¡drachmis ¡x. ¡aut ¡xii. ¡& ¡pone ¡supra ¡marmor ¡in ¡ cella. ¡Intra ¡spa?um ¡quatuor ¡horarum ¡fiet ¡instar ¡olei ¡oliva-­‑ ¡ transmuta?on ¡ rum. ¡Hoc ¡dis?lla, ¡& ¡in ¡fine ¡daignem ¡for?ssimum: ¡tunc ¡sub-­‑ ¡ elements ¡ limatur ¡substan?a ¡sicca. ¡Aqua ¡dis?llata ¡vicissim ¡reaffunda-­‑ ¡ tur ¡in ¡terrae ¡in ¡fundo ¡alembici ¡residuae: ¡& ¡solve ¡quod ¡solvi ¡ potest; ¡ solutum ¡filtra, ¡deinde ¡dis?lla: ¡& ¡apparebunt ¡Subliffimi ¡atomi; ¡ qui ¡in ¡vitro ¡benè ¡clauso ¡in ¡sicco ¡asserventur: ¡Et ¡ecce ¡mirabilia ¡ videbis. ¡ ¡ Ex ¡Secre?s ¡Kircherianis, ¡uiappellatur ¡mobile ¡perpetuum. ¡ quod ¡hactenus ¡neque ¡per ¡aquam, ¡neque ¡perignem, ¡aut ¡instru-­‑ ¡ menta ¡invenieri ¡potuit. ¡Habeture?am ¡apud ¡Schvventerum ¡in ¡ delicijs ¡par. ¡16. ¡quaest. ¡3. ¡ut ¡tradidimus ¡Mechanica ¡ Villard ¡de ¡Honnecourt ¡ ¡ Pierre ¡de ¡Maricourt ¡ Hydro-­‑pneuma?ca ¡par. ¡2. ¡Classe ¡2. ¡ (about ¡1230) ¡ (about ¡1270) ¡ Machina ¡14. ¡ ¡ hap://www.lhup.edu/~dsimanek/museum/people/people.htm ¡

Efficiency: ¡heat ¡to ¡work ¡ η = output work W ≤ η c = 1 − T c input heat Q h T h Réflexions ¡sur ¡la ¡puissance ¡motrice ¡ du ¡feu ¡et ¡sur ¡les ¡machines ¡propres ¡a ¡ developer ¡ceae ¡puissance. ¡ dQ ∫ = 0 T Δ S tot ≥ 0 qs dQ Ueber ¡die ¡bewegende ¡Krap ¡der ¡Wärme ¡ ∫ Δ S = ¡und ¡die ¡Gesetze, ¡welche ¡sich ¡daraus ¡ T ¡für ¡die ¡Wärme ¡selbst ¡ableiten ¡lassen ¡ qs 1 st law W = Q h − Q c − Δ E W ¡ 2 nd law Δ S tot = − Q h + Q c + Δ S ≥ 0 T h ¡ T h T c T c ¡ engine ¡ Q c ¡ Q h ¡ 1 st 2 nd η = W 1 − Q c η C = 1 − T c ≤ = Q h Q h T h

Maxwell ¡demon ¡ SMALL ¡ ¡ SCALE ¡ ENGINES? ¡ Szilard ¡engine ¡1 ¡bit=kTln2 ¡

Flux ¡ ¡1/ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ enrichment ¡ M ¡ Energy ¡2k B T ¡ ¡ cooling ¡ ¡ Cosine ¡law ¡ ¡ ¡ deposi&on ¡ Thomas ¡Graham ¡ Mar?n ¡Knudsen ¡ EFFUSION as a thermal engine efficiency η Δ E = Q + W ! = ( µ c − µ h ) Δ N W = µ Δ N η = W ≤ 1 − T c = η C Q h Δ e − µ h Δ N T h 5 0.8 0.7 0 0.6 0.5 T c ¡ ¡ ¡ n c T h ¡ ¡ ¡ n h ¡ ¡ -5 µ c /k B T h 0.4 η c = .8 -10 0.3 0.2 -15 0.1 Δ N , Δ E -20 0 -20 -15 -10 -5 0 5 µ h /k B T h

EFFUSION as a thermal engine reaching Carnot efficiency? reversible operation: filter specific speed v particle density with speed v same left and right 2 2 n c 3/2 exp( − mv ) = n h 3/2 exp( − mv ) T c 2 kT c T h 2 kT h T c ¡ ¡ ¡ n c T h ¡ ¡ ¡ n h ¡ ¡ 3 µ = kT ln n h 2 / 2 π mkT − β c ( mv 2 − β h ( mv 2 2 − µ h ) µ c − µ h = η c ( mv 2 2 − µ c ) = e Δ N , Δ E e 2 − µ h ) Δ E = Δ N mv 2 η = W = ( µ c − µ h ) Δ N mv 2 / 2 − µ h = η C = 1 − T c µ c − µ h Δ e − µ h Δ N = 2 Q h T h

Efficiency: ¡Work ¡to ¡Work ¡Engine ¡ 1 st law W load = W driving − Q − Δ E Q ¡ 2 nd law Δ S tot = Q T + Δ S ≥ 0 T h ¡ W load ¡ engine ¡ W driving ¡ 1 st 2 nd η = W load Q 1 − ≤ η rev = 1 = T ¡ W driving W driving ! x driving ¡ Brownian ¡par&cle ¡ ¡F 1 ¡(load) ¡ ¡F 2 ¡ (driving) ! ! ! ! = − ! x . F w load F F 2 ) . F efficiency η = W load = − ( 1 + ! ! ! ! 1 ! 1 ≤ 1 = x . F F F 2 ) . F W driving w driving ( 1 + 2 2 load ¡ ! ! ! F F x = t ( 2 ) 1 + γ F 2,y 1 reversible operation ! ! F F 2 1 → − F 2,x η = 1= η rev F 1 ¡ F 2 ¡ ¡ 0

Stochas2c ¡ efficiency ¡of ¡small ¡engines? = w η = W η = w versus Q h q h q h w ¡ 1 st law w = q h − q c − Δ e 2 nd law Δ s tot = − q h + q c T h ¡ T c ¡ + Δ s q c ¡ q h ¡ engine ¡ T h T c Δ s tot ≥ 0 Δ s tot = 0 → η = η C η = w 1 − q c η C − T c Δ s tot 1 st law 2 nd law = = q h q h q h P t ( Δ s tot ) P t ( η ) P t ( w , q h )

5 0.8 0.7 0 0.6 Heat ¡to ¡work: ¡ 0.5 -5 T l ¡ ¡ ¡ n l T r ¡ ¡ ¡ n r ¡ ¡ µ c /kT h effusion ¡engine ¡ 0.4 -10 0.3 η = ¡0.8. ¡ c ¡ 0.2 -15 0.1 -20 0 -20 -15 -10 -5 0 5 µ h /kT h Δ n , Δ e η = w = ( µ c − µ h ) Δ n kinetic theory → P t ( Δ n , Δ e ) → P t ( η ) q h Δ e − µ h Δ n P t ( η ) ¡ J( η ) ¡ (a) 10 t/t0 1.2 2.5 5 t ( η ) ∝ e − tJ ( η ) P 2 10 1.5 1 20 1 1 J( η )/J( ∞ ) 0.5 Exact large 0 Gaussian -0.5 0.1 -3 -2 -1 0 1 2 3 0.8 η deviation P( η ) 0.01 0.6 1.4 25 function 1.2 20 1 J( η c )/J( ∞ ) 0.001 0.4 0.8 15 0.6 10 0.4 ln P t ( η ) 5 0.2 0.2 0.0001 J ( η ) = − lim 0 0 -0.8 -0.4 0 0.4 -0.2 -3 -2 -1 0 1 2 3 t µ c t →∞ η 0 1e-05 η -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 η c = .8 ¡ η η η c ¡ = ¡ .8 ¡ (a) (b) η ≈ .4

! x driving ¡ Work ¡to ¡work: ¡ ¡ Brownian ¡par&cle ¡ F 1 ¡(load) ¡ ¡ ¡ ¡F 2 ¡ (driving) load ¡ ! ! ! ! ! 1 . ! x : Brownian motion in force field F = F F 1 + η = − F x ! 2 2 . ! x ratio of correlated Gaussians ! ! ! F x bi-Gaussian ! ! γ t δ ! x . δ ! F x = x = 2 Dt 1 1 J ( ⌘ ) = � lim t ln P t ( ⌘ ) � � � e � t t !1 � ~ F 1 ⇥ ~ F 2 � � t 0 i 2 ⇣ hp i e g ( η ) ⌘ h p ( ~ F 1 + ⌘ ~ F 2 ) · ( ~ F 1 + ~ P t ( ⌘ ) = 1 + ⇡ g ( ⌘ )Erf g ( ⌘ ) F 2 ) = µ 2 ⇡ ( ~ F 1 + ⌘ ~ F 2 ) 2 . ⌘ 2 (1 � ⌘ ) 2 ⇣ F 1 ⇥ ~ ~ 4 D ( ~ F 1 + ⌘ ~ F 2 F 2 ) 2 g ( ⌘ ) = t , ⌘ 2 t 0 ⇣ ~ F 1 + ⌘ ~ ~ on has a minimum at the macroscop F 2 F 2 − ln P t ( η ) t t ( η ) ∝ e − tJ ( η ) η ≈ .3 P η rev = 1 η η rev = 1

Stochas&c ¡ thermodynamics ¡ &me ¡symmetric ¡ ¡ engine ¡ 1 st law w = q h − q c − Δ e w ¡ 2 nd law Δ s tot = − q h + q c ?me ¡ + Δ s T h ¡ T c ¡ T h T c symmetric ¡ q c ¡ q h ¡ engine ¡ P ( q h , w ) P ( − q h , − w ) ∝ e Δ s tot I ( ! q h , ! w ) − I ( − ! q h , − ! P ( q h , w ) ∝ e − tI ( ! q h , ! w ) w ) = −Δ s tot / t q h I ( ! q h , ! J( η )= min w ) t ( η ) ∝ e − tJ ( η ) η = w / q h = ! w / ! P q h q h , ! ! w η = ! w / ! q h I ( ! q h , ! q h I ( ! q h , η ! J( η )= min w ) = min q h ) ≤ I (0,0) q h , ! ! w η = ! w / ! ! η = w / q h = η c w ) symmetric → J ( η C ) = min I ( ! q h , η c ! Δ s tot = 0 → q h ) = I (0,0) ≥ J ( η ) I ( ! q h , ! The ¡Carnot ¡efficiency ¡is ¡the ¡least ¡likely ¡to ¡be ¡observed ¡in ¡the ¡long ¡&me ¡limit! ¡