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Example : ¡Binary ¡star ¡system ¡in ¡Virgo ¡cluster ¡(16.5 ¡Mpc ¡away) ¡ would ¡produce ¡h ¡~ ¡10 -­‑21 . ¡Over ¡a ¡distance ¡of ¡L ¡= ¡1 ¡AU, ¡ΔL ¡would ¡ be ¡~ ¡1 ¡atomic ¡diameter. Credit: LIGO

GravitaQonal-­‑wave ¡Sources ¡for ¡ Ground-­‑based ¡Detectors

First ¡ObservaQonal ¡Evidence Hulse-­‑Taylor ¡Binary ¡ Pulsar Pulsar-­‑Neutron ¡Star ¡ System • Period: ¡7.75 ¡hours • Discovered ¡by ¡R. ¡ Hulse ¡and ¡J. ¡Taylor • Awarded ¡1993 ¡Nobel ¡ prize

Bar ¡Detectors Piezoelectric ¡sensors Joseph ¡Webber ¡-­‑ ¡ University ¡of ¡Maryland Only ¡sensiQve ¡over ¡very ¡ 1961: ¡proposed ¡to ¡use ¡ narrow ¡range ¡of ¡ resonant ¡bar ¡detectors ¡to ¡ frequencies detect ¡GWs

LIGO-­‑Virgo/Frank ¡Elavsky/ Northwestern

GravitaQonal-­‑wave ¡Spectrum

What ¡is ¡a ¡tensor? Scalar ¡-­‑ ¡tensor ¡rank ¡0, ¡magnitude, ¡ex: ¡Temperature Vector ¡-­‑ ¡tensor ¡rank ¡1, ¡magnitude ¡and ¡direcQon, ¡ex: ¡Force Tensor ¡-­‑ ¡combinaQon ¡of ¡vectors ¡where ¡there ¡is ¡a ¡fixed ¡relaQonship, ¡ independent ¡of ¡coordinate ¡system; ¡ex: ¡Dot ¡product, ¡work T mn = A m B n Principle ¡of ¡relaQvity ¡-­‑ ¡“Physics ¡equaQons ¡should ¡be ¡ covariant ¡ under ¡coordinate ¡transformaQon.” To ¡ensure ¡that ¡this ¡is ¡automaQcally ¡saQsfied, ¡write ¡physics ¡equaQons ¡ in ¡terms ¡of ¡tensors.

Einstein ¡SummaQon ¡ConvenQon Repeated ¡indices ¡imply ¡summaQon. 3 X A µ B µ = A 0 B 0 + A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 A µ B µ = µ =0   A 0 A 1   = [ B 0 B 1 B 2 B 3 ]   A 2   A 3 Free ¡index ¡-­‑ ¡appears ¡ Dummy ¡index ¡-­‑ ¡appears ¡exactly ¡ exactly ¡once ¡in ¡every ¡ twice ¡in ¡one ¡given ¡term ¡of ¡equaQon ¡ term ¡of ¡equaQon but ¡only ¡once ¡in ¡equaQon

The ¡Metric ¡of ¡Curved ¡Space: ¡General ¡RelaQvity General ¡relaQvity ¡as ¡a ¡geometric ¡theory ¡of ¡gravity ¡posits ¡that ¡ maier ¡and ¡energy ¡cause ¡spaceQme ¡to ¡warp ¡so ¡that ¡ g µ ν 6 = η µ ν Thus ¡gravitaQonal ¡phenomena ¡are ¡just ¡effects ¡of ¡a ¡ curved ¡spaceQme ¡on ¡a ¡test ¡parQcle. Source ¡parQcle Field Test ¡ParQcle Field ¡ EquaQon ¡ equaQon of ¡moQon Source Curved ¡spaceQme Test ¡ParQcle Einstein ¡ Geodesic ¡ Field ¡ equaQon equaQon

Tensor ¡Calculus: ¡Covariant ¡DerivaQve Ordinary ¡derivaQves ¡of ¡tensor ¡components ¡are ¡not ¡tensors. ¡The ¡ ∂ ν A µ combinaQon ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡does ¡not ¡transform ¡properly. ν A 0 µ 6 = ∂ x λ ∂ x 0 µ ∂ ν A µ ! ∂ 0 ∂ x ρ ∂ λ A ρ ∂ x 0 ν We ¡seek ¡a ¡covariant ¡derivaQve ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡to ¡be ¡used ¡in ¡covariant ¡physics ¡ r ν equaQons. ¡Such ¡a ¡differenQaQon ¡is ¡constructed ¡so ¡that ¡when ¡acQng ¡ on ¡tensor ¡components ¡it ¡sQll ¡yields ¡a ¡tensor. ν A 0 µ = ∂ x λ ∂ x 0 µ r ν A µ ! r 0 ∂ x ρ r λ A ρ ∂ x 0 ν In ¡order ¡to ¡produce ¡the ¡covariant ¡derivaQve, ¡the ¡ordinary ¡derivaQve ¡ must ¡be ¡supplemented ¡by ¡another ¡term: r ν A µ = ∂ ν A µ + Γ µ r ν A µ = ∂ ν A µ � Γ λ νλ A λ ν µ A λ

Parallel ¡Transport ¡and ¡Geodesics Consider ¡a ¡vector ¡transported ¡ along ¡a ¡curve. ¡A ¡difference ¡in ¡the ¡ α α α vector ¡could ¡be ¡caused ¡by ¡either: 1. ¡change ¡of ¡the ¡vector ¡itself 2 2. ¡coordinate ¡change ¡ 90° Thus, ¡if ¡we ¡move ¡a ¡vector ¡(tensor) ¡ without ¡changing ¡itself, ¡then ¡the ¡ only ¡change ¡in ¡components ¡is ¡due ¡ 90° 90° to ¡coordinate ¡changes. 1 3 4

Curvature ¡and ¡the ¡Riemann ¡Tensor Local ¡Lorentz ¡Frame: ¡effects ¡of ¡curvature ¡become ¡noQceable ¡when ¡ taking ¡second ¡derivaQves. ¡ [ r α , r β ] A µ = r α r β A µ � r β r α A µ ⌘ R µ λαβ A λ να Γ ν νβ Γ ν R µ λαβ = ∂ α Γ µ λβ − ∂ β Γ µ λβ − Γ µ λα + Γ µ λα In ¡Local ¡Lorentz ¡Frame: R µ ναβ = 1 2 ( ∂ µ ∂ α g νβ − ∂ ν ∂ α g µ β + ∂ ν ∂ β g µ α − ∂ µ ∂ β g να ) ∂ 2 g + ( ∂ g ) 2 R = d Γ + ΓΓ Form ¡of ¡Riemann ¡Tensor: In ¡flat ¡space ¡, ¡the ¡first ¡and ¡second ¡derivaQves ¡of ¡the ¡metric ¡vanish. R µ λαβ = 0 implies ¡flat ¡space.

MoQvaQng ¡Einstein ¡EquaQons ? We ¡need ¡the ¡spaceQme ¡curvature ¡term ¡on ¡the ¡lem. ¡Einstein ¡ thought ¡it ¡should ¡be ¡the ¡Ricci ¡curvature ¡tensor. ¡But ¡there ¡is ¡a ¡ problem. Due ¡to ¡energy ¡conservaQon: But ¡the ¡derivaQve ¡of ¡Ricci ¡tensor ¡does ¡not ¡equal ¡zero ¡as ¡can ¡be ¡ seen ¡with ¡the ¡Bianchi ¡IdenQQes. ¡Instead, ¡what ¡is ¡found ¡is ✓ ◆ R µ ν � 1 G µ ν ≡ R µ ν − 1 r µ 2 g µ ν R = 0 2 g µ ν R Einstein ¡tensor

Methods Solving Einstein’s equations is difficult. They’re non-linear. In fact, the equations of motion are impossible to solve unless there is some symmetry present. In the absence of symmetry, there are two methods: 1. Numerical relativity (next time) 2. Approximation techniques For the approximation technique, we consider a metric very close to flat space with a small perturbation. And we consider only first order perturbations.

Linearized Theory of Metric Field And impose the harmonic gauge, then the last three terms in previous equation vanish and we end up with the Linearized Einstein Equations h µ ν = − 16 π G ⇤ ¯ T µ ν c 4

Solution in a Vacuum What happens outside the source, where ? T µ ν = 0 Then, the EFE reduces to ⇤ ¯ h µ ν = 0 ✓ ◆ � 1 c 2 ∂ t 2 + r 2 ¯ h µ ν = 0 Wave equation for waves propagating at speed of light c! Solutions to wave equation can be written as superpositions ~ of plane waves traveling with wave vectors and frequency k � � � ~ ! = c k � � �

Solution with Source Now allow for source. What would cause the waves to be generated? h µ ν = − 16 π G ⇤ ¯ T µ ν c 4 Solve using retarded Green’s function assuming no incoming radiation from infinity. The solution is ✓ ◆ x ) = 4 G 1 t − | ~ x 0 | Z x − ~ ¯ d 3 x 0 x 0 h µ ν ( t, ~ , ~ x 0 | T µ ν c 4 | ~ x − ~ c

Generation of Gravitational Waves To leading order in v/c , we can eliminate the multipole moments in favor of the mass moments to get a solution of the form: quad = 1 2 G M kl ( t − r/c ) n ) ¨ h TT ⇥ ⇤ ij ( t, ~ x ) c 4 Λ ij,kl (ˆ r S ij = 1 ¨ M ij where we have used: 2 Mass quadrupole radiation!

Effect of Gravitational Waves on Matter h + polarization δ x ( t ) = h + 2 x 0 cos( ω t ) δ y ( t ) = − h + 2 y 0 cos( ω t ) h x polarization δ x ( t ) = − h × 2 y 0 cos( ω t ) δ y ( t ) = − h × 2 x 0 cos( ω t )

Noise spectral density is the noise spectral density (aka noise spectral S n ( f ) sensitivity or noise power spectrum): Z ∞ n 2 ( t ) ⌦ ↵ = f S n ( f ) d 0

Interferometric GW Detector Pattern Functions F + ( θ , φ ; ψ = 0) = 1 1 + cos 2 θ � � cos 2 φ 2 F × ( θ , φ ; ψ = 0) = cos θ sin 2 φ Thus GW interferometers have blind directions. For instance, for a GW with plus polarization, y and φ = π / 4 F + = 0 x This wave produces the same displacement in the and arm. y x Differential phase shift vanishes!

Define the signal-to-noise ratio... Using this scalar product definition, we have: ( u | h ) S u ( f ) = 1 2 S n ( f ) ˜ where N = ˜ K ( f ) ( u | u ) 1 / 2 u/ ( u | u ) 1 / 2 We are searching for vector such that its scalar product with vector h is maximum. ˜ h ( f ) They should be parallel (i.e. proportional): ˜ K ( f ) = const . S n ( f ) This is the Wiener filter (aka matched filter).

Burst Analysis with Wavelets • Wavelets are waveforms of limited duration and bandwidth • GW bursts can be described as superposition of wavelets Credit: MathWorks

The Continuous Wave from an Isolated NS • The source should emit a nearly monochromatic sinusoidal wave • Limit on observation comes from total available observation time • But the detector will see a modified signal ~ A = { f, ˙ f, ¨ f, . . . , ↵ , � , h 0 , cos ◆ , , � 0 } • Four phase evolution parameters • Four amplitude parameters

What is a stochastic background? • Stochastic (random) background of gravitational radiation • Can arise from superposition of large number of unresolved GW sources 1. Cosmological origin 2. Astrophysical origin • Strength of background measured as gravitational wave energy density ρ GW

Detecting Stochastic Backgrounds The filter function has the form: Q ( f ) = N γ ( f ) Ω GW ( f ) H 2 ˜ 0 f 3 P 1 ( f ) P 2 ( f ) γ ( f ) overlap reduction function: Ω GW ( f ) = Ω α ( f/ 100 Hz) α power law template for GW spectrum: present value of Hubble parameter: H 0 P 1 ( f ) noise in detector 1: P 2 ( f ) noise in detector 2: Purpose: Enhance SNR at frequencies where signal is strong and suppress SNR at frequencies where detector noise is large.

Overlap Reduction Function Signal in two detectors will not be exactly the same because: i) time delay between detectors ii) non-alignment of detector