Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation Mathematical and Computational Modelling of Saturated Poroplastic Materials J.Alexei Lu´ ızar Obreg´ on, SEN/UFF M. Murad, LNCC/MCT VIII Workshop in Partial Differential Equations Rio de Janeiro 25-28/08/2009 Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation Mathematical and Computational Modelling of Saturated Poroplastic Materials J.Alexei Lu´ ızar Obreg´ on, SEN/UFF M. Murad, LNCC/MCT VIII Workshop in Partial Differential Equations Rio de Janeiro 25-28/08/2009 Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation Outline of presentation Motivation 1 Pore–Scale Modelling 2 Two-scale Poroplastic Model 3 Local PDE’s 4 Effective Parameters Discrete Local PDE’s Numerical Results Reservoir Simulation 5 Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation Motivation Geomaterials: multiscale porous media Large-scale (reservoir). Darcy-scale (laboratory). Pore-scale. Solid Fluid Phase Phase ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ Large-scale Darcy-scale Pore-scale Irreversible behavior Compaction is usually caused by changes at the microscopic level within the rock mass. Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation Classical Macroscopic Modelling � − α p 0 � σ eff = 0 div s � � u 0 � σ eff � − E eff = C E x s p � ∂ u 0 ∂ p 0 � = 1 K ∇ p 0 � � α : E x − div ∂ t β ∂ t � � σ 0 T , p 0 � σ eff � ≡ F dry ? F sat s d E eff = γ ∂ F dry � � p σ eff s ∂ σ eff dt s γ d F dry � � � � � � σ eff σ eff σ eff F dry ≤ 0 , γ ≥ 0 , γ F dry = 0 , = 0 . s s s dt Theory, Coussy (1995), Mechanics of Porous Media Experimental Results ! , Pietruszczak and Pande (1995), Int. J. Num. Anal. Meth. Geomech. , v.19 Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation Pore–Scale Modelling Asymptotic expansion technique of Homogenization Auriault & Sanchez-Palencia (1977) Terada (1998) (Linear Coupling) Suquet (1985) (Non–linear one phase) Separation of scales: ǫ = l / L ≪ 1. Constitutive laws defined at the pore-scale. Up–scale Effective Medium Elastoplastic Stokesian Fluid Solid l < < L L l Homogenized Domain Continuum Mechanics Laws Darcy-scale Pore-scale Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation PDE’s at Microscopic Model Ω s Stokesian Fluid: Ω f div v = 0 div σ f = 0 in Ω f Γ s f σ f = − p I + 2 µ E ( v ) Elastoplastic Solid: div σ s = 0; σ s = a E e ( u ) ∂ E p = γ ∂ f E e ( u ) = E ( u ) − E p ; ∂ σ ( σ s ) ∂ t in Ω s γ f ( σ s ) = 0 and f ( σ s ) ≤ 0 γ ≥ 0 γ ∂ f ∂ t ( σ s ) = 0 Boundary conditions v = ∂ u and σ s n = σ f n on Γ sf . ∂ t Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation Homogenization Technique Family of domains Ω ǫ composed of periods Y ǫ . An ǫ -model in Ω ǫ consists scaled PDE’s on copies Y ǫ ≃ Y . Associate to each { u ǫ , σ ǫ s , γ ǫ , E ǫ p , σ ǫ f , v ǫ , p ǫ } a two-length scale dependence. Determine the effective macroscopic description equivalent to the asymptotic behavior: ǫ → 0. y x = ε ε ε ε ε 0 =0,333 =0,2 =0,1 Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Motivation Modelling 2-Scale Model Local PDE’s Simulation Asymptotic expansion technique of Homogenization Each Φ ǫ ( x ) = { u ǫ , σ ǫ s , γ ǫ , E ǫ p , σ ǫ f , v ǫ , p ǫ } expand in terms of ǫ Φ ǫ ( x ) = Φ 0 ( x , y ) + ǫ Φ 1 ( x , y ) + ǫ 2 Φ 2 ( x , y ) + · · · Fluid: div y v 0 = 0; div x v 0 + div y v 1 = 0; σ 0 f = − p 0 I ; σ 1 f = − p 1 I + 2 µ E y v 0 � div y σ 0 div x σ 0 f + div y σ 1 � ; f = 0; f = 0 Elasto-plastic solid: σ 0 u 0 � u 1 � − E 0 u 0 �� � � � � � � s = a + E y ; = 0; E x div y a E y p u 0 �� + div y σ 0 div x σ 0 s + div y σ 1 � � s = 0; s = 0; div x a E y ∂ E 0 = γ 0 ∂ f γ 0 ∂ f p σ 0 γ 0 f ( σ 0 σ 0 � � � � ; s ) = 0; = 0 . s s ∂ σ 0 ∂ t ∂ t s Rede Siger. SEN/UFF– LNCC/MCT VIII WORKSHOP PDE /Rio-2009
Recommend
More recommend