Mtodo Capacitivo Cap. 5 Conduo Transiente Alteraes na condio de - PowerPoint PPT Presentation

Condução Transie iente: Método Capacitivo Cap. 5

Condução Transiente • Alterações na condição de equilíbrio térmico: – convecção na superfície ( ), h T ,  – radiação na superfície ( ), h T , r sur – temperatura ou fluxo de calor imposto na superfície – geração interna de calor. • Técnicas de solução – Método Capacitivo, T=T(t) – Soluções Exatas, T=T(x,y,z,t) – Métodos numéricos.

Método Capacitivo        T r t , T t   t > 0 T i T ∞ <T i h T(t)

       T r t , T t   ≈ ,...., T(x,y,z,t 1 ) T(t 1 ) T(t n )

Método Capacitivo Balanço de Energia: dE t > 0         ar E E E E T i e g s ac dt     dT    hA T t T mc  s dt T ∞ <T i VC T(t) h

dE         ar E E E E e g s ac dt     dT    hA T t T mc  s dt dT        c hA T T  s c , (5.2) dt     t     c d dt   hA 0 i s c ,         t hA T T       s c ,   exp     exp t            T T c t  i i

A constante de tempo térmica é definida como   1         c   t  hA  (5.7) s c , Resistência Capacitância térmica, R t térmica, C t Calor trocado durante o processo     t t   t                   E Q E dt   c 1 exp hA dt out (5.8) st  i s c ,     0 0 t

Análi lise do método Capacit itiv ivo para uma parede pla lana

 Balanço de Energia: dE dT       st c E E E in out g dt dt dT              c q A hA T T h A T T E  g s s h , s c , r s r , sur dt

  • Casos especiais (Sol. Exata)  T 0 T i            Sem radiação T T , b a / :              a hA / c b q A E / c g s c ,  s s h ,    d     a dt  T T b a /             exp at 1 exp at   (5.25)   T T T T   i i

       Sem radiação e sem geração   h h E , 0, q 0 : g   r s (5.2) dT        c hA T T  s c , dt     t     c d dt   hA 0 i s c ,         t hA T T       s c , exp       exp t          T T  c  t  i i

       Sem convecção e sem geração   h h E , 0, q 0 : g  r s  dT          c A T T 4 4 s r , sur dt   A dT t T    s r , dt    0 T T 4 T 4 c i sur       c T T T T    sur sur i t 1n 1n      4 A T T T T T 3  s r , sur sur sur i (5.18)         T T           i  2 tan tan 1 1      T T   sur sur

Número de Biot e validade do método Capacitivo • O Número de Biot : análise adimensional.  Definição: V L  hL L c =Comprimento característico  c C Bi A S k  Interpretação física:  q q cond conv     kA    T T hA T T  S , 1 S , 2 S , 2 L  T T L kA R     S , 1 S , 2 C S cond i  T T 1 hA R  S , 2 S conv

Critério de aplicação do método capacitivo Bi   Critério de aplicação do método capacitivo: 1 Admite-se Bi <0,1

Comprimento Característico V L  C A S -Para uma parede de espessura 2L, L c =L -Para um cilindro de raio R, L c =R/2 -Para uma esfera de raio R, L c =R/3

Análise Adimensional hA   s t e   Vc  i hA ht hL k t   s C t    2 Vc cL k c L C C  hL t  C 2 k L C   . i Fo     i . Fo e  i

Problem: Thermal Energy Storage Problem 5.12: Charging a thermal energy storage system consisting of a packed bed of aluminum spheres. KNOWN: Diameter, density, specific heat and thermal conductivity of aluminum spheres used in packed bed thermal energy storage system. Convection coefficient and inlet gas temperature. FIND: Time required for sphere at inlet to acquire 90% of maximum possible thermal energy and the corresponding center temperature. Schematic: Aluminum sphere Gas o D = 75 mm, T = 25 C i  = 2700 kg/m 3 o T = 300 C g,i c = 950 J/kg-K 2 h = 75 W/m -K k = 240 W/m-K

Problem: Thermal Energy Storage (cont.) ASSUMPTIONS: (1) Negligible heat transfer to or from a sphere by radiation or conduction due to contact with other spheres, (2) Constant properties. ANALYSIS: To determine whether a lumped capacitance analysis can be used, first compute Bi = h(r o /3)/k = 75 W/m 2  K (0.025m)/150 W/m  K = 0.013 <<1. Hence, the lumped capacitance approximation may be made, and a uniform temperature may be assumed to exist in the sphere at any time. From Eq. 5.8a, achievement of 90% of the maximum possible thermal energy storage corresponds to  E   st       0.90 1 exp t / t   cV i 3    2700kg / m 0.075m 950J / kg K        Vc / hA Dc / 6h 427s. t s 2   6 75W / m K         t ln 0.1 427s 2.30 984s t From Eq. (5.6), the corresponding temperature at any location in the sphere is            T 984s T T T exp 6ht / Dc g,i i g,i     2 3            T 984s 300 C 275 C exp 6 75 W / m K 984s / 2700 kg / m 0.075m 950 J / kg K     T 984s 272.5 C If the product of the density and specific heat of copper is (  c) Cu  8900 kg/m 3  400 J/kg  K = 3.56  10 6 J/m 3  K, is there any advantage to using copper spheres of equivalent diameter in lieu of aluminum spheres? Does the time required for a sphere to reach a prescribed state of thermal energy storage change with increasing distance from the bed inlet? If so, how and why?

Problem: Furnace Start-up Problem 5.16: Heating of coated furnace wall during start-up. KNOWN: Thickness and properties of furnace wall. Thermal resistance of ceramic coating on surface of wall exposed to furnace gases. Initial wall temperature. FIND: (a) Time required for surface of wall to reach a prescribed temperature, (b) Corresponding value of coating surface temperature. Schematic:

Problem: Furnace Start-up ASSUMPTIONS: (1) Constant properties, (2) Negligible coating thermal capacitance, (3) Negligible radiation. PROPERTIES: Carbon steel:  = 7850 kg/m 3 , c = 430 J/kg  K, k = 60 W/m  K. ANALYSIS: Heat transfer to the wall is determined by the total resistance to heat transfer from the gas to the surface of the steel, and not simply by the convection resistance. Hence, with   1 1         1 1 1   2 2 2           U R  R  10 m K/W 20 W/m K. tot f   2  h   25 W/m K 2   UL 20 W/m K 0.01 m     Bi 0.0033 1  k 60 W/m K and the lumped capacitance method can be used. (a) From Eqs. (5.6) and (5.7),  T T                exp t/ exp t/R C exp Ut/ Lc t t t  T T  i   3     7850 kg/m 0.01 m 430 J/kg K T T Lc  1200 1300     t ln ln   2 U T T  300 1300  20 W/m K i   t 3886s 1.08h.

Problem: Furnace Start-up (cont.) ( b) Performing an energy balance at the outer surface (s,o),         h T T T T / R  s,o s,o s,i f   2 -2 2     hT  T / R 25 W/m K 1300 K 1200 K/10 m K/W s,i f   T   s,o     2   h 1/ R 25 100 W/m K f  T 1220 K. s,o How does the coating affect the thermal time constant?

Condução transiente: consideração dos efeitos espaciais e as soluções analíticas