Linear-(me Approxima(ons for Domina(ng Sets and Independent - PowerPoint PPT Presentation

100 ¡meters ¡freestyle ¡world ¡record ¡ 1995 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2012 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Alexander ¡Popov ¡(RUSSIA) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Cesar ¡Cielo ¡(BRASIL) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡48.21 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡46.91 ¡s ¡ Alexander ¡Popov ¡(RUSSIA) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡César ¡Cielo ¡(BRAZIL) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡48.21 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡46.91 ¡s ¡ ¡ ¡ ¡ -‑ ¡2.6% ¡

Domina(ng ¡sets ¡in ¡unit ¡disk ¡graphs ¡  Vast literature on approximation algorithms: (Marathe, Breu, Hunt III, Ravi & Rosenkrantz 1995) (Hunt III, Marathe, Radhakrishnan, Ravi, Rosenkrantz & Stearns 1998)* (Nieberg, Hurink & Kern 2008)* (Gibson & Pirwani 2010)*– (general) disk graphs (Erlebach & Mihalák 2010) – weighted version (Hurink & Nieberg 2011)*– independent dominating set version (Zou, Wang, Xu, Li, Du, Wan & Wu 2011) – weighted version (De, Das & Nandy 2011) O( n + m ) graph-based 5-approximation (MBHRR’95) *PTAS  O( n 225 ) graph-based 5-approximation (NHK’08) O( n 9 ) geometric 4-approximation (DDN’11) O( n 18 ) geometric 3-approximation (DDN’11) ¡ ¡ ¡ ¡ -‑ ¡2.2% ¡ ¡4.888… ¡ O( n + m ) graph-based ,888 -approximation Our ¡contribu(on: ¡ ¡4.888… ¡ O( n log n ) geometric ,888 -approximation (FFMS’12)

Coronas ¡and ¡cores ¡ Let D be a maximal independent set of graph G ( V ,E). A corona consists of exactly 5 (five) vertices of D presenting a common neighbor in V \ D , called a . corona ¡ ¡ ¡ ¡

Coronas ¡and ¡cores ¡ Let D be a maximal independent set of graph G ( V ,E). A corona consists of exactly 5 (five) vertices of D presenting a common neighbor in V \ D , called a . A corona C can be corona ¡ ¡ • reducible, if it has a core c s.t. D \ C U { c } is still a dominating set of G; ¡ ¡ or • irreducible, otherwise.

Reducible ¡and ¡irreducible ¡coronas ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡

Reducible ¡and ¡irreducible ¡coronas ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡

Witnesses ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡ witness ¡

Witnesses ¡ Let C be a corona of graph G ( V , E ), and let c be a core of C . A vertex w is a witness of c iff cw ∉ E , and N D [ w ] ⊆ C . ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡reducible ¡corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡irreducible ¡corona ¡ ¡ witness ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ 1. Obtain a maximal independent set D 2. While there is a reducible corona C in D 3. Update D by reducing C 4. Return D Input: adjacency lists (graph) Time: O( n + m ) Input: center coordinates in Real RAM Model Time: O( n log n )

4.888…-‑approxima(on ¡ 1. Obtain a maximal independent set D 2. While there is a reducible corona C in D 3. Update D by reducing C 4. Return D Input: adjacency lists (graph) Time: O( n + m ) Input: center coordinates in Real RAM Model Time: O( n log n ) Lemma: a maximal independent set D with no reducible coronas is a 4.888…-approximation for the minimum (independent) dominating set.

4.888…-‑approxima(on ¡ 1. Obtain a maximal independent set D 2. While there is a reducible corona C in D 3. Update D by reducing C 4. Return D

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output)

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution)

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1/3 ¡ 1 ¡ 1/3 ¡ 1 ¡ 1/3 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡ 1/2 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ D – a maximal independent set with no ¡ ¡ ¡ ¡| D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ≤ ¡ ¡?? ¡ reducible coronas (algorithm output) D* – a minimum dominating set (optimum solution) average ¡of ¡ f (.) ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ C* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ C* ¡ 1 ¡ 1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ C* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ C* ¡ w ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ C* ¡ r* ¡ w ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡ w ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡ w ¡ f ( r *) ¡> ¡4 ¡(hypothesis) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡ w ¡ f ( r *) ¡> ¡4 ¡(hypothesis) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ r* ] ¡ ∩ ¡ C = ∅ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ K 1,6 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡ w ¡ f ( r *) ¡> ¡4 ¡(hypothesis) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ r* ] ¡ ∩ ¡ C = ∅ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ corona ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ 4,888… ¡< ¡ f ¡ ( c *) ¡≤ ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 ¡ w ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡N D [ w ] ¡ ⊆ ¡ C

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ reliever ¡ C* ¡ r* ¡ f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4

4.888…-‑approxima(on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f : D * ⟶ (0, 5] D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | D | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡average ¡of ¡ f ¡ (.) ¡over ¡D* ¡ ¡≤ ¡ ¡4,888… ¡ ¡ D* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡| D *| ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡f ¡ ( c i *) ¡= ¡ ¡5, ¡ ¡ ¡ ¡ i ¡= ¡1, ¡2, ¡… ¡? reliever ¡ C 1 * ¡ C* ¡ r* ¡ r* ¡ f ¡ ( c *) ¡= ¡ ¡5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡4 C 2 * ¡ C 3 * ¡ C 4 * ¡ . ¡ . ¡ . ¡

4.888…-‑approxima(on ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡

Some ¡geometric ¡lemmas ¡ Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . 3 Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. 5 Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more π congruent disks in a convex region has density at most / . 12

Some ¡geometric ¡lemmas ¡ Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . 3 Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. 5 Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more π congruent disks in a convex region has density at most / . 12 Lemma 4 (FFMS 2012): The closed neighborhood of a clique in a unit disk graph contains at most 12 independent vertices. Lemma 5 (FFMS 2012): The closed d -neighborhood of a vertex π in a unit disk graph contains at most (2 d + 1) 2 / 12 independent vertices, for integer d ≥ 1. Lemma 6 (FFMS 2012): If G is a (4, L )-pendant unit disk graph, then L ≤ 8. ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ Lemma 1 (Pál 1921): If a set of points P has diameter 1, then P can be enclosed by a circle of radius 1 / . 3 Lemma 2 (Fodor 2007): The radius of the smallest circle enclosing 13 points with mutual distance ≥ 1 is (1 + ) / 2. 5 Lemma 3 (Fejes Tóth 1953): Every packing of two or more π congruent disks in a convex region has density at most / . 12 Lemma 4 (FFMS 2012): The closed neighborhood of a clique in a unit disk graph contains at most 12 independent vertices. Lemma 5 (FFMS 2012): The closed d -neighborhood of a vertex π in a unit disk graph contains at most (2 d + 1) 2 / 12 independent vertices, for integer d ≥ 1. Lemma 6 (FFMS 2012): If G is a (4, L )-pendant unit disk graph, Then L ≤ 8. ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ r* ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡= ¡4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ⇒ ¡ ¡ ¡at ¡most ¡ 8 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡cores ¡per ¡reliever ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡ ∈ ¡{3} ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡ ∈ ¡{2,3} ¡

Establishing ¡the ¡approxima(on ¡factor ¡ f ¡ ( c 4 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ f ¡ ( c 1 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 1 * ¡ C 4 * ¡ w 1 ¡ w 4 ¡ f ¡ ( c 2 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ C 2 * ¡ C 3 * ¡ w 2 ¡ w 3 ¡ f ¡ ( c 3 *) ¡= ¡ ¡5 ¡ reliever ¡ r* ¡ f ¡ ( r *) ¡≤ ¡ ¡4 ¡ N D [ r *] ¡ ∈ ¡{1,2,3} ¡

Linear-(me Approxima(ons for Domina(ng Sets and Independent - PowerPoint PPT Presentation

Linear-(me Approxima(ons for Domina(ng Sets and Independent Domina(ng Sets in Unit Disk Graphs Celina Miraglia Herrera de Figueiredo Guilherme Dias da

Connected Domina-ng Sets Network Design Fall 2015 Saba Ahmadi Sheng Yang Domina-ng Sets and

GROUP PRESENTATION Domina / Group Presentation 2 INDEX 04 | TARGET PREMIUM 06 | ERNESTO PREATONI

Use of the domina.on property for interval valued digital signal processing O. Strauss W HAT IS

A lower bound on the size of linear sets in PG ( 1 , q n ) joint work with Geertrui Van de Voorde

Sparse Approxima-on, List Decoding, and Uncertainty Principles

Linear sets in the projective line over the endomorphism ring of a finite field Hans Havlicek and

Concise Implementation of Linear Regression Concise Implementation of Linear Regression

Linear-size Universal Point Sets for One-Bend Drawings Csaba D. T oth Maarten L offler

Efficient Computation of Reachable Sets of Linear Time-Invariant Systems with Inputs Colas Le

Frenchman Cambridge Irrig Dist -- Dave Domina Dec. 2013 3 Reservoirs - 143,000 AF of Irrigation

Strong Reducibilities, Scattered Linear Orders, Ranked Sets, and Kolmogorov Complexity Jennifer

Math 211 Math 211 Lecture #11 October 3, 2000 2 Geometry of Solution Sets Geometry of

Linear (and contextual) Bandits: Rich decision sets (and side information) Sham M. Kakade

Section 1.5 Solution Sets of Linear Systems Plan For Today Describe and draw the solution set of

Classes and equivalence of linear sets in PG ( 1 , q n ) Giuseppe Marino Universit degli Studi

Finding Maximal Sets of Laminar 3-Separators in Planar Graphs in Linear Time David Eppstein

Lecture 1.2: Linear independence and spanning sets Matthew Macauley Department of Mathematical

Testing for C1P using PQ-Trees C1P: order U so that certain sets S U are consecutive

Linear Bandits: Rich decision sets Sham M. Kakade Machine Learning for Big Data CSE547/STAT548

Linear Programming Linear Programming In a linear programming problem, there is a set of

Ranking Specific Sets of Objects Jan Maly, Stefan Woltran PPI17 @ BTW 2017, Stuttgart March 7,

10. The Positivstellensatz Basic semialgebraic sets Semialgebraic sets

Sets Reading: EC 3.1-3.3 Peter J. Haas INFO 150 Fall Semester 2019 Lecture 11 1/ 21 Sets

Sets Sets A Set is an abstract data type representing an unordered Sets are unordered and