Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes (joint work - PowerPoint PPT Presentation

Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes (joint work with Michihisa Wakui) Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) Josai University( 城西大学 ) 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 ) 2017 年 12 月 24 日 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Contents Contents Kauffman bracket polynomials of links 1 Conway-Coxeter Friezes 2 Definition and examples of Conway-Coxeter Friezes An example of Conway-Coxeter Friezes Cluster algebras of type A Main result :Recipe of making Kauffman bracket polynomials by using CCF 3 Outline of proof of Main theorem 4 Questions of Kauffman bracket polynomials on rational links 5 Deleting and Inserting on a CCF 6 braids from CCFs 7 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Kauffman bracket polynomials of links Definition of Kauffman bracket polynomials of links Let Λ be the Laurent polynomial ring Z [ A , A − 1 ]. For each link diagram D , Kauffman bracket polynomial ⟨ D ⟩ ∈ Λ is computed by applying the following rules repeatedly. ⟩ + A − 1 ⟨ (KB1) ⟨ ⟩ = A ⟨ ⟩ ⟩ = δ ⟨ D ⟩ , where δ = − A 2 − A − 2 . (KB2) ⟨ D ⨿ (KB3) ⟨ ⟩ = 1. 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Kauffman bracket polynomials of links Rational tangles and continued fractions For an integer n , we define by [ n ] , 1 [ n ] as follows: n − n [ n ] [ n ] − n n 1 1 [ n ] [ n ] ( n< 0) ( n> 0) 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Kauffman bracket polynomials of links Rational tangles and continued fractions We consider for the continued fraction expansion of an irreducible fraction p q , i.e. 1 p q = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + ... + 1 a n − 1 + 1 a n ( ) p a 0 a 2 a n := L q a 1 a n - 1 – – 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes Definition and examples of Conway-Coxeter Friezes Definition of Conway-Coxeter friezes A Conway-Coxeter Frieze is an array of natural numbers, displayed on shifted lines such that the top and bottom lines are composed only of 1s and for each unit diamond: b a d c satisfies the determinant condition ad − bc = 1, namely ( a ) b ∈ SL (2 , Z ) a , b , c , d > 0 c d . 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes An example of Conway-Coxeter Friezes Conway-Coxeter Frieze of type L 2 R 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes An example of Conway-Coxeter Friezes Conway-Coxeter Frieze of type L 2 R 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes An example of Conway-Coxeter Friezes Conway-Coxeter Frieze of type L 2 R 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 2 1 ? 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes An example of Conway-Coxeter Friezes Conway-Coxeter Frieze of type L 2 R 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 1 ? 3 1 3 ? 1 2 ? 3 1 3 ? 2 1 ? 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes An example of Conway-Coxeter Friezes Conway-Coxeter Frieze of type L 2 R 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 ? 3 1 3 ? 10 1 2 5 ? 3 1 3 ? 5 2 1 7 ? 3 1 2 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes An example of Conway-Coxeter Friezes Conway-Coxeter Frieze of type L 2 R 2 L ··· 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ··· ··· 2 4 2 2 1 4 2 3 1 2 4 2 2 ··· ··· 1 7 7 3 1 3 7 5 2 1 7 7 3 ··· ··· 3 12 10 1 2 5 17 3 1 3 12 10 1 ··· ··· 2 5 17 3 1 3 12 10 1 2 5 17 3 ··· ··· 3 7 5 2 1 7 7 3 1 3 7 5 2 ··· ··· 1 4 2 3 1 2 4 2 2 1 4 2 3 ··· ··· 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ··· 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes Cluster algebras of type A Remark 1973 ⇒ J.H.Conway and H.S.M.Coxeter, , Triangulated polygons and frize pattern, Math. Gaz.57(1973), no.400, 87-94, no.401, 87–94. 2002 ⇒ S. Fomin and A. Zelevinsky, Cluster algebras. I. Foundations, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 497-529 (electronic). 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes Cluster algebras of type A cluster of RLR 2 LR -type 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? x 6 ? x 7 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes Cluster algebras of type A cluster of RLR 2 LR -type RLR 2 LR -type: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x 8 x 2 x 9 x 3 x 10 x 4 x 11 x 5 x 12 x 6 x 13 x 7 x 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x 4 + x 1 x 3 + x 2 x 4 + x 2 +1 x 8 = x 2 +1 , x 10 = x 2 x 4 +1 , x 11 = x 2 x 4 x 5 + x 3 + x 5 x 1 , x 9 = x 2 , x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 x 4 2 x 7 + x 2 x 4 x 5 + x 3 x 4 x 6 + x 3 x 5 x 7 + x 5 2 x 7 + x 3 + x 5 , x 13 = x 5 x 7 +1 , x 14 = x 5 x 7 + x 6 +1 x 12 = x 2 x 4 x 5 x 3 x 4 x 6 x 5 x 6 x 6 x 7 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes Cluster algebras of type A cluster of RLR 2 LR -type 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

Conway-Coxeter Friezes Cluster algebras of type A cluster of RLR 2 LR -type 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97

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Conway-Coxeter Friezes Cluster algebras of type A cluster of RLR 2 LR -type 結び目の数学 X 於 Tokyo Woman’s Christian University( 東京女子大学 年 月 日 Takeyoshi Kogiso( 小木曽岳義 ) (Josai University( 城西大学 )) Kauffman bracket polynomials of Conway-Coxeter Friezes / 97