Interpolation polynomial * Means finding an approximate value to a - PowerPoint PPT Presentation

Interpolation polynomial * Means finding an approximate value to a function as a polynomial of degree n using n+1 points. Methods of solution

1- Quadratic Lagrange x x x x 1 2 0   f x y y y 0 1 2      P x L y L y L y 2 0 0 1 1 2 2      x x x x  1 2 L    0       x x x x   x x x x 0 1 0 2  0 1 L           2   x x x x x x x x  0 2 2 0 2 1 L     1   x x x x 1 0 1 2

Example * Interpolate the following data: 1 2 3 x f(x) 1.2 4.5 3.8             2 3 x x 1 x x x x     2  1 2 2 x 5 x 6 L         0   1 2 1 3 x x x x 0 1 0 2              x x x x x 1 x 3       0 2 2 L x 4 x 3        1     x x x x 2 1 2 3 1 0 1 2              x 1 x 2 1 x x x x      2 0 1 2 x 3 x 2 L          2   x x x x 3 1 3 2 2 0 2 1         P x L y L y L y 1.2 L 4.5 L 3.8 L 2 0 0 1 1 2 2 0 1 2     2 2 x 9.3 x 6.1

Example * Given that: 9 9.5 11 x f(x) 2.19 2.25 2.39        approximate . If , evaluate f x Ln x P 2 9.2 the error.           x 9.5 x 11 x x x x      1 2 2 L x 20.5 x 104.5         0   9 9.5 9 11 x x x x 0 1 0 2               x x x x x 9 x 11 4      0 2 2 L x 20 x 99        1     x x x x 9.5 9 9.5 11 3 1 0 1 2              9 9.5 x x 1 x x x x     2  0 1 3 x 18.5 x 85.5 L          2   11 9 11 9.5 x x x x 2 0 2 1

     P x L y L y L y 2 0 0 1 1 2 2    2.19 L 2.25 L 2.39 L 0 1 2    2 1.58 29.11 136.2 x x  P 2 (9.2) 2.1192  Exact value Ln (9.2)  2.2192 Error = Exact value - Approximate value     f (9.2) P 9.2 2   2.2192-2.1192 0.1

2- Newton divided difference x x x x x  1 2 0 n 1 f x ( ) y y y y  0 1 2 n 1                P x a a x x a x x x x n 0 1 0 2 0 1           + a x x x x x x  0 1 1 n n  y y   1 0 a y 0 , a , 0 1  x x 1 0

Example * Given that: 9 9.5 11 x f(x) 2.19 2.25 2.39        approximate . If , evaluate f x Ln x P 2 9.2 the error. x y First Stage Second Stage a a 0 1 9 2.19  a 2.25 2.19  2 0.12   9.5 9 0.093 0.12   0.0135 9.5 2.25  11 9  2.39 2.25  0.093  11 2.39 11 9.5

              P x a a x x a x x x x 2 0 1 0 2 0 1            2.19 0.12 x 9 0.0135 x 9 x 9.5    2 0.0135 +0.36975 0.04425 x x  P 2 (9.2) 2.21481  Exact value Ln (9.2)  2.2192 Error = Exact value - Approximate value     f (9.2) P 9.2 2   2.2192-2.21481 0.00439

Example * Given that: 0 1 2 4 x f(x) 1 3 6 8   approximate . P 3 1.8 x y First Stage Second Stage Third Stage a a 0  1 3 1 a 0 1  2 2   3 2 1 0 1  a 2 1  3 1 3   2 0 2  6 3 7  3 2   3   2 1 4 0 24 2 6   1 3 2   8 6  1  4 1 3  4 8 4 2

              P x a a x x a x x x x 3 0 1 0 2 0 1         + a x x x x x x 3 0 1 2 1 7                    1 2 x 0 x 0 x 1 x 0 x 1 x 2 2 24 7      3 2 x 1.375 x 0.916667 x 1 24  P 3 (1.8) 5.404