INC 541 Modern Control Theory Using State Space Methods - PowerPoint PPT Presentation

INC ¡541 ¡Modern ¡Control ¡Theory ¡ Using ¡State ¡Space ¡Methods Lecture#4: ¡Solu?on ¡of ¡state ¡equa?on ¡ Assoc. ¡Prof. ¡Benjamas ¡PanomruHanarug ¡ benjamas.pan@kmuH.ac.th

Solu?on ¡of ¡differen?al ¡equa?ons ¡ BP INC541 2

Solu?on ¡of ¡differen?al ¡equa?ons ¡ • Homogeneous ¡solu?on ¡ – Case ¡I: ¡two ¡real ¡roots ¡ ¡ – Case ¡II: ¡real ¡double ¡roots ¡ – Case ¡III: ¡complex ¡conjugate ¡ • Non-­‑homogeneous ¡solu?on ¡ BP INC541 3

Homogeneous ¡solu?on ¡of ¡2 nd ¡order ¡ • Case ¡I: ¡two ¡real ¡roots ¡(dis?nct ¡real) ¡ 1 , λ λ 2 λ + General ¡solu?on: ¡ t t y k e k e λ = 1 2 1 2 • Case ¡II: ¡Real ¡double ¡roots ¡ λ = λ 1 General ¡solu?on: ¡ 1 t / 2 ( ) y k k t e − λ = + 1 2 • Case ¡III: ¡Complex ¡conjugate ¡roots ¡ a ± jb λ = General ¡solu?on: ¡ at ( ( ) ( ) ) y e k cos bt k sin bt = + 1 2 ¡ ¡ BP INC541 4

Non-­‑homogeneous ¡solu?ons ¡ Term ¡in ¡u(t) ¡ Choice ¡for ¡yp(t) ¡ t t Ce γ ke γ kx n n n 1 ( n 0 , 1 , … ) K x K x … K x K − = + + + + n n 1 1 0 − ( ) k cos t ω ⎫ ( ) ( ) K cos t M sin t ω + ω ⎬ ( ) k sin t ω ⎭ α cos ke t ( ) t ω ⎫ e t ( K cos ( t ) M sin ( t ) ) α ω + ω α sin ⎬ ke t ( ) t ω ⎭ BP INC541 5

Total ¡solu?on ¡by ¡Laplace ¡transform ¡ • Steady ¡state ¡response ¡ ¡ • No ¡transient ¡informa?on ¡ BP INC541 6

Solu?on ¡of ¡state ¡equa?on BP INC541 7

Solu?on ¡of ¡state ¡equa?ons X(t) ¡= ¡?? Solu?on ¡of ¡state ¡is ¡composed ¡of ¡ ¡ • Homogeneous ¡solu?on ¡(input ¡u(t) ¡= ¡0) ¡ • Non-­‑homogeneous ¡solu?on ¡or ¡force ¡response ¡ (input ¡u(t) ¡≠ ¡0) BP INC541 8

Solu?on ¡of ¡homogeneous ¡state ¡ equa?ons BP INC541 9

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State ¡transi?on ¡matrix Evalua?on ¡using ¡inverse ¡Laplace ¡transform BP INC541 12

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Solu?on ¡of ¡non-­‑homogeneous ¡state ¡ equa?on BP INC541 14

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