Hybrid EnKF and Par.cle Filter: Lagrangian DA and - PowerPoint PPT Presentation

Hybrid ¡EnKF ¡and ¡Par.cle ¡Filter: ¡ ¡ Lagrangian ¡DA ¡and ¡Parameter ¡Es.ma.on ¡ Chris ¡Jones ¡and ¡ ¡ Nara.p ¡San..ssadeekorn* ¡ RENCI ¡and ¡Mathema.cs, ¡ UNC-­‑Chapel ¡HIll ¡ *University ¡of ¡Surrey ¡

Data ¡Assimila.on ¡in ¡Sequen.al ¡Mode ¡ predic.on ¡ Model ¡+ ¡observa.ons ¡ t t t t 0 model ¡ model ¡ 1 2 N obs ¡ update ¡ obs ¡ update ¡ ¡ assimila.on ¡ assimila.on ¡ f ) a = x k f + K k η k − H ( x k ( ) x k Assimila.on ¡at: ¡ ¡ t = t k prior x k posterior ( x k y k ) ∝ P obs ( y k x k ) P ( ) P 2 ¡

Skew-­‑Product ¡Structure ¡of ¡Dynamics ¡ ( ) + ε k x k = m k x k − 1 ( ) + δ k y k = h x k ( ) 1 , x k 2 x k = x k 1 x k − 1 1 = m k ( ) + ε k 1 1 x k 2 x k − 1 1 , x k − 1 2 = m k ( ) + ε k 2 2 x k i , i = 1,2 • One ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡low-­‑dimensional ¡ x k • Idea: ¡ ¡EnKF ¡on ¡ high-­‑dimensional ¡ part ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡PF ¡ ¡ ¡on ¡ low-­‑dimensional ¡ part ¡

Gulf ¡of ¡Mexico/Carribean ¡

Dynamics ¡in ¡GoM ¡ Key ¡structures: ¡ellip.c ¡points ¡(trajectories) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡hyperbolic ¡points ¡(trajectories) ¡ From: ¡Kuznetsov ¡ et ¡al. ¡ ¡JMR ¡2002 ¡

Augmented ¡system ¡ Append ¡equa.ons ¡for ¡driZers ¡(floats) ¡ ! $ x F # & x = & -- augmented state vector # x D x F ↔ u , v , w " % ( ) f d x F x D ↔ ( x , y , z ) f , t ) -- flow equations dt = M F ( x F f d x D f , x F f , t ) -- tracer advection equation dt = M D ( x D Apply ¡DA ¡to ¡augmented ¡system ¡ Ide, ¡Jones ¡and ¡Kuznetsov ¡2002 ¡ ¡

Recapturing ¡an ¡eddy ¡

Eddies ¡in ¡GoM ¡ Work ¡with ¡Guillaume ¡Vernières ¡(NASA) ¡and ¡Kayo ¡Ide ¡(MD) ¡-­‑Physica ¡D, ¡2011 ¡

Perturbed ¡Cellular ¡Flow ¡Field ¡ Apte, ¡J ¡and ¡Stuart ¡Tellus ¡A ¡2008 ¡ Apte ¡and ¡J. ¡2014 ¡

Assimila.ng ¡from ¡trajectory ¡staying ¡in ¡one ¡cell ¡ Expt: ¡es.mate ¡i.c. ¡from ¡observa.ons ¡of ¡trajectory ¡

Lagrangian ¡Data ¡Assimila.on ¡(LaDA) ¡ dx F F ( x F , t ) dt = f x F k = m k ( x F k − 1 ) Es.mate: ¡ high ¡ dx D dt = f D ( x F , x D , t ) F , x k − 1 ( ) x D k = m D D k − 1 x k − 1 Observe: ¡ low ¡ Slivinskii, ¡Spiller, ¡Apte ¡and ¡Sandstede ¡ Monthly ¡Weather ¡Review ¡ 2014 ¡ ¡

MODEL ¡ OBS ¡ F x k − 1 ( ) F , i m k FLOW ¡ ? ¡ ¡ EnKF? ¡ ? ¡ ¡ PF? ¡ ? ¡ ¡ DRIFTER ¡ D x k − 1 ( ) F , i , x k − 1 D , i , j m k D ) + δ k y k = h ( x k

Update ¡Step ¡ No ¡resampling: ¡ ¡ (according ¡to ¡some ¡criterion ¡on ¡“paucity” ¡of ¡par.cle ¡ensemble) ¡ ¡ ¡ DriZer ¡only ¡ Joint ¡PDF ¡ k δ x D , k − x ij k δ x D , k − x ij δ x F , k − x i ( ) ( ) ( ) ∑ D , k ∑ D , k F , k w ij w ij j i , j Computed ¡from ¡obs ¡

Update ¡Step ¡ With ¡resampling: ¡ ¡EnKF ¡on ¡flow ¡variables ¡ Average ¡over ¡set ¡of ¡ Step ¡1: ¡Move ¡flow ¡states ¡w/ ¡EnKF: ¡ driZer ¡ensembles ¡ − 1 Y − x i F , k = x i F , f + P f + R ( ) ( ) f F , D x i P FD DD ! $ P P FF FD # & P = Forecast ¡error ¡covariance ¡ P P # & " % DF DD F , k , ! ! w k D , w k w k ∑ k { } x ij { } x i w ij i = Step ¡2: ¡Form ¡joint ¡posterior ¡PDF ¡ ¡ i ij j Step ¡3: ¡Resample, ¡reset ¡weights ¡and ¡proceed ¡

Joint ¡State-­‑Parameter ¡Es.ma.on ¡ Lorenz ¡96 ¡ i = 1, … ,40 + ¡cyclic ¡BC ¡ Iden.cal ¡twin ¡expt: ¡ “Truth” ¡ Goal: ¡ ¡ Es.mate ¡both ¡state ¡and ¡parameters ¡from ¡obs ¡

Filtering ¡Op.ons ¡ EnKF ¡on ¡augmented ¡system: ¡ Update ¡based ¡on ¡linear ¡regression. ¡Fails ¡if ¡ correla.on ¡is ¡not ¡linear ¡(Yang ¡and ¡DelSole, ¡2009) ¡ ¡ PF ¡on ¡augmented ¡system: ¡ Computa.onally ¡expensive…. ¡ Rao-­‑Blackwellized ¡Par.cle ¡Filter: ¡ Computa.onally ¡more ¡expensive! ¡ But ¡basis ¡for ¡an ¡approach ¡

Parameter ¡Es.ma.on ¡ dx dt = F ( x , θ ) x k + 1 = f ( x k , θ k ) Observe: ¡ high ¡ d θ θ k + 1 = θ k dt = 0 Es.mate: ¡ ¡ low ¡ MIXED ¡FILTER ¡

RBPF ¡ [ ] y = h ( x ) w = x , θ ( ) ∝ p x 1: k θ 1: k , y 1: k ( ) p θ 1: k y 1: k ( ) p w 1: k y 1: k If ¡model ¡is ¡linear, ¡ then ¡Gaussian ¡

Parameter ¡Models ¡ Persistence ¡model ¡ θ k + 1 = θ k Random ¡walk ¡model ¡ θ k + 1 = θ k + η k , η k  N (0, W k ) Liu-­‑West ¡model ¡ θ k + 1 = αθ k + (1 − α ) θ k + η k

MODEL ¡ OBS ¡ ( )  k + 1 x k ( j ) , θ k ( ) + ε k ( j ) = h x k f k ( j ) ( j ) y k STATE ¡ EnKF ¡ ( ) ( ) x k = x k ( i ) = h f k a ˆ k + 1 ˆ  = θ k x k , θ k ( i ) θ k y k + 1 PF ¡ PARAM ¡ g ( θ k ( j ) , η )

PROBLEM ¡ Lorenz ¡96 ¡ i = 1, … ,40 + ¡cyclic ¡BC ¡ Iden.cal ¡twin ¡expt: ¡ “Truth” ¡ Goal: ¡ ¡ Es.mate ¡both ¡state ¡and ¡parameters ¡from ¡obs ¡

Two-­‑Stage ¡+Liu-­‑West ¡ Two-­‑Stage ¡+Persistence ¡ EnKF ¡ δ t = Δ t 200/50 ¡ ¡vs. ¡ ¡250 ¡

( ) − e i ( t ) g ( x i , t ) = θ 1 + θ 2 x i δ t = 10 Δ t

2-­‑layer ¡QG: ¡ L1 ¡ L2 ¡ x i = ∂ ψ i ! ∂ y i i = 1,2 y i = −∂ ψ i ! ∂ x i Problem: ¡ ¡ ¡ ¡observe ¡trajectory ¡in ¡layer ¡1 ¡and ¡es.mate ¡ ¡ k 2 Bimodality ¡trap ¡

Horizontal ¡axis: ¡ p = k 2

Results ¡from ¡Iden.cal ¡Twin ¡Expt ¡

Conclusions ¡ • Skew-­‑product ¡structure ¡of ¡problem ¡can ¡be ¡ exploited ¡to ¡create ¡new ¡filtering ¡approaches ¡ • Two ¡examples: ¡LaDA ¡and ¡JSP ¡es.ma.on ¡ • Issues ¡are ¡different ¡in ¡each ¡case ¡(reverse ¡of ¡ dimensional ¡issues) ¡ • Basic ¡idea: ¡Use ¡EnKF ¡on ¡high-­‑dimensional ¡part ¡ • Issues ¡with ¡nonlinearity ¡focused ¡into ¡low-­‑ dimensional ¡part ¡ • Key ¡decision ¡in ¡implementa.on ¡is ¡in ¡ crosstalk ¡ ¡ ¡