How many days would be holidays if we respect the birthdays of all - PowerPoint PPT Presentation

How many days would be holidays if we respect the birthdays of all the past emperors? Hajime Nanjo, Nobuhiro Shimizu, Taku Yamanaka 2017-12-28 Kuno and Yamanaka Groups End-of-the Year Presentation

Introduction • 125 emperors in Japan in the past • Birthdays of 3 emperors are holidays • Meiji Emperor : Nov. 3, Culture Day • Showa Emperor : Apr. 29, Showa Day • Current Emperor : Dec. 23, The Emperor’s Birthday 2

Question • If we make the birthdays of 
 all the past 125 emperors as holidays, 
 how many “Emperor’s birthday” holidays will we have? • N = 365 (#days/year) • M = 125 (#emperors) • n : #holidays 3

1. Brute-force method • Split emperors into multiple days • Example: 7 emperors . . . Day A Day A B Day A B Day A B C D (7) (1+6) (2+5) (1+2+2+2) 1 day 2 days 2 days 4 days 4

Example: #cases for the splitting pattern • 365 C 1 : pick 1 day • × 7 C 1 : pick 1 emperor Day A B C D (1+2+2+2) • × 365-1 C 3 : pick 3 days 4 days • × 7-1 C 2x3 : pick 2x3 emperors • × (2x3)! : Line up emperors • × 1/(2!) 3 : Remove double-counts = 1,833,153,121,800 5

#holidays 1 2 3 4 5 6 7 partitions (7) (1+6) (1+1+5) (1+1+1+4) (1+1+1+1+3) (1+1+1+1+1+2) (1+1+1+1+1+1+1) (2+5) (1+2+4) (1+1+2+3) (1+1+1+2+2) (3+4) (1+3+3) (1+2+2+2) Partition Number ( 分割数 ) = 15 (2+2+3) #cases 6.11E+12 8.82E+14 4.76E+16 8.15E+17 365 837018 1.45E+10 × 1 / 365 7 Probability 1 7 #holidays 6

Problem of Partition No. 10 9 Partition Number • It is LARGE! • Took 100 min for M=90. • Expect 80 hours for M=125 10 0 0 100 N 7

2. Monte Carlo Method • Monte Carlo method can be used to calculate the expected number of holidays M • M emperors are uniformly assigned to 365 boxes. Jan. Dec. 1st 31st … … ß Number of holidays is 
 hol hol hol hol immediately obtained. 8

N histories

More realistic distribution Japanese government provides the statistic information of fraction of birth-month. † The assignment of birth days is weighted fraction according to this fraction. 1 5 3 7 9 11 The real distribution is NOT uniform at all! … Jan Sep Dec † http://www.mhlw.go.jp/toukei/saikin/hw/jinkou/tokusyu/syussyo-4/syussyo1-2.html

N histories Expected number of holidays decreases by only 0.03 days (43 minutes). 
 à Relax! Still we can take sufficient number of holidays 
 even in this realistic situation.

漸化式の計算 に、漸化式で求めた天皇誕生日の日数の確率分布 の を用いて計算した。 数を扱う。そこで、整数の桁数に制限のない という大きな は整数であるので正確に計算できるが、 の範囲に収まるまで が計算できる。 祝日の日数の確率分布 を求めておけば、 について を用いて である。したがって、漸化式の式 整数 で約分した。 図 を示す。期待値は で表せる実数 日であり、分布の 人が入る確率は 日に 日のうち、 次に、１年 と表せる。 のうち小さい方であるため、 と となる。ただし、差し引く日数の最大値は は 日である。この結果は、＊＊＊＊＊の方法で計算して 求めた結果と一致する。 図 漸化式を用いた、天皇誕生日の日数の確率分布。 計算では実数で割り算するために、割る数と割られる数 整数 を、 3. Recurrence Formula • Q(M | n) : The number of cases for distributing M emperors to n specific days all in 1 day all in 2 days Q ( M | n ) = n M − n C 1 Q ( M | 1) − n C 2 Q ( M | 2) · · · min( M,n − 1) X = n M − n C i Q ( M | i ) i =1 • Probability that M emperors fit in n days out of N days in a year Q ( M | n ) P ( M, N | n ) = N C n N M • Used Python (infinite #digits for integers!) 12

Result of recurrence formula 0.1 M = 125 emperors Probability <n> = 106.0 days RMS = 3.5 days 0 0 100 n (#holidays) 13

Result of recurrence formula 10 -11 Probability 10 -186 0 100 n (#holidays) 14

× 1 × × … … … … 2 0 × 0 1 2 3 Day Emperor ID j i N-1 M-1 4. Simple calculation N(365) patterns/row × × ⚪ × × × × × × × × × × × × × P workday = (1 − 1 /N ) M P holiday = 1 − (1 − 1 /N ) M 15

Result of simple calculation • Binomial distribution : N,P holiday → P(n) • Mean = N x P holiday = 365 x (1-(1-1/365) 125 )=106 days • RMS = √ NP holiday (1-P holiday ) = 8.7 days 16

<n> Comparisons • Recurrence formula and the simple formula agree up to 12 digits. But why n · N C n Q ( M | n ) /N M = N X 1 − (1 − 1 /N ) M ⇤ ⇥ ? • MC is consistent with the recurrence formula n <n> 300 formula MC 0.04 MC-formula 0 M 1000 17

RMS Comparisons • RMS of the simple formula does not agree formula 8 MC + simple RMS 0 0 1000 M 18

を計算できる。 ，マゼンタ 日に を、ある特定の 次に、漸化式を用いた方法を考える。 漸化式の導出 漸化式を用いた方法 認識できる。 ，緑 ，青 黒 場合の数とする。 ， 赤 シミュレーションした祝日の数の分布。 実際の誕生月の割合を考慮して， 図 を計算できる。 けば、祝日の日数の確率分布 まで順に求めてお を 人を分配する 人それぞれが である。したがって、漸化式の式 を用いると、１年 けば、祝日の日数の確率分布 まで順に求めてお から を を用いて である。したがって、漸化式の式 人が入る確率は 日に 日のうち、 この 通り選ぶ選び方は と表せる。 のうち小さい方であるため、 と となる。ただし、差し引く日数の最大値は れらの寄与を差し引くと、 日に集中してしまう場合や、 日間に集中してしまう場合などを含む。したがってそ が 人全員 通りあるが、これは を用いて から 漸化式の導出 人全員 ，マゼンタ ，青 ，緑 認識できる。 漸化式を用いた方法 赤 次に、漸化式を用いた方法を考える。 を、ある特定の 日に 人を分配する 場合の数とする。 人それぞれが 通り選ぶ選び方は 通りあるが、これは が ， 日のうち、 
 図 実際の誕生月の割合を考慮して， シミュレーションした祝日の数の分布。 人が入る確率は 日に を用いると、１年 日に集中してしまう場合や、 日間に集中してしまう場合などを含む。したがってそ この と表せる。 のうち小さい方であるため、 と となる。ただし、差し引く日数の最大値は れらの寄与を差し引くと、 黒 Conclusion • #holidays = 
 1 − (1 − 1 /N ) M ⇤ ⇥ N 106.0 ± 3.5 days (for 125 emperors) • Probability distribution function = Q ( M | n ) P ( M, N | n ) = N C n N M min( M,n − 1) � n M − Q ( M | n ) = n C i Q ( M | i ) i =1 • RMS needs the recurrence formula or MC 19

Conclusion • Depending on how you approach/think, the problem can be • extremely di ffi cult and time consuming, or • extremely simple and quick • Monte Carlo is easy and robust • Writeup 「全ての天皇の誕生日を祝日にすると何日休みにな るか」 is available on the program page 20

Happy Holidays! 21

Backup 22

大家 志津香 宮崎 美穂 樋渡 結依 中西 智代梨 谷口 めぐ 田北 香世子 白間 美瑠 佐々木 優佳里 小嶋 菜月 入山 杏奈 横山 由依 日 日 月 年 「レッツゴー研究生！」公演 「レッツゴー研究生！」公演 「レッツゴー研究生！」公演 「レッツゴー研究生！」公演 研究生 宮脇 咲良 市川 愛美 「レッツゴー研究生！」公演 「レッツゴー研究生！」公演 兒玉 遥 篠崎 彩奈 日 日 月 研究生 年 「レッツゴー研究生！」公演 「レッツゴー研究生！」公演 久保 怜音 Check with data • M = 138 members 入山 杏奈 大家 志津香 小嶋 菜月 佐々木 優佳里 Anna Iriyama Shizuka Oya Natsuki Kojima Yukari Sasaki http://oshitan.com/akb48/ 1995.12.03 1991.12.28 1995.03.08 1995.08.28 AKB48 Team A AKB48 Team A AKB48 Team A AKB48 Team A • n = 114 di ff erent birthdays 白間 美瑠 田北 香世子 谷口 めぐ 中西 智代梨 Miru Shiroma Kayoko Takita Megu Taniguchi Chiyori Nakanishi 1997.10.14 1997.02.13 1998.11.12 1995.05.12 AKB48 Team A / AKB48 Team A AKB48 Team A AKB48 Team A NMB48 Team M • expected n = 115.0 ± 3.7 樋渡 結依 宮崎 美穂 宮脇 咲良 横山 由依 Yui Hiwatashi Miho Miyazaki Sakura Miyawaki Yui Yokoyama 2000.04.30 1993.07.30 1998.03.19 1992.12.08 AKB48 Team A AKB48 Team A AKB48 Team A / AKB48 Team A HKT48 Team K IV 市川 愛美 久保 怜音 兒玉 遥 篠崎 彩奈 Manami Ichikawa Satone Kubo Haruka Kodama Ayana Shinozaki 1999.08.26 2003.11.20 1996.09.19 1996.01.08 AKB48 Team K AKB48 Team K AKB48 Team K / AKB48 Team K HKT48 Team H https://www.akb48.co.jp/about/members/ 23