Heat ¡Transport ¡ The ¡Basics ¡of ¡Transport ¡Phenomena ¡ Robert ¡Mudde, ¡Faculty ¡of ¡Applied ¡Sciences ¡ Photo: ¡bureaublad-‑achtergronden.nl ¡
Archetype: ¡ T 1 ¡ Steady ¡state, ¡conducDon, ¡flat ¡plate ¡ λ ‘Driving ¡force’: ¡ ¡ Δ T = T 1 − T 2 T 2 ¡ D ¡ " = λ Δ T ResulDng ¡heat ¡flux : ¡ φ q D Δ V Reversed ¡form: ¡ Compare ¡ Δ V = I • R to ¡Ohm’s ¡ Δ T = D " I φ q law: ¡ R λ Logo ¡ Logo ¡
Compare ¡to ¡Ohm’s ¡law: ¡ T 1 ¡ Δ V λ 1 λ 2 T 2 ¡ I R 1 R 2 D 1 ¡ D 2 ¡ Δ V = I • R tot What ¡about ¡2 ¡flat ¡plates? ¡ SDll ¡driving ¡ With ¡resistances ¡in ¡series ¡ Δ T = T 1 − T 2 force: ¡ ¡ R tot = R 1 + R 2 What ¡is ¡the ¡heat ¡flux? ¡ Logo ¡ Logo ¡
Compare ¡to ¡Ohm’s ¡law: ¡ T 1 ¡ Δ V λ 1 λ 2 Driving ¡ T 2 ¡ force: ¡ I R 1 R 2 Δ T = T 1 − T 2 D 1 ¡ D 2 ¡ Δ V = I • R tot " Δ T = R q , tot φ q What ¡about ¡2 ¡flat ¡plates? ¡ with ¡ SDll ¡driving ¡ With ¡resistances ¡in ¡series ¡ Δ T = T 1 − T 2 force: ¡ ¡ R q , tot = D 1 + D 2 R tot = R 1 + R 2 What ¡is ¡the ¡heat ¡flux? ¡ λ 1 λ 2 Logo ¡ Logo ¡
Example: ¡Hot ¡oven ¡with ¡internal ¡heat ¡producDon ¡P ¡=1 ¡kW ¡ 3 ¡Layers: ¡ Fire ¡proof ¡: ¡ ¡D fp ¡= ¡2 ¡ ¡cm, ¡ λ fp ¡ = ¡1 ¡W/mK ¡ IsolaDon ¡: ¡ ¡ ¡ ¡D iso = ¡15cm, ¡ ¡ λ iso ¡ = ¡0.7 ¡W/mK ¡ P ¡= ¡1kW ¡ Steel ¡: ¡D s ¡ ¡ ¡= ¡2 ¡mm, ¡ ¡ λ s ¡ = ¡80 ¡W/mK ¡ ¡ Oven ¡area: ¡ ¡6* ¡0.16m 2 ¡ ¡ = ¡ ¡1 m 2 ¡ T 1 ¡ Given: ¡outside ¡temperature ¡ Hot ¡ ¡ Room ¡ ¡ of ¡steel ¡layer ¡is ¡20 o C ¡ side ¡ temp ¡ λ fp ¡ λ iso ¡ λ s ¡ ¡ T 2 ¡ What ¡is ¡steady ¡state ¡oven ¡ D fp ¡ D iso ¡ D s ¡ temperature? ¡ Logo ¡
SoluDon: ¡Set ¡up ¡steady ¡state ¡(st.st.) ¡heat ¡balance ¡for ¡the ¡oven ¡ ¡ Zero ¡inflow ¡ P ¡= ¡1kW ¡ 0 ¡ d φ q = P = 1 kW = in − out + prod P ¡= ¡1kW ¡ φ q dt 0 ¡ φ q ¡ (st.st.) ¡ T 1 ¡ φ q Δ T = R q , tot Hot ¡ ¡ Room ¡ ¡ A oven 1m 2 ¡ Modeling ¡ side ¡ temp ¡ λ fp ¡ λ iso ¡ λ s ¡ heat ¡flow: ¡ R q , tot = D fp T 2 ¡ + D iso + D s ¡ D fp ¡ D iso ¡ D s ¡ λ fp λ iso λ s Logo ¡
SoluDon: ¡Set ¡up ¡steady ¡state ¡(st.st.) ¡heat ¡balance ¡for ¡the ¡oven ¡ ¡ φ q = P P Δ T = R q , tot P ¡= ¡1kW ¡ φ q φ q A oven Δ T = R q , tot A oven R q , tot = D fp + D iso + D s pubng ¡in ¡numbers: ¡ with ¡ λ fp λ iso λ s R q , tot = 0.23K/W Δ T = 234 K → T oven = 527 K Logo ¡
General ¡form ¡of ¡ ¡heat ¡transport ¡ Newton’s ¡cooling ¡law ¡ φ q = h ⋅ A ⋅Δ T heat ¡transfer ¡ driving ¡force ¡ ¡ area ¡through ¡ coefficient ¡ which ¡heat ¡flows ¡ Logo ¡
General ¡form ¡of ¡ ¡heat ¡transport ¡ Δ T = 1 φ q φ q = h ⋅ A ⋅Δ T h A heat ¡ ¡ transfer ¡ resistance ¡ coefficient ¡ to ¡heat ¡ ¡ transport ¡ Δ V compare ¡to ¡Ohm’s ¡law: ¡ R q = 1 Δ V = I • R I h R Logo ¡
St.st ¡conduc;on ¡through ¡other ¡geometries ¡ flat ¡ cylindrical ¡shell ¡ from ¡sphere ¡to ¡infinity ¡ T 1 λ R 1 ¡ T 1 R 2 ¡ R ¡ φ q λ T 2 T 1 ¡ T 2 T 2 D h = λ λ h = λ h = R R 2 ln R 2 / R 1 D (based ¡on ¡outer ¡area ¡2 π LR 2 ) ¡ Logo ¡
preferably ¡in ¡ ¡dimensionless ¡form….. ¡Nusselt ¡number, ¡Nu ¡ Nu ≡ resistancedue tost.st.conductionflat plate = D / λ 1/ h = Dh trueheat resistance λ flat cyl sphere λ 2 2 λ h Nu D λ λ = h D ln D / D D D 2 2 1 2 Nu 1 2 ln D 2 / D 1 Logo ¡
Heat ¡transport ¡through ¡interface: ¡driving ¡force Δ T ¡ ¡ Newton’s ¡cooling ¡law ¡ T 1 T i U A T φ = Δ q T 2 total ¡heat ¡transfer ¡coefficient ¡ ! $ ! 1 − T 2 = 1 + 1 1 − T i = 1 " T " = h & φ q " # & ) → T ( 1 T 1 − Ti # φ q φ q # h h 2 h " % # 1 1 " ) → T i − T 2 = 1 1 1 1 # " = h 2 T i − T 2 " ( φ q φ q = + # h 2 U h h $ 1 2 Logo ¡
Heat ¡transport ¡through ¡interface: ¡driving ¡force Δ T ¡ ¡ Newton’s ¡cooling ¡law ¡ T 1 T i U A T φ = Δ q T 2 total ¡heat ¡transfer ¡coefficient ¡ total ¡resistance ¡ ¡= ¡ ¡sum ¡of ¡resistances ¡ ¡ ¡ 1 1 1 = + 1 1 1 U h h 1 2 h 2 h U 1 Logo ¡
Photo: ¡bureaublad-‑achtergronden.nl ¡ Thanks ¡for ¡your ¡a?en;on ¡ The ¡Basics ¡of ¡Transport ¡Phenomena ¡ Robert ¡Mudde, ¡Faculty ¡of ¡Applied ¡Sciences ¡
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