1 , Daniel Rohe 2 , and Walter funRG at all scales: the charge-density wave problem Roland Gersch, Carsten Honerkamp Metzner Max Planck Institute for Solid State Research, Stuttgart 1 now Würzburg 2 now Paris funRG at all scales: the charge-density wave problem – p.1/10
� Why? T This region used to be inaccessible to funRG techniques. funRG techniques used to be unable to reproduce mean-field results for mean-field-exact models. Here, we employ an improved funRG (Katanin scheme) and an initial symmetry-breaking field in a charge-density-wave system. 1. Motivation funRG at all scales: the charge-density wave problem – p.2/10
Basics 1d atomic lattice: oscillating electron density at low temperatures due to Peierls distortion. 3 , TaS 3 , blue bronze (K 0 : 3 MoO 3 ), (TaSe 4 ) 2 I. 0 : 9 Mo 6 O 17 ) Images from Grüner and Zettl, 1984 4 ). CDWs are experimentally observed in various compounds, e.g. NbSe from 24K (Li Transition temperatures: up to 793K (NbTe One-dimensionality arises from the crystal structure. 2. Charge-Density Waves funRG at all scales: the charge-density wave problem – p.3/10
P P y 0 H = � t ( + h: : ) + U n n 0 i i +1 . i i i +1 i Formal Matters We start from a model where particles can hop and repel � =U 0 each other: � -transferring processes P P y y U 0 H = " n � 0 0 0 k k k k ;k k k + � k k + � N Leadingly divergent at half-filling: that generate the CDW. � =U 0 : amplitude of the density wave. Referred to as gap, U : vertex, effective interaction, effective coupling or Thermodynamic limit, half-filling. � and U take real values and depend only on � and T . off-diagonal self-energy, pairing field or order parameter. four-point-function. 3. Theory funRG at all scales: the charge-density wave problem – p.4/10
Exact Diagrammatics Exact in the thermodynamic limit: derivation of the gap = + + + � � � = + = equation by resummation. ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � � � ���������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� = + + � � � = + Likewise, we can resum for the effective interaction. ���������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � � � � � ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � ���������������������������������������� ���������������������������������������� 3. Theory funRG at all scales: the charge-density wave problem – p.5/10
Exact Results U 0 U = 1 � U 0 Bubble Exact in the thermodynamic limit: derivation of the gap equation by resummation. ������������ ������������ 450 0.4 400 ������������ ������������ 350 t℄ 0.3 T emp erature [units of t℄ ������������ T emp erature [units of t ℄ 300 of t ℄ ������������ ������������ 250 [units of 0.2 200 [units ������������ ������������ 150 � 0.1 100 ������������ ������������ 50 U 0 0 ������������ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 Likewise, we can resum for the effective interaction. We introduce a small initial gap. The phase transition is “smeared out” and the singularity of the effective interaction is regularized. 3. Theory funRG at all scales: the charge-density wave problem – p.6/10
funRG equations = + ) + � � � = + + = = Vertex flow equation from Bethe-Salpeter equation: ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � � � � � � � ���� ���� � � � � ���� ���� ���� ���� ����� ����� � � �� �� � � ���� ���� ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � � � � � �� �� � � � � ���� ���� � � ���� ���� � ����� ����� ����� ����� ���� ���� � ���� ���� ���������������������������������������� ���������������������������������������� d � 1 � � � � S := � G G G : 0 ���� ���� d � � � ���� ���� ���� ���� ����� ����� ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � S ���������������������������������������� ���������������������������������������� S d G S S d � = + Gap flow equation from gap equation, = = + = ���������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � � � � 1 d d d � � d � 1 � � � G G G + G � G = � G G G = G ���������������������������������������� ���������������������������������������� � � 0 d � d � d � d � �� �� � � �� �� ���������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� 3. Theory funRG at all scales: the charge-density wave problem – p.7/10
Recommend
More recommend