Four Institutions -- A Unified Presentation of Logical Systems for - PDF document

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/236607603 Four Institutions -- A Unified Presentation of Logical Systems for Specification Article · January 1994 CITATIONS READS 7 11 4 authors , including: Uwe Wolter Felix Cornelius University of Bergen DIFA Deutsches Institut für Fachärztliche Versorgungsforschung 87 PUBLICATIONS 668 CITATIONS 63 PUBLICATIONS 139 CITATIONS SEE PROFILE SEE PROFILE Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Event nets View project Formal Specification of Distributed Systems View project All content following this page was uploaded by Uwe Wolter on 10 August 2016. The user has requested enhancement of the downloaded file.

Four Institutions A Unified Presentation of Logical Systems for Specification U. Wolter, R. Wess¨ aly, M. Klar, F. Cornelius Bericht-Nr. 94-24

F our Institutions 1 { A Uni�ed Presen tation of Logical Systems for Sp eci�cation { Uw e W olter, Roland W ess� aly , Marcus Klar, F elix Cornelius June 28, 1994 1 This w ork has b een partly supp orted b y the German Ministry of Researc h and T ec hnology (BMFT) as part of the pro ject \ K orSo { Korrekte Soft w are".

Abstract W e o�er a uni�ed formal description of four imp ortan t logical systems used for sp eci�cation purp oses in computer science. F or our uni�ed presen tation w e use the concept of institution de- v elop ed in [GB84 , GB92 ] whic h co v ers the follo wing comp onen ts of a logical system: signatures, sen tences, mo dels, and satisfaction of sen tences b y mo dels. W e presen t the institution of equational logic for total algebras (see [EM85 ]), the institution of algebraic systems with p ositiv e Horn form ulas (see [Mal73 ]), the institution of partial algebras with conditional existence equations (see [Rei87, W ol90, Kn � u93]), and the institution of ! { con tin uous algebras (see [GTWW77 , W es94 ]). The pap er is the starting p oin t for a series of forthcomimg pap ers where w e will in v estigate the compatibilit y and com bination of sp eci�cation tec hniques and languages on the basis of the + underlying logical systems (see [WDC 94 , W ol94]).

Con ten ts 1 In tro duction 3 2 Basic Notions 5 2.1 Set Theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2.2 Category Theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2.3 Institutions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3 The Institution of Equational Logic 10 3.1 The Category S I GN of Signatures : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 op 3.2 The Mo del F unctor M od : S I GN ! C AT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 E Q 3.3 The Sen tence F unctor S en : S I GN ! S E T : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 E Q E Q 3.4 The Satisfaction Condition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 4 The Institution of Algebraic Systems 18 4.1 The Category S I GN of Signatures : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 AS op 4.2 The F unctor M od : S I GN ! C AT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 AS AS 4.2.1 The M od {image of signatures: the Categories of Algebraic Systems : : 19 AS 4.2.2 The F orgetful F unctor M od ( � ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 AS 4.2.3 The Mo del F unctor M od : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 AS 4.3 The Sen tence F unctor S en : S I GN ! S E T : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 AS AS 4.3.1 F orm ulas for Algebraic Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 4.3.2 T ranslation of F orm ulas of Algebraic Systems : : : : : : : : : : : : : : : : 23 4.3.3 The F unctor S en : S I GN ! S E T : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 AS AS 4.4 The Satisfaction Relation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 4.4.1 The Satisfaction Condition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 5 The Institution of P artial Algebras 28 5.1 The Category S I GN : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 P A 5.2 The Mo del F unctor M od : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 P A 5.3 The Sen tence F unctor S en : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 P A 5.4 The Satisfaction Condition in I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 P A 6 The Institution of Con tin uous Algebras 38 6.1 The Category S I GN : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 6.2 The Mo del F unctor M od : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 C A 6.2.1 The Category M od (�) of Con tin uous Algebras : : : : : : : : : : : : : : 39 C A 6.2.2 The F orgetful F unctor M od ( � ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 C A 6.3 The Sen tence F unctor S en : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 C A 6.3.1 The Set S en (� ) of Conditional �-Inequalities : : : : : : : : : : : : : : 42 C A 1

6.3.2 The T ranslation of Sen tences S en ( � ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 C A 6.4 The Satisfaction Condition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 A P artial Ordered Sets 51 2