Extrinsic Defects and Possible New Experimental Probes of - PowerPoint PPT Presentation

Extrinsic ¡Defects ¡and ¡Possible ¡New ¡ Experimental ¡Probes ¡of ¡Topological ¡Order ¡ Maissam ¡Barkeshli ¡ Microso> ¡Sta@on ¡Q ¡ ESI, ¡Vienna ¡ Collaborators: ¡ August ¡2014 ¡ ¡ ¡ ¡Xiao-­‑Liang ¡Qi ¡(Stanford) ¡ ¡Chao-­‑Ming ¡Jian ¡(Stanford) ¡ ¡ ¡Steven ¡Kivelson ¡(Stanford) ¡ ¡Erez ¡Berg ¡(Weizmann) ¡

2+1D ¡Topologically ¡ordered ¡states ¡ • Topology-­‑dependent ¡degeneracies, ¡ ¡ • Quasipar@cles ¡with ¡frac@onal ¡charge ¡and ¡sta@s@cs, ¡ ¡ • Long ¡range ¡entanglement ¡ 3 g ¡states ¡ (1/3 ¡Laughlin) ¡ 1 ¡state ¡ 3 ¡states ¡

An ¡aspect ¡of ¡topological ¡states ¡that ¡has ¡received ¡li]le ¡ a]en@on ¡so ¡far ¡is ¡the ¡physics ¡of ¡extrinsic ¡defects: ¡ It’s ¡well-­‑known ¡that ¡gapless ¡robust ¡edge ¡states ¡can ¡ • provide ¡a ¡window ¡into ¡the ¡topological ¡phenomena ¡of ¡ chiral ¡topological ¡states ¡(eg ¡FQH) ¡ Wen ¡1990 ¡ Similarly, ¡the ¡proper@es ¡of ¡gapped ¡boundaries, ¡ • junc@ons ¡between ¡different ¡gapped ¡boundaries, ¡and ¡ other ¡“extrinsic” ¡defects ¡can ¡provide ¡a ¡new ¡window ¡ into ¡topological ¡phenomena ¡

1/3 ¡Laughlin ¡FQH ¡state ¡ Ψ → e i π /3 Ψ e/3 ¡ ¡ 3 ¡types ¡of ¡quasipar@cles ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡charge ¡(mod ¡e): ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0, ¡e/3, ¡-­‑e/3 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡exchange ¡sta@s@cs: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0, π / 3, π / 3 (mod π ) L bulk = − 3 4 π a ∂ a + 1 2 π A E ∂ a H W l ( C ) = e il C a · dl Quasipar@cle ¡loop ¡operator: ¡

Chiral ¡edge ¡theory ¡ (Wen ¡1990) ¡ L edge = − 3 4 π ∂ x φ∂ t φ − v ( ∂ x φ ) 2 [ φ ( x ) , φ ( y )] = i π φ ∼ φ + 2 π 3 sgn ( x − y ) ρ = 1 2 π ∂ x φ Charge ¡density ¡ V a = e ia φ Charge ¡a/3 ¡qp ¡ Ψ e = e i 3 φ Electron ¡operator ¡

Electron ¡tunneling ¡across ¡two ¡1/3 ¡Laughlin ¡states ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ ~ ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ L edge = − 3 4 π ∂ x φ 1 ∂ t φ 1 + 3 4 π ∂ x φ 2 ∂ t φ 2 − V IJ ∂ x φ I ∂ x φ J Electron ¡tunneling ¡ ¡ δ L = − t cos(3( φ 1 − φ 2 )) h e i ( φ 1 − φ 2 ) i = e 2 π in/ 3 Large ¡t ¡ à ¡ ¡Gaps ¡modes ¡ ¡ ¡

Double ¡layer ¡(1/3 ¡+ ¡1/3) ¡ Barkeshli, ¡Qi ¡PRX ¡2012 ¡ φ R 1 φ R 2 φ L 1 φ L 2 h e i ( φ R 1 − φ L 1 ) i 6 = 0 cos(3( φ R 1 − φ L 1 )) + cos(3( φ R 2 − φ L 2 )) h e i ( φ R 2 − φ L 2 ) i 6 = 0 h e i ( φ R 1 − φ L 2 ) i 6 = 0 cos(3( φ R 1 − φ L 2 )) + cos(3( φ R 2 − φ L 1 )) h e i ( φ R 2 − φ L 1 ) i 6 = 0 Topologically ¡Dis=nct ¡Edge ¡Phases! ¡

Domain ¡Walls ¡Between ¡Different ¡Edge ¡Phases ¡ × � × � × � × � × � × � × � × � “Twisted” ¡tunneling ¡induces ¡ branch ¡cut ¡between ¡layers ¡

Branch cut effectively changes topology • In ¡bilayers, ¡pair ¡of ¡defects ¡(branch ¡points) ¡creates ¡“worm ¡hole” ¡ 𝐶 ¡ 𝐵 ¡ 𝐵 ¡ 𝐶 ¡ flip the top layer 𝑧 ¡ ¡ 𝑦 ¡ Barkeshli, ¡Wen ¡(2010) ¡ Barkeshli, ¡Qi ¡(2012) ¡

• Every ¡pair ¡of ¡defects ¡add ¡genus ¡1 ¡to ¡the ¡manifold ¡ ¡genus ¡ 𝑕 = 𝑜 −1 ¡surface ¡ 2 𝑜 ¡defects ¡on ¡a ¡sphere ¡ Defects ¡called ¡genons-­‑-­‑-­‑genus ¡generators ¡ ¡ Barkeshli, ¡Wen ¡(2010) ¡ Barkeshli, ¡Qi ¡(2012) ¡

Quantum dimension of genons • v ¡= ¡1/m ¡Laughlin ¡FQH ¡state ¡in ¡each ¡layer ¡ à ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ground ¡state ¡degeneracy ¡ m g , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡each ¡pair ¡of ¡defects ¡add ¡ m ¡degrees ¡of ¡freedom ¡ à ¡Each ¡defect ¡has ¡quantum ¡dimension ¡ ¡ m m states ¡

W ( a ) = e i ( φ R 1 − φ L 1 )( A 1 ) e − i ( φ R 1 − φ L 1 )( A 2 ) W ( b ) = e i ( φ R 1 − φ L 2 )( B 1 ) e − i ( φ R 1 − φ L 2 )( B 2 ) W ( a ) W ( b ) = W ( b ) W ( a ) e 2 π i/ 3 n ¡pairs ¡of ¡genons ¡on ¡sphere ¡ à ¡n ¡-­‑ ¡1 ¡copies ¡of ¡loop ¡algebra ¡ à 3 n ¡-­‑ ¡1 ¡states ¡ à Quantum ¡dimension ¡= ¡ ¡ √ 3

Localized ¡“parafermion” ¡zero ¡modes ¡ • Twist ¡defects/genons ¡lead ¡to ¡localized ¡zero ¡energy ¡states ¡ for ¡some ¡quasipar@cles ¡ • Genons ¡in ¡bilayers ¡can ¡absorb/emit ¡frac@onal ¡excitons ¡: ¡ frac@onal ¡exciton ¡ (q,-­‑q) ¡ × � × � Pair-­‑create ¡ in ¡one ¡layer ¡

Parafermion ¡zero ¡mode ¡operators ¡ • Zero ¡mode ¡= ¡quasipar@cle ¡exciton ¡operators ¡at ¡domain ¡walls: ¡ α i = e i ( φ R 1 − φ R 2 )( x i ) α j α k = α k α j e 2 π isgn ( j − k ) / 3 Z 3 ¡“parafermion” ¡algebra ¡ Beyond ¡Majorana ¡zero ¡modes ¡ [Read-­‑Green ¡2000 ¡ Kitaev ¡2001] ¡ Exponen=ally ¡ ¡ localized ¡ ¡ to ¡defect. ¡

Projective braiding statistics of genons • Braiding ¡two ¡genons ¡= ¡“Dehn ¡twist” ¡on ¡the ¡high ¡genus ¡surface ¡ Overall ¡phase ¡not ¡topological ¡ à ¡ Projec=ve ¡non-­‑Abelian ¡sta=s=cs ¡ braiding ¡

Cooper ¡pair ¡tunneling ¡in ¡1/3 ¡Laughlin ¡state ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ ~ ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ 1/3 ¡Laughlin ¡ δ L = − t 2( Ψ † eR Ψ † eL + H.c. ) = − t cos(3( φ R + φ L )) h e i ( φ R + φ L ) i = e 2 π in/ 3 Large ¡t ¡ à ¡ ¡Gaps ¡modes ¡ ¡ ¡ Topologically ¡dis@nct ¡way ¡to ¡gap ¡out ¡modes ¡(cf. ¡normal ¡tunneling) ¡

Normal ¡– ¡Superconduc@ng ¡Domain ¡Walls ¡ Lindner, ¡Berg, ¡Refael, ¡Stern ¡2012; ¡ Clarke, ¡Alicea, ¡Shtengel ¡2012; ¡ ¡ Cheng ¡2012; ¡Vaezi ¡2012 ¡ IQSH: ¡Fu-­‑Kane ¡2008 ¡ √ m ¡odd ¡ Quantum ¡Dimension ¡ 2 √ m of ¡domain ¡walls: ¡ m ¡even ¡ p m/ 2 Parafermion ¡ ¡ zero ¡modes ¡

General ¡theory ¡of ¡topologically ¡dis@nct ¡gapped ¡edges? ¡ ¡ Domain ¡walls ¡and ¡junc@ons? ¡ Previous ¡Work: ¡ 1. Beigi, ¡Shor, ¡Whalen ¡(2011) ¡ Gapped ¡edges ¡of ¡Kitaev ¡quantum ¡ ¡ ¡ double ¡models ¡ ¡ 2. Kitaev, ¡Kong ¡(2012) ¡ Gapped ¡edges ¡of ¡Levin-­‑Wen ¡models ¡ ¡ Conjectured ¡classifica@on ¡of ¡“topological ¡ ¡ 3. Kapus@n-­‑Saulina ¡(2011) ¡ boundary ¡condi@ons” ¡in ¡Abelian ¡CS ¡theory ¡ ¡ 4. Fuchs, ¡Schweigert, ¡Valen@no ¡(2013) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mathema@cal ¡theory ¡of ¡ ¡ “topological ¡boundary ¡condi@ons” ¡for ¡general ¡Modular ¡Tensor ¡Category ¡ ¡ 5. M. ¡Levin ¡(2013) ¡ General ¡condi@on ¡for ¡possibility ¡of ¡a ¡gapped ¡edge ¡ in ¡Abelian ¡states ¡

Classifica=on ¡of ¡general ¡defects ¡ ¡ Use ¡folding ¡process ¡to ¡map ¡all ¡defects ¡to ¡boundary ¡defects: ¡ ¡ Classify ¡different ¡kinds ¡of ¡ ¡ boundaries ¡ à ¡Line ¡defects ¡ ¡ ¡ Point ¡defects ¡= ¡domain ¡walls ¡ ¡ between ¡different ¡boundary ¡ ¡ line ¡defects ¡ (Barkeshli, ¡Jian, ¡Qi ¡2013) ¡

Effec=ve ¡theory ¡of ¡Abelian ¡states ¡ L bulk = 1 K ¡= ¡N ¡x ¡N ¡symmetric ¡ ¡ 4 π K IJ a I ∂ a J ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡integer ¡matrix ¡ K ¡even ¡(odd) ¡ à ¡Bosonic ¡(fermionic) ¡system ¡ Dis@nct ¡quasipar@cles ¡labelled ¡by ¡ l ∈ Z N l ∼ l + K Z N θ l = π l T K − 1 l Self ¡Sta@s@cs ¡ θ ll 0 = 2 π l T K � 1 l 0 Mutual ¡Sta@s@cs ¡

General ¡edge ¡theory ¡ L edge = 1 4 π K IJ ∂ x φ I ∂ t φ J − V IJ ∂ x φ I ∂ x φ J = ¡No. ¡of ¡posi@ve ¡(nega@ve) ¡eigenvalues ¡of ¡K ¡ N L ( N R ) Edge ¡can ¡only ¡be ¡fully ¡gapped ¡if ¡ ¡ N L = N R Local ¡tunneling ¡terms: ¡ X t I cos( Λ T δ L = − I K φ ) I Λ I ∈ Z N Null ¡vector ¡condi@on ¡ (Haldane ¡1995): ¡ If Λ T I K Λ J = 0 , I, J = 1 , · · · , n à ¡2n ¡modes ¡are ¡gapped ¡ ¡