Extreme Value Analysis Amir AghaKouchak Email: amir.a@uci.edu - PowerPoint PPT Presentation

Stationary ¡and ¡Non-­‐‒Stationary ¡ Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Amir ¡AghaKouchak ¡ ¡ Email: ¡amir.a@uci.edu ¡ Web: ¡ ¡ ¡http://amir.eng.uci.edu/ ¡ ¡

Nonstationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Extreme ¡Value ¡Analysis: ¡Key ¡issues ¡ ¡ ¡ There ¡are ¡very ¡few ¡observations ¡in ¡the ¡tail ¡of ¡the ¡distribution; ¡ ¡ Estimates ¡are ¡often ¡required ¡beyond ¡the ¡largest ¡observed ¡data ¡ value; ¡ ¡ Standard ¡density ¡estimation ¡techniques ¡fit ¡well ¡where ¡the ¡data ¡ have ¡greatest ¡density, ¡but ¡can ¡be ¡severely ¡biased ¡in ¡estimating ¡ tail ¡probabilities. ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡ VS. ¡ Generalized ¡Pareto ¡(GP) ¡Distribution ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Annual ¡Maxima ¡ ¡or ¡Annual ¡Block ¡Maxima ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Annual ¡Maxima ¡ ¡or ¡Annual ¡Block ¡Maxima ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Partial ¡Duration ¡Events ¡(or ¡Series) ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Partial ¡Duration ¡Events ¡(or ¡Series) ¡ Generalized ¡Pareto ¡(GP) ¡Distribution ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ independent ¡and ¡identically ¡distributed ¡(i.i.d.) ¡ ¡ A ¡ sequence ¡ or ¡ other ¡ collection ¡ of ¡ random ¡ variables ¡ is ¡ independent ¡ and ¡ identically ¡ distributed ¡ (i.i.d.) ¡ if ¡ each ¡ random ¡ variable ¡ has ¡ the ¡ same ¡ probability ¡distribution ¡as ¡the ¡others ¡and ¡all ¡are ¡mutually ¡independent. ¡ ¡ ¡ An ¡ independent ¡ and ¡ identically ¡ distributed ¡ (i.i.d.) ¡ random ¡ variables ¡ (r.v.), ¡ defined ¡as ¡X i , ¡i ¡= ¡1, ¡2, ¡ � , ¡n ¡has ¡the ¡following ¡properties: ¡ ¡ ¡ � Each ¡X i ¡is ¡drawn ¡form ¡the ¡same ¡density ¡(f(x)) ¡. ¡ � X n ¡is ¡independent ¡of ¡X n-­‑1 , ¡X n-­‑2 ; ¡ � , ¡X 1 . ¡ � Each ¡X i ¡is ¡uncorrelated ¡from ¡each ¡X j ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ � ¡= ¡location ¡parameter ¡ �� = ¡scale ¡parameter ¡ ¡ �������������������� ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ � ¡= ¡location ¡parameter ¡ �� = ¡scale ¡parameter ¡ ¡ �������������������� ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡ �� >0 ¡ ¡giving ¡the ¡heavy ¡tailed ¡Frecht ¡case ¡ �� : ¡shape ¡parameter ¡determining ¡ �� =0 ¡ ¡giving ¡the ¡light-­‑tailed ¡Gumbel ¡case ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡tail ¡behavior. ¡ �� <0 ¡ ¡giving ¡the ¡short-­‑tailed ¡negative ¡Weibul ¡case ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ � ¡= ¡location ¡parameter ¡ �� = ¡scale ¡parameter ¡ ¡ �������������������� ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡ Gumbel ¡ Fréchet ¡ Weibull ¡ �� >0 ¡ ¡giving ¡the ¡heavy ¡tailed ¡Frecht ¡case ¡ �� : ¡shape ¡parameter ¡determining ¡ �� =0 ¡ ¡giving ¡the ¡light-­‑tailed ¡Gumbel ¡case ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡tail ¡behavior. ¡ �� <0 ¡ ¡giving ¡the ¡short-­‑tailed ¡negative ¡Weibul ¡case ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡Distribution ¡ ¡ Quantiles ¡and ¡Return ¡Levels ¡ x p ¡is ¡the ¡return ¡level ¡associated ¡with ¡the ¡return ¡period ¡ 1/p ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assessing ¡the ¡GEV ¡fit ¡against ¡observations ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Assume ¡that ¡the ¡below ¡graph ¡is ¡part ¡of ¡a ¡long-­‑term ¡time ¡series ¡ Partial ¡Duration ¡Events ¡(or ¡Series) ¡ Generalized ¡Pareto ¡(GP) ¡Distribution ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Pareto ¡Distribution ¡(GPD) ¡ GPD ¡has ¡just ¡two ¡parameters, ¡since ¡the ¡model ¡conditions ¡on ¡the ¡exceedance ¡ above ¡a ¡certain ¡threshold. ¡ ¡ The ¡estimate ¡ ����������������������������������������� GEV ��������������������� distributions ¡are ¡typically ¡different. ¡ ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Pareto ¡Distribution ¡(GPD) ¡ u: ¡Threshold ¡ GPD ¡has ¡just ¡two ¡parameters, ¡since ¡the ¡model ¡conditions ¡on ¡the ¡exceedance ¡ above ¡a ¡certain ¡threshold. ¡ ¡ The ¡estimate ¡ ����������������������������������������� GEV ��������������������� distributions ¡are ¡typically ¡different. ¡ ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Pareto ¡Distribution ¡(GPD) ¡ u: ¡Threshold ¡ ¡ ¡ ¡ The ¡estimate ¡ ����������������������������������������� GEV ��������������������� distributions ¡are ¡typically ¡different. ¡ ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Generalized ¡Pareto ¡(GP) ¡Distribution ¡ ¡ Quantiles ¡and ¡Return ¡Levels ¡ If ¡ on ¡ average ¡ n u ¡ maxima ¡ over ¡ the ¡ threshold ¡ are ¡ observed ¡ annually, ¡ the ¡ 1/(T*n u ) ¡ quantile ¡ returns ¡ once ¡ every ¡ T ¡ years ¡ on ¡ average. ¡ x p ¡is ¡the ¡return ¡level ¡associated ¡with ¡the ¡return ¡period ¡ 1/p ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ STATIONARITY ¡ VS. ¡ NONSTATIONARY ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ STATIONARITY ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ NONSTATIONARY ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ NONSTATIONARY ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ Time-­‑Dependent ¡ Parameters ¡ NONSTATIONARY ¡

Extreme ¡Value ¡Analysis ¡ STATIONARITY ¡ � ¡= ¡cte ¡ �� = ¡cte ¡ ¡ ���� cte ¡ NONSTATIONARY ¡ � ¡(function ¡of ¡time ¡t) ¡ ���������������������� ¡ ���� function ¡of ¡time ¡t) ¡

Nonstationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡ The ¡package ¡includes ¡the ¡following ¡files ¡and ¡folders: ¡ ¡ http://amir.eng.uci.edu/neva.php ¡ 1-­‑Folder ¡ NEVA_GEV : ¡Includes ¡source ¡codes ¡for ¡stationary ¡and ¡nonstationary ¡Generalized ¡ Extreme ¡Value ¡(GEV) ¡distribution ¡for ¡analysis ¡of ¡annual ¡maxima ¡(block ¡maxima). ¡ 2-­‑Folder ¡ NEVA_GPD : ¡Includes ¡source ¡codes ¡for ¡stationary ¡and ¡nonstationary ¡Generalized ¡ Pareto ¡Distribution ¡(GPD) ¡for ¡analysis ¡of ¡extremes ¡above ¡a ¡certain ¡threshold ¡(i.e., ¡peak-­‑over-­‑ threshold ¡(POT) ¡approach). ¡ 3-­‑File ¡ Disclaimer.txt : ¡ ¡By ¡using ¡NEVA ¡users ¡agree ¡with ¡this ¡disclaimer. ¡Please ¡read ¡the ¡ disclaimer ¡before ¡using ¡NEVA. ¡ 4-­‑ NEVA_ReferencePublication.pdf : ¡ ¡Reference ¡publication ¡of ¡NEVA. ¡ ¡ 5-­‑ NEVA_User_Guide.pdf : ¡ ¡This ¡document ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡ � Run ¡NEVA ¡GEV ¡ ¡ Follow ¡the ¡below ¡steps ¡to ¡run ¡ NEVA: ¡ ¡ Open ¡NEVA.m ¡in ¡MATLAB ¡ ¡ Note ¡ that ¡ both ¡ NEVA_GEV, ¡ and ¡ NEVA_GPD ¡include ¡NEVA.m. ¡For ¡ annual ¡ maxima ¡ analysis, ¡ select ¡ the ¡one ¡in ¡NEVA_GEV ¡folder. ¡For ¡ POT ¡ analysis, ¡ open ¡ the ¡ one ¡ in ¡ NEVA_GPD ¡ folder ¡ (see ¡ Section ¡ 3). ¡

Non-­‑Stationary ¡Extreme ¡Value ¡Analysis ¡(NEVA) ¡Toolbox ¡ Specify ¡the ¡path ¡to ¡the ¡package ¡in ¡NEVA.m ¡ For ¡example: ¡ dirr= ¡'C:\Users\Amir\Google ¡Drive\AMIR\MySoftware\NEVA_GEV'; ¡ ¡ ¡ Navigate ¡to ¡ReadData ¡folder ¡in ¡NEVA_GEV ¡ ¡ Configure ¡NEVA ¡GEV ¡ ¡ You ¡can ¡configure ¡NEVA ¡GEV ¡by ¡editing ¡the ¡files ¡in ¡ReadData ¡folder. ¡ ¡There ¡four ¡files ¡ that ¡can ¡be ¡edited: ¡GEV_sta_nonsta.txt, ¡names.txt, ¡si1.txt, ¡prior.txt ¡ ¡ ¡ GEV_sta_nonsta.txt: ¡ ¡ ¡ ¡includes ¡model ¡parameters ¡ names.txt: ¡ ¡ includes ¡figure ¡titles ¡and ¡axes ¡labels ¡(they ¡appear ¡in ¡the ¡output ¡figures) ¡ prior.txt: ¡ ¡ include ¡prior ¡parameters ¡(ranges ¡of ¡model ¡parameters ¡used ¡for ¡sampling) ¡ si1.txt: ¡ ¡ includes ¡input ¡data ¡ ¡