Decomposing labelled proof theory for intuitionistic modal logic - PowerPoint PPT Presentation

Decomposing labelled proof theory for intuitionistic modal logic Sonia Marin , Marianela Morales, and Lutz Straßburger IT-University of Copenhagen July 8, 2018 This presentation was made possible by grant NPRP 097-988-1-178 , from the Qatar National Research Fund (a member of the Qatar Foundation). The statements made herein are solely the responsibility of the author. 1 / 6

Intuitionistic modal logics Formulas: A ::= a | A ∧ A | A ∨ A | ⊥ | A ⊃ A Logic IK : Intuitionistic Propositional Logic 1 / 6

Intuitionistic modal logics Formulas: A ::= a | A ∧ A | A ∨ A | ⊥ | A ⊃ A | ◻ A | ◇ A Logic IK : Intuitionistic Propositional Logic k1: ◻ ( A ⊃ B ) ⊃ ( ◻ A ⊃ ◻ B ) k2: ◻ ( A ⊃ B ) ⊃ ( ◇ A ⊃ ◇ B ) k3: ◇ ( A ∨ B ) ⊃ ( ◇ A ∨ ◇ B ) A + + necessitation: − − − k4: ( ◇ A ⊃ ◻ B ) ⊃ ◻ ( A ⊃ B ) ◻ A k5: ◇ ⊥ ⊃ ⊥ (Plotkin and Sterling 1986) 1 / 6

Intuitionistic modal logics Formulas: A ::= a | A ∧ A | A ∨ A | ⊥ | A ⊃ A | ◻ A | ◇ A Logic IK : Intuitionistic Propositional Logic k1: ◻ ( A ⊃ B ) ⊃ ( ◻ A ⊃ ◻ B ) k2: ◻ ( A ⊃ B ) ⊃ ( ◇ A ⊃ ◇ B ) k3: ◇ ( A ∨ B ) ⊃ ( ◇ A ∨ ◇ B ) A + + necessitation: − − − k4: ( ◇ A ⊃ ◻ B ) ⊃ ◻ ( A ⊃ B ) ◻ A k5: ◇ ⊥ ⊃ ⊥ (Plotkin and Sterling 1986) Kripke semantics: (Bi)relational structures ( W , R , ≤ ) (Fischer-Servi 1984) ◮ a non-empty set W of worlds ; ◮ a binary relation R ⊆ W × W ; ◮ and a preorder ≤ on W , such that: R R u ′ v ′ u ′ v ′ ( F 1 ) ( F 2 ) ≤ ≤ ≤ ≤ R R u v u v 1 / 6

Intuitionistic modal logics 2 / 6

Intuitionistic modal logics Sequent system: Γ ⇒ A Γ , A ⇒ B k ◻ − k ◇ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ Γ ⇒ ◻ A ◻ Γ , ◇ A ⇒ ◇ B 2 / 6

Intuitionistic modal logics Sequent system: Γ ⇒ A Γ , A ⇒ B k ◻ − k ◇ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ Γ ⇒ ◻ A ◻ Γ , ◇ A ⇒ ◇ B Problem? k3, k4 and k5 are not derivable. ◮ not a problem for modal type theory... 2 / 6

Intuitionistic modal logics Sequent system: Γ ⇒ A Γ , A ⇒ B k ◻ − k ◇ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ Γ ⇒ ◻ A ◻ Γ , ◇ A ⇒ ◇ B Problem? k3, k4 and k5 are not derivable. ◮ not a problem for modal type theory... Labelled sequent system: (Simpson 1994) xRy , Γ , x : ◻ A , y : A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ y : A − y is fresh ◻ L − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ R − − − − − − − − − − − − − − − − − xRy , Γ , x : ◻ A ⇒ z : B Γ ⇒ x : ◻ A xRy , Γ , y : A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ y : A ◇ L − − y is fresh ◇ R − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ , x : ◇ A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ x : ◇ A 2 / 6

Intuitionistic modal logics Sequent system: Γ ⇒ A Γ , A ⇒ B k ◻ − k ◇ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ Γ ⇒ ◻ A ◻ Γ , ◇ A ⇒ ◇ B Problem? k3, k4 and k5 are not derivable. ◮ not a problem for modal type theory... Labelled sequent system: (Simpson 1994) xRy , Γ , x : ◻ A , y : A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ y : A − y is fresh ◻ L − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ R − − − − − − − − − − − − − − − − − xRy , Γ , x : ◻ A ⇒ z : B Γ ⇒ x : ◻ A xRy , Γ , y : A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ y : A ◇ L − − y is fresh ◇ R − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ , x : ◇ A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ x : ◇ A 2 / 6

Extensions - Semantics Scott-Lemmon axioms: for h , i , j , k natural numbers, g hijk : ◇ h ◻ i A ⊃ ◻ j ◇ k A 3 / 6

� � � � � Extensions - Semantics Scott-Lemmon axioms: for h , i , j , k natural numbers, g hijk : ◇ h ◻ i A ⊃ ◻ j ◇ k A Theorem: (Plotkin and Sterling 1986) Intuitionistic modal frame ( W , R , ≤ ) validates g hijk iff the frame satisfies: if wR h u and wR j v then there exists u ′ s.t. u ≤ u ′ and there exist x s.t. u ′ R i x and vR k x u ′ ≤ R i u R h w x R j R k v 3 / 6

Extensions - Labelled system 4 / 6

� � Extensions - Labelled system For the special case: p hj : ( ◇ h ◻ A ⊃ ◻ j A ) ∧ ( ◇ j A ⊃ ◻ h ◇ A ) Corresponding rule: (Simpson 1994) wR h v , wR j u , vRu , Γ ⇒ z : C ⊠ p hj − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − wR h v , wR j u , Γ ⇒ z : C Theorem: labIK + ⊠ p hj sound and complete for IK + p hj and for frames satisfying u R h w R R j � v 4 / 6

Extensions - Going further 5 / 6

Extensions - Going further For the general case: g hijk : ◇ h ◻ i A ⊃ ◻ j ◇ k A 5 / 6

Extensions - Going further For the general case: g hijk : ◇ h ◻ i A ⊃ ◻ j ◇ k A Idea: Reintroduce the ≤ relation into the syntax! 5 / 6

Extensions - Going further For the general case: g hijk : ◇ h ◻ i A ⊃ ◻ j ◇ k A Idea: Reintroduce the ≤ relation into the syntax! Labelled sequent system: xRy , Γ , x : ◻ A , y : A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ y : A ◻ L − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ R − − − − − − − − − − − − − − − − − − y is fresh xRy , Γ , x : ◻ A ⇒ z : B Γ ⇒ x : ◻ A xRy , Γ , y : A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ y : A − y is fresh ◇ L − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◇ R − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ , x : ◇ A ⇒ z : B xRy , Γ ⇒ x : ◇ A 5 / 6

Extensions - Going further For the general case: g hijk : ◇ h ◻ i A ⊃ ◻ j ◇ k A Idea: Reintroduce the ≤ relation into the syntax! Labelled sequent system: x ≤ y , yRz , Γ , x : ◻ A , z : A ⇒ ∆ x ≤ y , yRz , Γ ⇒ z : A , ∆ ◻ L − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ R − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − y , z is fresh x ≤ y , yRz , Γ , x : ◻ A ⇒ ∆ Γ ⇒ x : ◻ A , ∆ xRy , Γ , y : A ⇒ ∆ xRy , Γ ⇒ y : A , ∆ − y is fresh ◇ L − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◇ R − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ , x : ◇ A ⇒ ∆ xRy , Γ ⇒ x : ◇ A , ∆ 5 / 6

Extensions - Going further For the general case: g hijk : ◇ h ◻ i A ⊃ ◻ j ◇ k A Idea: Reintroduce the ≤ relation into the syntax! Labelled sequent system: x ≤ y , yRz , Γ , x : ◻ A , z : A ⇒ ∆ x ≤ y , yRz , Γ ⇒ z : A , ∆ ◻ L − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◻ R − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − y , z is fresh x ≤ y , yRz , Γ , x : ◻ A ⇒ ∆ Γ ⇒ x : ◻ A , ∆ xRy , Γ , y : A ⇒ ∆ xRy , Γ ⇒ y : A , ∆ − y is fresh ◇ L − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ◇ R − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ , x : ◇ A ⇒ ∆ xRy , Γ ⇒ x : ◇ A , ∆ xRy , y ≤ z , x ≤ u , uRz , Γ ⇒ ∆ xRy , x ≤ z , y ≤ u , zRu , Γ ⇒ ∆ F 1 − F 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − u fresh − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − u fresh xRy , y ≤ z , Γ ⇒ ∆ xRy , x ≤ z , Γ ⇒ ∆ R R u ′ v ′ u ′ v ′ ≤ ≤ ≤ ≤ R R u v u v 5 / 6

Extensions - Contributions For the general case: g hijk : ◇ h ◻ i A ⊃ ◻ j ◇ k A Idea: Reintroduce the ≤ relation into the syntax! 6 / 6