CS ¡10: ¡ Problem ¡solving ¡via ¡Object ¡Oriented ¡ Programming ¡ Winter ¡2017 ¡ ¡ Tim ¡Pierson ¡ 260 ¡(255) ¡Sudikoff ¡ Day ¡17 ¡– ¡Shortest ¡Path ¡
Agenda ¡ 1. Shortest-‑path ¡simulaLon ¡ 2. Dijkstra’s ¡algorithm ¡ 3. A* ¡search ¡ 4. Implicit ¡graphs ¡ 2 ¡
Previously ¡we ¡looked ¡at ¡finding ¡the ¡ minimum ¡number ¡of ¡steps ¡between ¡nodes ¡ Breadth ¡First ¡Search ¡ B ¡ F ¡ H ¡ BFS ¡is ¡a ¡good ¡choice ¡ ¡ Can ¡find ¡shortest ¡number ¡ C ¡ of ¡steps ¡between ¡source ¡ A ¡ and ¡any ¡other ¡node ¡ ¡ I ¡ D ¡ G ¡ Could ¡use ¡BFS ¡on ¡a ¡map ¡to ¡ Start ¡ plan ¡driving ¡routes ¡ between ¡ciLes ¡ E ¡ Goal ¡ 3 ¡
Previously ¡we ¡looked ¡at ¡finding ¡the ¡ minimum ¡number ¡of ¡steps ¡between ¡nodes ¡ Breadth ¡First ¡Search ¡ B ¡ F ¡ H ¡ BFS ¡is ¡a ¡good ¡choice ¡ 2 ¡ 3 ¡ ¡ 6 8 Can ¡find ¡shortest ¡number ¡ 1 ¡ C ¡ of ¡steps ¡between ¡source ¡ 4 A ¡ and ¡any ¡other ¡node ¡ 7 9 ¡ I ¡ D ¡ G ¡ Could ¡use ¡BFS ¡on ¡a ¡map ¡to ¡ 5 Start ¡ plan ¡driving ¡routes ¡ between ¡ciLes ¡ E ¡ ¡ Search ¡adjacent ¡ciLes ¡first ¡ Goal ¡ 4 ¡
BFS ¡considers ¡the ¡number ¡of ¡steps, ¡but ¡not ¡ how ¡long ¡each ¡step ¡could ¡take ¡ Fastest ¡driving ¡route ¡to ¡Sea3le ¡from ¡Hanover ¡ 50 ¡hours? ¡ Could ¡try ¡to ¡take ¡the ¡ Hanover ¡ most ¡direct ¡route ¡ Sea_le ¡ 29 ¡hours ¡ • Take ¡local ¡roads ¡ • Try ¡to ¡keep ¡on ¡a ¡line ¡ 4 ¡hours ¡ 12 ¡hours ¡ between ¡Start ¡and ¡ Total ¡<me: ¡45 ¡hours ¡ ¡ Goal ¡ ¡ Could ¡try ¡to ¡take ¡major ¡ highways: ¡ • New ¡York ¡ • Chicago ¡ • Sea_le ¡ 5 ¡ Drive ¡Lme ¡esLmates ¡from ¡travelmath.com ¡ ¡
Now ¡we ¡consider ¡the ¡idea ¡that ¡not ¡all ¡steps ¡ are ¡the ¡same ¡ Fastest ¡driving ¡route ¡to ¡Sea3le ¡from ¡Hanover ¡ BFS ¡would ¡choose ¡the ¡ 50 ¡hours? ¡ direct ¡route ¡(one ¡leg) ¡ ¡ 29 ¡hours ¡ Highway ¡travel ¡makes ¡ larger ¡number ¡of ¡steps ¡ 4 ¡hours ¡ 12 ¡hours ¡ more ¡a_racLve ¡ Total ¡<me: ¡45 ¡hours ¡ ¡ ¡ Note: ¡our ¡metric ¡now ¡is ¡ driving ¡Lme, ¡however ¡total ¡ distance ¡is ¡longer! ¡ ¡ Need ¡a ¡way ¡to ¡account ¡for ¡ the ¡idea ¡that ¡each ¡step ¡ might ¡have ¡different ¡ “weight” ¡(drive ¡Lme ¡here) ¡ 6 ¡ Drive ¡Lme ¡esLmates ¡from ¡travelmath.com ¡ ¡
With ¡no ¡negaLve ¡edge ¡weights, ¡we ¡can ¡use ¡ Dijkstra’s ¡algorithm ¡to ¡find ¡short ¡paths ¡ Goal: ¡find ¡shortest ¡path ¡to ¡all ¡nodes ¡considering ¡edge ¡weights ¡ Start ¡at ¡node ¡ s (single ¡source) ¡ ¡ Find ¡path ¡with ¡smallest ¡sum ¡of ¡ weights ¡to ¡all ¡other ¡nodes ¡ ¡ Store ¡shortest ¡path ¡weights ¡in ¡ v.dist ¡instance ¡variable ¡ ¡ Keep ¡back ¡pointer ¡to ¡previous ¡ node ¡in ¡ v.pred ¡ Updated ¡ v.dist and v.pred ¡if ¡ find ¡shorter ¡path ¡later ¡found ¡ 7 ¡
To ¡get ¡intuiLon, ¡imagine ¡sending ¡runners ¡ from ¡the ¡start ¡to ¡all ¡adjacent ¡nodes ¡ Time ¡0 ¡ Simula<on ¡ s.dist = 0 ¡ Runners ¡take ¡edge ¡weight ¡ minutes ¡to ¡arrive ¡at ¡adjacent ¡ nodes ¡ ¡ s.dist ¡= ¡0 ¡ ¡ When ¡runners ¡arrive ¡at ¡node: ¡ • Record ¡arrival ¡Lme ¡in ¡ v.dist • Record ¡prior ¡node ¡in ¡ v.pred Runners ¡immediately ¡leave ¡for ¡ an ¡adjacent ¡node ¡ ¡ Here ¡runners ¡leave ¡for ¡ y ¡and ¡ t ¡ 8 ¡
Imagine ¡we ¡send ¡runners ¡from ¡the ¡start ¡to ¡ all ¡adjacent ¡nodes ¡ Time ¡4 ¡ Runner ¡arrives ¡at ¡ y ¡in ¡4 ¡ minutes ¡ • Record ¡ y.dist = 4 • Record ¡ y.pred = s s.dist ¡= ¡0 ¡ ¡ Runners ¡leave ¡ y ¡for ¡adjacent ¡ nodes ¡ t, x, and ¡ z ¡ Runner ¡from ¡ s ¡has ¡not ¡ reached ¡ t ¡yet ¡ y.dist = 4 y.pred = s 9 ¡
Imagine ¡we ¡send ¡runners ¡from ¡the ¡start ¡to ¡ all ¡adjacent ¡nodes ¡ Time ¡5 ¡ t.dist = 5 t.pred = y Runner ¡from ¡ y ¡arrives ¡at ¡ t at ¡Lme ¡5 ¡ • t.dist = 5 s.dist ¡= ¡0 ¡ • t.pred = y ¡ Runners ¡from ¡ s sLll ¡hasn’t ¡ made ¡it ¡to ¡ t ¡ Runners ¡leave ¡ t ¡for ¡ adjacent ¡nodes ¡ x ¡and ¡ y y.dist = 4 ¡ y.pred = s 10 ¡
Imagine ¡we ¡send ¡runners ¡from ¡the ¡start ¡to ¡ all ¡adjacent ¡nodes ¡ Time ¡6 ¡ t.dist = 5 t.pred = y Runner ¡from ¡ s ¡arrives ¡at ¡ t ¡at ¡ Lme ¡6 ¡ ¡ Runner ¡from ¡ y ¡has ¡already ¡ s.dist ¡= ¡0 ¡ arrived, ¡so ¡best ¡route ¡is ¡from ¡ y , ¡ not ¡direct ¡from ¡ s ¡ Do ¡not ¡update ¡ t.dist ¡and ¡ t.pred NOTE: ¡BFS ¡would ¡have ¡chosen ¡ the ¡direct ¡route ¡to t y.dist = 4 y.pred = s ¡ 11 ¡
Imagine ¡we ¡send ¡runners ¡from ¡the ¡start ¡to ¡ all ¡adjacent ¡nodes ¡ Time ¡7 ¡ t.dist = 5 t.pred = y Runner ¡from ¡ y ¡arrives ¡at z at ¡ Lme ¡7 ¡ s.dist ¡= ¡0 ¡ ¡ Record ¡ z.dist = 7 and ¡ z.pred = y Runners ¡leave ¡ z ¡for ¡ s and x ¡ y.dist = 4 z.dist = 7 y.pred = s z.pred = y 12 ¡
Imagine ¡we ¡send ¡runners ¡from ¡the ¡start ¡to ¡ all ¡adjacent ¡nodes ¡ Time ¡8 ¡ t.dist = 5 x.dist = 8 Runner ¡from t arrives ¡at ¡ x at ¡ t.pred = y x.pred = t Lme ¡8 ¡ ¡ x.dist = 8, x.pred = t ¡ s.dist ¡= ¡0 ¡ All ¡nodes ¡explored ¡ ¡ Now ¡have ¡shortest ¡path ¡from ¡ s ¡to ¡all ¡other ¡nodes ¡ ¡ Shaded ¡lines ¡indicate ¡best ¡ path ¡to ¡each ¡node ¡ y.dist = 4 z.dist = 7 y.pred = s z.pred = y ¡ Path ¡forms ¡a ¡tree ¡on ¡graph ¡ 13 ¡ ¡
Agenda ¡ 1. Shortest-‑path ¡simulaLon ¡ 2. Dijkstra’s ¡algorithm ¡ 3. A* ¡search ¡ 4. Implicit ¡graphs ¡ 14 ¡
Dijkstra’s ¡algorithms ¡works ¡similarly ¡but ¡ doesn’t ¡rely ¡on ¡waiLng ¡for ¡runners ¡ Dijkstra’s ¡algorithm ¡ Overview ¡ Start ¡at ¡ s ¡ Process ¡all ¡out ¡edges ¡at ¡the ¡ same ¡Lme ¡ ¡ Compare ¡distance ¡to ¡adjacent ¡ nodes ¡with ¡best ¡so ¡far ¡ ¡ If ¡current ¡path ¡< ¡best, ¡update ¡ best ¡distance ¡and ¡predecessor ¡ node ¡ ¡ Example: ¡one ¡hop ¡from s set t.dist = 6, t.pred = s ¡ 15 ¡
Dijkstra’s ¡algorithms ¡works ¡similarly ¡but ¡ doesn’t ¡rely ¡on ¡waiLng ¡for ¡runners ¡ Dijkstra’s ¡algorithm ¡ Overview ¡ Start ¡at ¡ s ¡ Process ¡all ¡out ¡edges ¡at ¡the ¡ same ¡Lme ¡ ¡ Compare ¡distance ¡to ¡adjacent ¡ nodes ¡with ¡best ¡so ¡far ¡ ¡ If ¡current ¡path ¡< ¡best, ¡update ¡ best ¡distance ¡and ¡predecessor ¡ node ¡ ¡ Example: ¡one ¡hop ¡from s set t.dist = 6, t.pred = s , ¡then ¡ update ¡ t.dist = 5, t.pred = y on ¡second ¡hop ¡ 16 ¡ ¡
Dijkstra ¡uses ¡a ¡Min ¡Priority ¡Queue ¡with ¡ dist ¡values ¡as ¡keys ¡to ¡get ¡closest ¡vertex ¡ Dijkstra’s ¡algorithm ¡star<ng ¡from ¡s ¡ Set ¡up ¡Min ¡Priority ¡ void dijkstra(s) { Queue ¡ queue = new PriorityQueue<Vertex>(); ¡ for (each vertex v) { ¡IniLalize ¡ dist ¡and ¡ pred v.dist = infinity; ¡ v.pred = null; Use ¡ dist ¡as ¡key ¡for ¡Min ¡ Priority ¡Queue ¡(iniLally ¡ queue.enqueue(v); infinite) ¡ } IniLalize ¡ s ¡distance ¡ s.dist = 0; While ¡not ¡all ¡nodes ¡ while (!queue.isEmpty()) { have ¡been ¡explored ¡ u = queue.extractMin(); ¡ for (each vertex v adjacent to u) Get ¡closest ¡node ¡based ¡ relax(u, v); on ¡distance ¡(iniLally ¡ s ) ¡ } ¡ } Examine ¡adjacent ¡and ¡ relax ¡ 17 ¡
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