Communication Complexity with Small Advantage Thomas Watson - PowerPoint PPT Presentation

Communication Complexity with Small Advantage Thomas Watson University of Memphis

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) (Bob: y )

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y )

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − −

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − →

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → ← − − − − − − − − −

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − →

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → F ( x , y ) F ( x , y )

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → F ( x , y ) F ( x , y ) Randomized protocols:

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → F ( x , y ) F ( x , y ) Randomized protocols: ◮ Correctness: ∀ ( x , y ) : P [output is F ( x , y )] ≥ 3 / 4

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → F ( x , y ) F ( x , y ) Randomized protocols: ◮ Correctness: ∀ ( x , y ) : P [output is F ( x , y )] ≥ 3 / 4 ◮ Cost: max ( x , y ) , random outcomes (# bits communicated)

Communication complexity F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } (Alice: x ) − − − − − − − − − → (Bob: y ) ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → ← − − − − − − − − − − − − − − − − − − → F ( x , y ) F ( x , y ) Randomized protocols: ◮ Correctness: ∀ ( x , y ) : P [output is F ( x , y )] ≥ 3 / 4 ◮ Cost: max ( x , y ) , random outcomes (# bits communicated) ◮ Complexity: R( F ) = min correct protocols (cost)

Classic results

Classic results R( Inner-Product ) = Θ( n ) R( Set-Intersection ) = Θ( n ) R( Gap-Hamming ) = Θ( n )

Classic results R( Inner-Product ) = Θ( n ) R( Set-Intersection ) = Θ( n ) R( Gap-Hamming ) = Θ( n ) R : success probability ≥ 3 / 4

Classic results R( Inner-Product ) = Θ( n ) R( Set-Intersection ) = Θ( n ) R( Gap-Hamming ) = Θ( n ) R : success probability ≥ 3 / 4 Small advantage: R 1 / 2+ ǫ : success probability ≥ 1 / 2 + ǫ

Classic results — revisited (unless ǫ ≤ 2 − Ω( n ) ) R 1 / 2+ ǫ ( Inner-Product ) = Θ( n ) R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n ) = Θ( ǫ 2 · n ) R 1 / 2+ ǫ ( Gap-Hamming )

Classic results — revisited (unless ǫ ≤ 2 − Ω( n ) ) R 1 / 2+ ǫ ( Inner-Product ) = Θ( n ) R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n ) = Θ( ǫ 2 · n ) R 1 / 2+ ǫ ( Gap-Hamming ) . . . other functions?

Climbing the polynomial hierarchy NP: R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n )

Climbing the polynomial hierarchy NP: R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n ) [Braverman–Moitra STOC’13, G¨ o¨ os–Watson RANDOM’14] (information complexity) (corruption)

Climbing the polynomial hierarchy NP: R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n ) [Braverman–Moitra STOC’13, G¨ o¨ os–Watson RANDOM’14] (information complexity) (corruption) Σ 2 P , Π 2 P:

Climbing the polynomial hierarchy NP: R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n ) [Braverman–Moitra STOC’13, G¨ o¨ os–Watson RANDOM’14] (information complexity) (corruption) Σ 2 P , Π 2 P: R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = Θ( ǫ · n )

Climbing the polynomial hierarchy NP: R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n ) [Braverman–Moitra STOC’13, G¨ o¨ os–Watson RANDOM’14] (information complexity) (corruption) Σ 2 P , Π 2 P: R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = Θ( ǫ · n ) Higher levels? (read-once AC 0 formulas)

Climbing the polynomial hierarchy NP: R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n ) [Braverman–Moitra STOC’13, G¨ o¨ os–Watson RANDOM’14] (information complexity) (corruption) Σ 2 P , Π 2 P: R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = Θ( ǫ · n ) Higher levels? (read-once AC 0 formulas) Constant advantage: well-understood [Jayram–Kopparty–Raghavendra/Leonardos–Saks CCC’09]

Climbing the polynomial hierarchy NP: R 1 / 2+ ǫ ( Set-Intersection ) = Θ( ǫ · n ) [Braverman–Moitra STOC’13, G¨ o¨ os–Watson RANDOM’14] (information complexity) (corruption) Σ 2 P , Π 2 P: R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = Θ( ǫ · n ) Higher levels? (read-once AC 0 formulas) Constant advantage: well-understood [Jayram–Kopparty–Raghavendra/Leonardos–Saks CCC’09] Small advantage: open

Function definitions Set-Intersection : x y x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

Function definitions Set-Intersection : x y x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Tribes : n n x y x y x y x y x y x y x y 7 x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 8 9 9

What’s known about Tribes ? R( Tribes ) = Θ( n )

What’s known about Tribes ? R( Tribes ) = Θ( n ) [Jayram–Kumar–Sivakumar STOC’03, Harsha–Jain FSTTCS’13] (information complexity) (smooth rectangle bound)

What’s known about Tribes ? R( Tribes ) = Θ( n ) [Jayram–Kumar–Sivakumar STOC’03, Harsha–Jain FSTTCS’13] (information complexity) (smooth rectangle bound) R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = ??

What’s known about Tribes ? R( Tribes ) = Θ( n ) [Jayram–Kumar–Sivakumar STOC’03, Harsha–Jain FSTTCS’13] (information complexity) (smooth rectangle bound) R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = ?? [G¨ o¨ os–Watson] trick: R 1 / 2+ ǫ ≥ Ω( ǫ · corruption bound)

What’s known about Tribes ? R( Tribes ) = Θ( n ) [Jayram–Kumar–Sivakumar STOC’03, Harsha–Jain FSTTCS’13] (information complexity) (smooth rectangle bound) R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = ?? [G¨ o¨ os–Watson] trick: R 1 / 2+ ǫ ≥ Ω( ǫ · corruption bound) ◮ Doesn’t work for Tribes : corruption bound ≈ √ n

What’s known about Tribes ? R( Tribes ) = Θ( n ) [Jayram–Kumar–Sivakumar STOC’03, Harsha–Jain FSTTCS’13] (information complexity) (smooth rectangle bound) R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = ?? [G¨ o¨ os–Watson] trick: R 1 / 2+ ǫ ≥ Ω( ǫ · corruption bound) ◮ Doesn’t work for Tribes : corruption bound ≈ √ n ?? Similar trick: R 1 / 2+ ǫ ≥ Ω( ǫ · smooth rectangle bound) ??

What’s known about Tribes ? R( Tribes ) = Θ( n ) [Jayram–Kumar–Sivakumar STOC’03, Harsha–Jain FSTTCS’13] (information complexity) (smooth rectangle bound) R 1 / 2+ ǫ ( Tribes ) = ?? [G¨ o¨ os–Watson] trick: R 1 / 2+ ǫ ≥ Ω( ǫ · corruption bound) ◮ Doesn’t work for Tribes : corruption bound ≈ √ n ?? Similar trick: R 1 / 2+ ǫ ≥ Ω( ǫ · smooth rectangle bound) ?? ◮ Not true in general

Our approach for Tribes Information complexity:

Our approach for Tribes Information complexity: ◮ Ω(1)-advantage for Tribes [JKS’03]

Our approach for Tribes Information complexity: ◮ Ω(1)-advantage for Tribes [JKS’03] ◮ ǫ -advantage for Set-Inter [BM’13]

Our approach for Tribes Information complexity: ◮ Ω(1)-advantage for Tribes [JKS’03] ◮ ǫ -advantage for Set-Inter [BM’13] ◮ Combine?

Our approach for Tribes Information complexity: ◮ Ω(1)-advantage for Tribes [JKS’03] ◮ ǫ -advantage for Set-Inter [BM’13] ◮ Combine? 4-step approach: