Coarse space over the ages or The evolu1on of the - PowerPoint PPT Presentation

Coarse ¡space ¡over ¡the ¡ages ¡ or ¡ The ¡evolu1on ¡of ¡the ¡coarse ¡space ¡ Jan ¡Mandel ¡and ¡Bedrich ¡Sousedik ¡ University ¡of ¡Colorado ¡Denver ¡ New: ¡the ¡paper ¡is ¡now ¡available ¡at ¡h2p://arxiv.org/abs/0911.5725 ¡ DD19, ¡Zhangjiajie, ¡China, ¡August ¡2009 ¡ Supported ¡by ¡NSF ¡DMS-­‑0713876 ¡

Coarse ¡space ¡ ¡ • Facilitates ¡global ¡exchange ¡of ¡informa1on ¡in ¡mul1grid ¡and ¡ domain ¡decomposi1on ¡ • Essen1al ¡for ¡scalable ¡performance ¡in ¡ellip1c ¡problems ¡ • Mul1grid ¡ – Large ¡coarse ¡space ¡(mesh ¡ra1o ¡2-­‑3) ¡ – Not ¡very ¡powerful ¡fine ¡solvers ¡(relaxa1on) ¡ • Domain ¡decomposi1on ¡ – Small ¡coarse ¡space ¡(1 ¡or ¡few ¡dofs ¡per ¡subdomain) ¡ – Powerful, ¡fine ¡solvers ¡(direct ¡solvers ¡on ¡subdomain) ¡ • But ¡the ¡math ¡is ¡more ¡or ¡less ¡the ¡same… ¡ • There ¡is ¡a ¡reason ¡why ¡mul1grid ¡and ¡domain ¡decomposi1on ¡ have ¡just ¡one ¡MSC ¡code: ¡65N55 ¡

Common ¡form: ¡varia1onal ¡correc1on ¡ Cast ¡as ¡varia1onal ¡(Galerkin) ¡correc1on ¡… ¡though ¡some1mes ¡ that ¡requires ¡some ¡contor1on ¡ Fine ¡problem: ¡ ¡ ¡ v ¡in ¡ V , ¡ a(u,v)=f(v) ¡for ¡all ¡ v ¡in ¡ V ¡ The ¡simplest ¡coarse ¡problem: ¡ ¡ w ¡in ¡ W , ¡ a(u+w,z)=f(z) ¡for ¡all ¡ z ¡in ¡ W ¡ ¡ W ¡is ¡a ¡coarse ¡space ¡ Improvements/complica1ons: ¡ ¡ a ¡split ¡into ¡sum; ¡each ¡term ¡over ¡one ¡subdomain ¡ ¡ a ¡replaced ¡by ¡something ¡else ¡ General ¡convergence ¡theory ¡for ¡spli_ng ¡into ¡many ¡subspaces ¡ & ¡precondi1oning ¡by ¡a ¡bilinear ¡form ¡in ¡each ¡Dryja, ¡Widlund ¡ (1994) ¡

How ¡to ¡design ¡the ¡coarse ¡space ¡ • Contains ¡the ¡local ¡nullspace ¡(constants ¡for ¡ Laplace, ¡rigid ¡body ¡modes ¡for ¡elas1city,…). ¡ Necessary ¡and ¡sufficient ¡for ¡condi1on ¡number ¡ bound ¡independent ¡of ¡the ¡number ¡of ¡ substructures ¡(M., ¡1990) ¡ • Coarse ¡interpola@on ¡does ¡not ¡increase ¡ energy ¡too ¡much : ¡implies ¡condi1on ¡growing ¡ slowly ¡with ¡substructure ¡size ¡Sufficient: ¡Dryja, ¡ Widlund ¡(1986 ¡& ¡later). ¡Necessary: ¡lower ¡ bounds, ¡Brenner ¡and ¡Sung ¡(2000) ¡

How ¡to ¡design ¡the ¡coarse ¡space ¡(2) ¡ • For ¡hard ¡problems, ¡try ¡enlarging ¡the ¡coarse ¡space. ¡ – Throw ¡the ¡trouble ¡in ¡the ¡coarse ¡space, ¡eventually ¡it ¡will ¡be ¡dealt ¡with ¡by ¡a ¡ direct ¡solver! ¡ – Much ¡more ¡powerful ¡than ¡enhancing ¡the ¡fine-­‑level ¡solve ¡(e.g., ¡overlap ¡ substructures ¡in ¡DD, ¡beher ¡smoothing ¡in ¡MG) ¡ – But ¡nonlocal ¡and ¡more ¡expensive, ¡also ¡messes ¡up ¡load ¡balancing ¡and ¡demands ¡ more ¡complicated ¡soiware ¡structure ¡ – Works ¡by ¡reducing ¡the ¡complement ¡of ¡the ¡coarse ¡space: ¡condi1on ¡number ¡ bounds ¡formulated ¡as ¡the ¡maximum ¡of ¡a ¡Rayleigh ¡quo1ent ¡over ¡the ¡ complement ¡. ¡Make ¡the ¡complement ¡consist ¡of ¡nice ¡func1ons ¡only. ¡ ¡ ¡ • Mind ¡the ¡computer ¡architecture: ¡some@mes ¡the ¡best ¡coarse ¡space ¡is ¡a ¡ small ¡one ¡or ¡no ¡coarse ¡problem ¡at ¡all ¡ – Memory: ¡if ¡adding ¡a ¡coarse ¡problem ¡makes ¡you ¡swap, ¡you ¡are ¡beher ¡off ¡ without ¡(historical) ¡ – Brute ¡force ¡(esp. ¡of ¡parallel ¡compu1ng): ¡a ¡simpler ¡program ¡can ¡be ¡faster ¡even ¡ if ¡not ¡op1mal ¡mathema1cally ¡ – Scalability ¡is ¡always ¡for ¡a ¡poten1ally ¡infinite ¡class ¡of ¡problems. ¡If ¡something ¡ works ¡beher ¡for ¡some ¡specific ¡problems, ¡take ¡it, ¡fine, ¡but ¡it ¡means ¡lihle. ¡

Enlarging ¡the ¡coarse ¡space ¡is ¡powerful ¡ • When ¡the ¡coarse ¡space ¡is ¡the ¡whole ¡space, ¡we ¡have ¡a ¡direct ¡solver ¡ – ¡the ¡poten1al ¡is ¡there! ¡ • In ¡the ¡p-­‑version ¡FEM ¡ – linear ¡coarse ¡space ¡when ¡all ¡is ¡nice ¡ – Quadra1c ¡coarse ¡in ¡thin ¡direc1on ¡for ¡thin ¡elements ¡ – Quadra1c ¡in ¡all ¡direc1ons ¡when ¡things ¡go ¡bad ¡ – Up ¡to ¡whole ¡element ¡in ¡coarse ¡space ¡when ¡things ¡are ¡really ¡bad ¡ • In ¡mul1grid, ¡semicoarsening ¡for ¡anisotropic ¡problems ¡ – No ¡coarsening ¡along ¡weak ¡couplings ¡ • In ¡BDD ¡and ¡FETI2 ¡for ¡plates, ¡add ¡special ¡basis ¡func1ons ¡to ¡hold ¡ down ¡the ¡corners ¡ • In ¡adap1ve ¡BDDC, ¡add ¡more ¡corners ¡or ¡edge ¡averages ¡(see ¡the ¡ plenary ¡talk) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Intelligent ¡itera1ve ¡method ¡ Cost ¡es1mate ¡ ¡ Direct ¡method ¡ Ar1ficial ¡ Flexible ¡ Problem ¡data ¡ Intelligence/ precondi1oner ¡ Expert ¡system ¡ Convergence ¡ Itera1ve ¡ es1mate ¡ ¡ method ¡ (M., ¡1993) ¡

Piecewise ¡(bi)linear ¡ • Linear ¡or ¡bilinear ¡on ¡ piecewise bilinear each ¡subdomain ¡ • Determined ¡by ¡ 1 subdomain ¡corner ¡dofs ¡ 0.8 • Standard ¡in ¡MG ¡ 0.6 • In ¡DD: ¡Widlund ¡(1988), ¡ 0.4 Bramble ¡Pasciak ¡Schatz ¡ 0.2 1 ¡(1986) ¡ 0 3 3 2 2 1 1 0 0

Piecewise ¡constant ¡ • Aggrega1on ¡– ¡ high ¡energy ¡ • But ¡in ¡the ¡dual ¡ space ¡OK: ¡FETI ¡ "%& " • More ¡generally: ¡ !%& ! piecewise ¡rigid ¡ ! !%& ! " body ¡modes ¡ ! "%& ! # $ $ # # " " ! !

Balancing ¡domain ¡decomposi1on ¡ (BDD) ¡ • Mandel ¡1993 ¡ • On ¡subdomain ¡ interfaces, ¡1/ #neighbors, ¡discrete ¡ 0.5 harmonic ¡inside ¡ 0.4 • more ¡general, ¡ 0.3 weighted ¡by ¡ substructure ¡ 0.2 coefficients ¡(De ¡ 0.1 Roeck, ¡Le ¡Tallec, ¡ 0 1991), ¡independent ¡ 3 3 on ¡coefficient ¡jumps ¡ 2 2 Mandel, ¡Brezina ¡ 1 1 (1996) ¡ 0 0

Corner, ¡edge, ¡face ¡discrete ¡harmonic ¡ • In ¡3D: ¡Dryja, ¡ 1 Widlund, ¡Smith ¡ 0.8 1994 ¡ 0.6 0.4 • With ¡weights, ¡ 0.2 0 1 independent ¡of ¡ 0.8 1 0.6 0.8 0.6 0.4 coefficient ¡jumps ¡ 0.4 0.2 0.2 0 0 (Dryja, ¡Sarkis, ¡ Widlund, ¡1996) ¡ 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0 0 0.2 0.5 0.4 0.6 0.8 0 1

Spike ¡at ¡a ¡corner ¡ • Mandel, ¡Farhat, ¡Tezaur ¡ (1996) ¡FETI2 ¡for ¡plates: ¡ Low ¡energy ¡because ¡it ¡ lives ¡in ¡the ¡dual ¡space ¡ • Was ¡used ¡for ¡plate ¡ bending ¡as ¡point ¡force ¡to ¡ hold ¡error ¡to ¡zero ¡at ¡ corners ¡– ¡avoid ¡a ¡kink ¡on ¡ 1 the ¡boundary ¡= ¡high ¡ energy ¡in ¡a ¡4 th ¡order ¡ 0.8 problem ¡ 0.6 • In ¡3D, ¡low ¡energy ¡in ¡ 0.4 primal ¡space ¡anyway; ¡ Bramble ¡Pasciak ¡Schatz ¡ 0.2 (1989) ¡(BPS ¡IV), ¡Dryja ¡ 0 Widlund ¡1990s ¡ 1 0.8 1 0.6 0.8 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0

Values ¡at ¡nodes, ¡discrete ¡harmonic ¡ • BDD ¡for ¡plates, ¡ Le ¡Tallec ¡Mandel ¡ Vidrascu ¡(1998) ¡ • The ¡spike ¡in ¡ FETI2 ¡was ¡ Figure: ¡Jakub ¡Sistek ¡ actually ¡the ¡dual ¡ 1 of ¡this ¡ 0.8 0.6 • BDDC, ¡Dohrmann ¡ 0.4 (2003) ¡ 0.2 0 1 0.8 1 0.6 0.8 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0

Values ¡at ¡nodes, ¡averages ¡at ¡edges, ¡ discrete ¡harmonic ¡(BDDC) ¡ '"# $"& ' $"% !"& $ !"% !"( !"$ !"' !"# !"& ! !"% ! !"# ! ' !"& ! !"% $ ' $ !"% !"& !"( !"% !"$ !"' !"# !"$ !"& !"# !"# !"% ! ! ! !