Charged par*cle beams and bunches defini'on, phase - PowerPoint PPT Presentation

Charged ¡par*cle ¡beams ¡and ¡bunches ¡ ¡ • defini'on, ¡ ¡ • phase ¡space ¡and ¡emi0ance, ¡ • trace ¡space, ¡ ¡ • beam ¡matrix ¡and ¡its ¡evolu'on, ¡ ¡ • phase ¡space, ¡Liouville’s ¡theorem ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 1 ¡ Fall ¡2014 ¡

trajectory ¡of ¡a ¡single ¡par*cle ¡ • classical ¡mechanics ¡use ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡ ¡ ( x , p ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡posi'on ¡ x ≡ ( x, y, z ) phase ¡space ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡canonical ¡momentum. ¡ p ≡ ( p x , p y , p z ) • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡form ¡a ¡set ¡of ¡canonical-­‑conjugate ¡ ( x , p ) variables ¡ • alterna've ¡descrip'on ¡use ¡divergence ¡ trace ¡space ¡ x 0 ≡ p x /p z y 0 ≡ p y /p z ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡but ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡are ¡not ¡canonical ¡conjugates. ¡ ( x, x 0 ) PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 2 ¡ Fall ¡2014 ¡

how ¡to ¡characterize ¡a ¡beam? ¡ • Each ¡par'cle ¡in ¡the ¡beam ¡have ¡the ¡following ¡ possible ¡a0ributes: ¡ – posi'on, ¡momentum, ¡ ¡ – charge, ¡mass, ¡ ¡ – spin. ¡ ¡ • We ¡will ¡exclusively ¡consider ¡single-­‑species ¡ beam ¡so ¡that ¡only ¡posi'on ¡and ¡momentum ¡ are ¡need ¡for ¡each ¡par'cle ¡in ¡the ¡beam. ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 3 ¡ Fall ¡2014 ¡

how ¡to ¡characterize ¡a ¡beam? ¡ • Consider ¡a ¡beam ¡with ¡ N ¡par'cles ¡ • each ¡are ¡characterized ¡by ¡2 ¡vectors ¡ ¡ ¡ – posi'on ¡ ¡ x ≡ ( x, y, z ) – momentum ¡ p ≡ ( p x , p y , p z ) • so ¡we ¡have ¡ 6N ¡scalars! ¡ • instead ¡it ¡is ¡sufficient ¡for ¡most ¡purposes ¡to ¡ describe ¡the ¡beam ¡with ¡macroscopic ¡ quan''es ¡(beam ¡size, ¡divergence,…) ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 4 ¡ Fall ¡2014 ¡

phase ¡space ¡portraits ¡ • example ¡of ¡the ¡un-­‑damped ¡ ¡ pendulum, ¡ ¡ unstable ¡ trajectories ¡ unstable ¡ separatrix ¡ fixed ¡points ¡ ¡ • trajectories ¡in ¡phase ¡space ¡ are ¡curves ¡with ¡constant ¡ energy ¡ ¡ trajectories ¡ stable ¡ [see ¡J. ¡Buon’s ¡lecture ¡“beam ¡phase ¡space ¡and ¡emi0ance”] ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 5 ¡ Fall ¡2014 ¡

phase ¡space ¡portraits ¡ • phase ¡space ¡portraits ¡allows ¡to ¡“track” ¡the ¡ trajectory ¡of ¡an ¡object ¡in ¡the ¡phase ¡space, ¡ ¡ • phase-­‑space ¡portraits ¡difficult ¡to ¡interpret ¡for ¡ an ¡ensemble ¡of ¡par'cle ¡ • instead ¡use ¡Poincare ¡ ¡ sec'on ¡that ¡shows ¡ ¡ intersec'ons ¡of ¡the ¡ ¡ phase ¡space ¡trajectories ¡ with ¡a ¡plane ¡ [see ¡J. ¡Buon’s ¡lecture ¡“beam ¡phase ¡space ¡and ¡emi0ance”] ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 6 ¡ Fall ¡2014 ¡

phase ¡space… ¡ • phase ¡space ¡portraits, ¡and ¡Poicare ¡maps ¡are ¡ most ¡oben ¡referred ¡to ¡as ¡“phase ¡spaces” ¡in ¡ beam ¡physics ¡(no ¡dis'nc'on) ¡ • Also ¡for ¡non ¡periodic ¡system, ¡phase ¡spaces ¡ oben ¡display ¡the ¡par'cle ¡coordinates ¡(for ¡the ¡ full ¡beam ¡ensemble) ¡at ¡a ¡given ¡axial ¡loca'on ¡ along ¡the ¡accelerator’s ¡beamline. ¡ ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 7 ¡ Fall ¡2014 ¡

example ¡of ¡phase ¡space ¡in ¡ ¡ beam ¡physics ¡ trace ¡space ¡snapshot ¡ [see ¡J. ¡Buon’s ¡lecture ¡“beam ¡phase ¡space ¡and ¡emi0ance”] ¡ • asdsad ¡ Courtesy ¡of ¡A. ¡Seymour ¡(NIU, ¡2014) ¡ Poincare ¡(stroboscopic) ¡map ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 8 ¡ Fall ¡2014 ¡

phase ¡space ¡characteriza*on ¡ • restrain ¡our ¡discussion ¡to ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡or ¡actually ¡ ¡ ( x, p x ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡we ¡can ¡write ¡the ¡phase ¡space ¡ density ¡ ( x, x 0 ) distribu'on ¡as ¡ ¡ F ( x, x 0 ) with ¡ ¡ Z Z + 1 F ( x, x 0 ) dxdx 0 = 1 2 nd ¡order ¡ moments ¡ �1 Z Z + 1 • let’s ¡define ¡the ¡moments: ¡ h xx 0 i = xx 0 F ( x, x 0 ) dxdx 0 �1 Z Z + 1 ¡ ¡ ¡ ¡ Z Z + 1 h x 2 i = x 2 F ( x, x 0 ) dxdx 0 moments ¡ 1 st ¡order ¡ xF ( x, x 0 ) dxdx 0 h x i = �1 �1 Z Z + 1 Z Z + 1 h x 0 2 i = x 0 2 F ( x, x 0 ) dxdx 0 h x 0 i = x 0 F ( x, x 0 ) dxdx 0 �1 �1 PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 9 ¡ Fall ¡2014 ¡

phase ¡space ¡characteriza*on ¡ • for ¡simplicity ¡we ¡assume ¡the ¡1 st -­‑order ¡ moments ¡are ¡zero: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ h x 0 i = 0 h x i = 0 • we ¡define ¡the ¡beam ¡(or ¡covariance) ¡matrix ¡as ¡  h x 2 i � h xx 0 i Σ = h x 0 2 i h xx 0 i • the ¡matrix ¡is ¡definite ¡posi've ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ | Σ | ≥ 0 PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 10 ¡ Fall ¡2014 ¡

beam ¡matrix ¡ • oben ¡parameterized ¡in ¡term ¡of ¡Courant-­‑ Snyder ¡parameters ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡: ¡ ( α x , β x ) betatron ¡slope ¡ betatron ¡func'on ¡  � β x − α x Σ = ε 2 − α x γ x x γ x ≡ 1 + α 2 determinant=1 ¡ x β x ε 2 x ⌘ h x 2 ih x 2 i � h xx 0 i 2 PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 11 ¡ Fall ¡2014 ¡

propaga*on ¡of ¡beam ¡matrix ¡ • ABCD ¡formalism ¡(see ¡Lecture ¡1): ¡ X 0 = ( x 0 , x 0 0 ) X f = ( x f , x 0 f ) 1 ¡ 2 ¡ n ¡ accelerator ¡or ¡op'cal ¡ ¡ beamline ¡with ¡n ¡components ¡ X f = R n R n − 1 ...R 3 R 3 R 1 X 0 • can ¡be ¡applied ¡to ¡the ¡beam ¡matrix ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 12 ¡ Fall ¡2014 ¡

propaga*on ¡of ¡beam ¡matrix ¡ e X e e • first ¡recognize ¡that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡ ¡ Σ = h X X i X X X e ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡transpose. ¡ ¡ ¡ X = ( x, x 0 ) X X X X X X f X 0 X f X f = RX 0 X 0 X f = ] f X 0 = f X 0 e X f X 0 X 0 X f RX 0 X 0 R • so ¡that ¡ ¡ Σ f = R Σ 0 e R PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 13 ¡ Fall ¡2014 ¡

emi?ance ¡conserva*on ¡ • Since ¡the ¡determinant ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ | R | = 1 ¡ | Σ f | = | R Σ 0 e R | = | Σ 0 | ¡ ¡ ¡ ¡ ¡so ¡that ¡the ¡determinant ¡of ¡the ¡beam ¡matrix ¡is ¡a ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡conserved ¡quan'ty ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ � geometric ¡emi?ance ¡is ¡conserved ¡ ¡ • this ¡is ¡actually ¡a ¡consequence ¡of ¡Liouville’s ¡ theorem ¡(simple ¡case ¡though) ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 14 ¡ Fall ¡2014 ¡

emi?ances ¡ • The ¡canonical ¡emi0ance ¡is ¡a ¡conserved ¡ quan'ty ¡for ¡linear ¡system ¡dominated ¡by ¡ single-­‑par'cle ¡dynamics ¡ ¡ 1 ε 2 h x 2 ih p 2 x i � h xp x i 2 ⇤ ⇥ n,c = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ m 2 c 2 • ¡Some'me ¡the ¡normalized ¡emi0ance ¡is ¡used: ¡ ε 2 n,x = ( βγ ) 2 ⇥ h x 2 ih x 0 2 i � h xx 0 i 2 ⇤ = ( βγε x ) 2 emi0ances ¡have ¡the ¡dimension ¡of ¡ length ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 15 ¡ Fall ¡2014 ¡