Central Schemes: a Powerful Black-Box-Solver for Nonlinear Hyperbolic PDEs Alexander Kurganov Southern University of Science and Technology, China and Tulane University, USA www.math.tulane.edu/ ∼ kurganov Supported by NSF and NSFC
joint work with Chi-Tien Lin, Providence University, Taiwan Sebastian Noelle, University of Technology at Aachen, Germany Guergana Petrova, Texas A&M University, USA Martina Prugger, University of Innsbruck, Austria Eitan Tadmor, University of Maryland, USA Tong Wu, Tulane University, USA
Southern University of Science and Technology Shenzhen (Special Economic Zone) Population: 20,000 (1980), 15,000,000 (2018) GDP per capita: Shenzhen 27,000$; China 16,000$ Nanshan District 50,000$ (higher than in Germany, Canada, Japan) SUSTech is the first “Western” major research university in China founded in 2011 Department of Mathematics was founded in 2015 http://math.sustc.edu.cn/?lang=en Size: 25 faculty (2018), 45-50 (within 3-5 years) Many tenure/tenure-track, long and short term visiting, post-doc and PhD positions are available
Finite-Volume Methods 1-D System: q t + f ( q ) x = 0 Integrate it over the space-time control volumes [ a, b ] × [ t n , t n +1 ] to obtain the integral form: t n +1 b b � � � � � q ( x, t n +1 ) dx = q ( x, t n ) dx − f ( q ( b, t )) − f ( q ( a, t )) dt a a t n t t n+1 t n x a b 4
� 1 q n q ( x, t n ) dx : cell averages over C j := ( x j − 1 j ≈ 2 , x j + 1 2 ) ∆ x C j This solution is approximated by a piecewise linear (conservative, second-order accurate, non-oscillatory) reconstruction: q n ( x ) = q n j + ( q x ) n j ( x − x j ) for x ∈ C j � x x x x j−1 j j+1 j+2 5
x x x x j−1 j j+1 j+2 For example, � � q n j − q n q n j +1 − q n q n j +1 − q n j − 1 j j − 1 ( q x ) n j = minmod θ , , θ θ ∈ [1 , 2] ∆ x 2∆ x ∆ x where the minmod function is defined as: min j { z j } , if z j > 0 ∀ j minmod( z 1 , z 2 , ... ) := max j { z j } , if z j < 0 ∀ j 0 , otherwise 6
Godunov-type upwind schemes are designed by integrating q t + f ( q ) x = 0 2 ] × [ t n , t n +1 ] over the space-time control volumes [ x j − 1 2 , x j + 1 t n+1 t n x x x x x j−1 j−1/2 j j+1/2 j+1 7
t n+1 t n x x x x x j−1 j−1/2 j j+1/2 j+1 t n +1 � � � 1 q n +1 = q n j − f ( q ( x j + 1 2 , t )) − f ( q ( x j − 1 2 , t )) dt j ∆ x t n In order to evaluate the flux integrals on the RHS, one has to (approximately) solve the generalized Riemann problem. This may be hard or even impossible... 8
t t n+1 ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� � � � � ���������������� ���������������� � � � � ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� t n ���������������� ���������������� x x x x x x j−1 j−1/2 j j+1/2 j+1 n q(x,t ) x x x x x x j−1 j−1/2 j j+1/2 j+1
✄☎ ✄ ☎ ✆ ✆ ✝ ✝ Nessyahu-Tadmor Scheme The Nessyahu-Tadmor [Nessyahu, Tadmor; 1990] scheme is a Godunov- type central scheme. It is designed by integrating q t + f ( q ) x = 0 over the different set of staggered space-time control volumes [ x j , x j +1 ] × [ t n , t n +1 ] containing the Riemann fans �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ t n+1 ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� ✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂ �✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁�✁� t n x x x j j+1/2 j+1 10
t t n+1 ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� � � � � � � ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� � � � � � � ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� t n ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� x x x x x x j−1 j−1/2 j j+1/2 j+1 n q(x,t ) x x x x x x j−1 j−1/2 j j+1/2 j+1
Recommend
More recommend