A Closure for Grads 13 Moment Equa7ons Using A - PowerPoint PPT Presentation

A ¡Closure ¡for ¡Grad’s ¡13 ¡Moment ¡Equa7ons ¡Using ¡ ¡ ¡ A ¡Hermite ¡Polynomial ¡Representa7on ¡ ¡ Of ¡Velocity ¡Distribu7on ¡Func7on ¡ L. ¡Pekker ¡

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments  ρ = m ⋅ n f ⋅ d 3  - velocity distribution function f ( V ) mass ¡density ¡ V ∫ - number density n m - m ass of a molecule - mass of a particle u i = V i ⋅ f ⋅ d 3  i = ( x , y , z ) flow ¡velocity ¡ V ∫ 2 ⋅ f ⋅ d 3  3 2 = ρ thermal ¡velocity ¡ ( ) 4 ρ ⋅ V T V i − u i V 2 ⋅ ∫  2 ⋅ f ⋅ d 3  V −  q i = ρ ( ) ( ) ⋅ heat ¡ ¡flux ¡ i = ( x , y , z ) V i − u i u V 2 ⋅ ∫ ⎛ ⎞ 2 ⋅ f ⋅ d 3  V T ( ) − δ ij ( ) ⋅ V j − u j ij = ( xx , xy , xz , yy , yz ) ⎜ V i − u i ⎟ V σ ij = ρ ⋅ ∫ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ viscous ¡stress ¡ ¡tensor ¡

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments  ρ = m ⋅ n f ⋅ d 3  - velocity distribution function f ( V ) mass ¡density ¡ V ∫ - number density n m - m ass of a molecule - mass of a particle u i = V i ⋅ f ⋅ d 3  i = ( x , y , z ) flow ¡velocity ¡ V ∫ 13 ¡ 2 ⋅ f ⋅ d 3  3 2 = ρ thermal ¡velocity ¡ ( ) 4 ρ ⋅ V T V i − u i V 2 ⋅ ∫  2 ⋅ f ⋅ d 3  V −  q i = ρ ( ) ( ) ⋅ heat ¡ ¡flux ¡ i = ( x , y , z ) V i − u i u V 2 ⋅ ∫ ⎛ ⎞ 2 ⋅ f ⋅ d 3  V T ( ) − δ ij ( ) ⋅ V j − u j ij = ( xx , xy , xz , yy , yz ) ⎜ V i − u i ⎟ V σ ij = ρ ⋅ ∫ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ viscous ¡stress ¡ ¡tensor ¡

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments ∂ ( n ⋅ f ) + V i ⋅ ∂ ( n ⋅ f ) Boltzmann ¡equa<on ¡ = St ( n ⋅ f ) ∂ t ∂ x i Multiplying Boltzmann equation by these functions ⎛ ⎞ 2   V −  m m V T V 2 ) 2 ( V i − u i ) m m ⋅ V i ⎜ ⎟ 2 ⋅ ( u m ( V i − u i ) ⋅ ( V j − u i ) − δ ij 2 ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ and integrating over the entire velocity space and taking into account that m ⋅ St ( f ) ⋅ d 3  V ⋅ St ( f ) ⋅ d 3   V 2 ⋅ St ( f ) ⋅ d 3   m V = 0 m ⋅ V = 0 2 ⋅ V = 0 ∫ ∫ ∫ we obtain the moment equations that correspond to mass, momentum, and energy conservation laws and moment equations for heat flux and viscous stress tensor:

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments The ¡BGK-­‑collision ¡term ¡does ¡not ¡create ¡addi<onal ¡moments! ¡ ¡ ij = ( xy , xz , yx ) 2 ⎛ ⎞ ∂ ( u k σ ij ) ∂ u j ∂ u j ∂ σ ij ∂ u i + ρ V T ∂ u i ⎜ ⎟ ∂ t + + σ ik + σ jk + ⎟ + ⎜ ∂ x k ∂ x k ∂ x k 2 ∂ x j ∂ x i ⎝ ⎠ ρ ( V i − u i )( V j − u j )( V k − u k ) fd 3  σ ij + ∂ ( ) = − V ∫ ∂ x k τ

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments The ¡BGK-­‑collision ¡term ¡does ¡not ¡create ¡addi<onal ¡moments! ¡ ¡ ij = ( xy , xz , yx ) 2 ⎛ ⎞ ∂ ( u k σ ij ) ∂ u j ∂ u j ∂ σ ij ∂ u i + ρ V T ∂ u i ⎜ ⎟ ∂ t + + σ ik + σ jk + ⎟ + ⎜ ∂ x k ∂ x k ∂ x k 2 ∂ x j ∂ x i ⎝ ⎠ ρ ( V i − u i )( V j − u j )( V k − u k ) fd 3  σ ij + ∂ ( ) = − V ∫ ∂ x k τ ∂ t − 1 2 ∂ u i − 2 ∂ q i − 2 ∂ u i + ∂ ( u k σ ll ) ∂ u l 2 ∂ u l ∂ σ ll l = ( x , y ) 3 ρ V T + 2 σ lk + ρ V T 3 σ ij ∂ x i 3 ∂ x i ∂ x j ∂ x k ∂ x k ∂ x l ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ ( V k − u k ) fd 3  ρ ( V l − u l ) 2 − V T + ∂ ⎟ = − σ ll ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ V ∫ σ zz = − σ xx − σ yy ⎜ ⎟ ⎜ ∂ x k 2 τ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

General ¡Equa+on ¡for ¡13 ¡Moments The ¡BGK-­‑collision ¡term ¡does ¡not ¡create ¡addi<onal ¡moments! ¡ ¡ ij = ( xy , xz , yx ) 2 ⎛ ⎞ ∂ ( u k σ ij ) ∂ u j ∂ u j ∂ σ ij ∂ u i + ρ V T ∂ u i ⎜ ⎟ ∂ t + + σ ik + σ jk + ⎟ + ⎜ ∂ x k ∂ x k ∂ x k 2 ∂ x j ∂ x i ⎝ ⎠ ρ ( V i − u i )( V j − u j )( V k − u k ) fd 3  σ ij + ∂ ( ) = − V ∫ ∂ x k τ ∂ t − 1 2 ∂ u i − 2 ∂ q i − 2 ∂ u i + ∂ ( u k σ ll ) ∂ u l 2 ∂ u l ∂ σ ll l = ( x , y ) 3 ρ V T + 2 σ lk + ρ V T 3 σ ij ∂ x i 3 ∂ x i ∂ x j ∂ x k ∂ x k ∂ x l ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ ( V k − u k ) fd 3  ρ ( V l − u l ) 2 − V T + ∂ ⎟ = − σ ll ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ V ∫ σ zz = − σ xx − σ yy ⎜ ⎟ ⎜ ∂ x k 2 τ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 2 ∂ σ ij ∂ σ jk ∂ q i ∂ t + ∂ ( u k q i ) ∂ u i − 5 V T ρ V T ρ V T ∂ ⎟ − σ ik ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + q k ⎟ + ⎟ + ⎟ + ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ∂ x k ∂ x k 4 ∂ x i 2 ∂ x j ∂ x k 2 ∂ x j ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  ) 2 ( V k − u k ) fd 3  V −  ⎛ ⎞ + ∂ ρ 2 ( V i − u i )( u V ⎟ + ⎜ ∫ i = ( x , y , z ) ∂ x k ⎝ ⎠ ( V i − u i )( V j − u j )( V k − u k ) fd 3  ∂ u j = − q i V + ρ ∫ ∂ x k τ

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on H N ( χ ) = ( − 1) N Exp ( χ 2 ) d N ( ) 1D Hermite polynomial ¡ ( ) d χ N Exp − χ 2 ⎧ 0, N ≠ M + ∞ ⋅ H N ( χ ) ⋅ Exp ( − χ 2 ) ⋅ d χ = H N ( χ ) ⎨ ∫ ⋅ 2 N , N = M π ⋅ N ! ⎩ −∞

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on H N ( χ ) = ( − 1) N Exp ( χ 2 ) d N ( ) 1D Hermite polynomial ¡ ( ) d χ N Exp − χ 2 ⎧ 0, N ≠ M + ∞ ⋅ H N ( χ ) ⋅ Exp ( − χ 2 ) ⋅ d χ = H N ( χ ) ⎨ ∫ ⋅ 2 N , N = M π ⋅ N ! ⎩ −∞ For our purposes we need only the following set of Hermite polynomials: H 2 χ = 4 χ 2 − 2 H 0 = 1 H 1 χ = 2 χ H 3 χ = 8 χ 3 − 12 χ 3 H 4 χ = 16 χ 4 − 48 χ 2 + 12

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on H N ( χ ) = ( − 1) N Exp ( χ 2 ) d N ( ) ( ) d χ N Exp − χ 2 1D Hermite polynomial ¡ ⎧ 0, N ≠ M + ∞ ⋅ H N ( χ ) ⋅ Exp ( − χ 2 ) ⋅ d χ = H N ( χ ) ⎨ ∫ ⋅ 2 N , N = M π ⋅ N ! ⎩ −∞ For our purposes we need only the following set of Hermite polynomials: H 2 χ = 4 χ 2 − 2 H 0 = 1 H 1 χ = 2 χ H 3 χ = 8 χ 3 − 12 χ 3 H 4 χ = 16 χ 4 − 48 χ 2 + 12 The velocity distribution function can be described χ i = V i − u i i = ( x , y , z ) as a combination of 3D Hermite polynomials : ¡ ¡ V T ( 2 − χ y 2 − χ z ) 2 Exp − χ x k = 35 Λ k ˆ f H = H k ( χ x , χ y , χ z ) ∑ 3 ⋅ π 3/2 V T k = 1

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on H j ⋅ Exp −  ) ⋅ d 3  ( 2 ˆ i ⋅ ˆ H = 0 i ≠ j χ χ ∫ ˆ H 1 = H 0 H 1 y 2 = H 1 x 4 = H 1 z ˆ ˆ ˆ H H H 3 = 2 2 2 H 1 x ⋅ H 1 y H 2 y 5 = H 2 x 7 = H 1 x ⋅ H 1 z ˆ ˆ ˆ ˆ H H H 6 = H 8 = 4 4 4 4 H 1 y ⋅ H 1 z 10 = H 2 z ˆ ˆ H 9 = H 4 4 H 3 x + H 1 x ⋅ H 2 y + H 1 x ⋅ H 2 z H 3 y + H 1 y ⋅ H 2 x + H 1 y ⋅ H 2 z ˆ ˆ H H 11 = 12 = 8 8 H 3 z + H 1 z ⋅ H 2 x + H 1 z ⋅ H 2 y ˆ H 13 = 8

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on ˆ ˆ ˆ ˆ H 16 = H 4 z H 17 = H 2 x ⋅ H 2 y H 14 = H 4 x H 15 = H 4 y ˆ ˆ ˆ ˆ H 18 = H 2 x ⋅ H 2 z H 19 = H 2 y ⋅ H 2 z H 20 = H 3 x ⋅ H 1 y H 21 = H 3 x ⋅ H 1 z ˆ ˆ ˆ ˆ H 24 = H 3 z ⋅ H 1 x H 22 = H 3 y ⋅ H 1 x H 23 = H 3 y ⋅ H 1 z H 25 = H 3 z ⋅ H 1 y ˆ ˆ ˆ H 26 = H 1 x ⋅ H 1 y ⋅ H 2 z H 27 = H 1 y ⋅ H 1 z ⋅ H 2 x H 28 = H 1 x ⋅ H 1 z ⋅ H 2 y 3 ⋅ H 1 x ⋅ ( H 2 y + H 2 z ) ˆ ˆ H 29 = H 1 x ⋅ H 1 y ⋅ H 1 z H 30 = H 3 x − 2 3 ⋅ H 1 y ⋅ ( H 2 x + H 2 z ) 3 ⋅ H 1 z ⋅ ( H 2 x + H 2 y ) ˆ ˆ H 31 = H 3 y − H 32 = H 3 z − 2 2 ˆ ˆ ˆ H 34 = H 1 y ⋅ ( H 2 x + H 2 z ) H 33 = H 1 x ⋅ ( H 2 y + H 2 z ) H 35 = H 1 z ⋅ ( H 2 x + H 2 y )

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on Exp −  ( ) 2 ⎛ ⎞ V y − u y  , V z − u z χ χ = ( χ x , χ y , χ z ) = V x − u x 35  where Λ k ⋅ ˆ , ⎜ ⎟ f H = H k ( ) 3 ⋅ π 3/2 ⋅ ∑ χ V T V T V T ⎝ ⎠ V T k = 1

Hermite ¡Polynomial ¡Approxima+on ¡of ¡Velocity ¡Distribu+on ¡Func+on Exp −  ( ) 2 ⎛ ⎞ V y − u y  , V z − u z χ χ = ( χ x , χ y , χ z ) = V x − u x 35  where Λ k ⋅ ˆ , ⎜ ⎟ f H = H k ( ) 3 ⋅ π 3/2 ⋅ ∑ χ V T V T V T ⎝ ⎠ V T k = 1 Since the particle distribution function has to satisfy the following conditions: ¡ ¡ ⋅ d 3  V ⋅ d 3    ) 2 ⋅ d 3  V =  V −  V = 3 2 => ¡ f H V = 1 f H u f H ⋅ ( u 2 ⋅ V T ⋅ ∫ ∫ ∫    V V V