universal vanishing corrections on the position of fronts
play

Universal vanishing corrections on the position of fronts in the - PowerPoint PPT Presentation

Feb 20, 2023 •378 likes •1.51k views

Universal vanishing corrections on the position of fronts in the Fisher-KPP class ric Brunet May the 3 rd , 2017, Paris May the 3 rd , 2017, Paris ric Brunet Vanishing corrections for FKPP 1 / 19 The Fisher-KPP equation a model for

  1. The Fisher-KPP equation — universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 v c = 2 , γ c = 1 v ( γ )= γ + γ − 1 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). Iff ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 42 , May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 7 / 19

  2. The Fisher-KPP equation — universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 v c = 2 , γ c = 1 v ( γ )= γ + γ − 1 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). Iff ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 42 , h ( x , t + 1 ) = min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )] . 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 7 / 19

  3. The Fisher-KPP equation — universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 v c = 2 , γ c = 1 v ( γ )= γ + γ − 1 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). Iff ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 42 , h ( x , t + 1 ) = min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )] . 1 v c = 2, γ c = 1 v c = 0 . 815172 ... , γ c = 5 . 26208 ... May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 7 / 19

  4. The Fisher-KPP equation — universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 v c = 2 , γ c = 1 v ( γ )= γ + γ − 1 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). Iff ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 42 , h ( x , t + 1 ) = min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )] . 1 v c = 2, γ c = 1 v c = 0 . 815172 ... , γ c = 5 . 26208 ... v ( γ ) = γ + 1 v ( γ ) = 1 γ ln [ 2 e γ − 1 γ ] , γ , v v c γ γ c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 7 / 19

  5. The Fisher-KPP equation — universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 v c = 2 , γ c = 1 v ( γ )= γ + γ − 1 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). Iff ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 42 , h ( x , t + 1 ) = min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )] . 1 v c = 2, γ c = 1 v c = 0 . 815172 ... , γ c = 5 . 26208 ... v ( γ ) = γ + 1 v ( γ ) = 1 γ ln [ 2 e γ − 1 γ ] , γ , v To find v ( γ ) : v c γ γ c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 7 / 19

  6. The Fisher-KPP equation — universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 v c = 2 , γ c = 1 v ( γ )= γ + γ − 1 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). Iff ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c ∂ t h = ∂ 2 x h + h //// − h 42 , h ( x , t + 1 ) = //// min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )/ 1 ] . v c = 2, γ c = 1 v c = 0 . 815172 ... , γ c = 5 . 26208 ... v ( γ ) = γ + 1 v ( γ ) = 1 γ ln [ 2 e γ − 1 γ ] , γ , v To find v ( γ ) : linearise v c γ γ c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 7 / 19

  7. The Fisher-KPP equation — universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 v c = 2 , γ c = 1 v ( γ )= γ + γ − 1 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). Iff ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c ∂ t h = ∂ 2 x h + h //// − h 42 , h ( x , t + 1 ) = //// min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )/ 1 ] . v c = 2, γ c = 1 v c = 0 . 815172 ... , γ c = 5 . 26208 ... v ( γ ) = γ + 1 v ( γ ) = 1 γ ln [ 2 e γ − 1 γ ] , γ , v To find v ( γ ) : linearise h ( x , t ) ∝ e − γ ( x − vt ) v c γ γ c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 7 / 19

  8. The Fisher-KPP front — precise position ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 8 / 19

  9. The Fisher-KPP front — precise position ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 8 / 19

  10. The Fisher-KPP front — precise position ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 8 / 19

  11. The Fisher-KPP front — precise position ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 8 / 19

  12. The Fisher-KPP front — precise position ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 8 / 19

  13. The Fisher-KPP front — precise position ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? Conjecture (Our contribution) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 8 / 19

  14. The Fisher-KPP front — precise position ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? Conjecture (Our contribution) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + K ln t + O ( 1 t ) c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 3 e γ c x < ∞ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 8 / 19

  15. Precise position — strategy ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth, saturation May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 9 / 19

  16. Precise position — strategy ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth, saturation There must be some saturation term May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 9 / 19

  17. Precise position — strategy ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth, saturation There must be some saturation term Otherwise, essentially linear May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 9 / 19

  18. Precise position — strategy ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth, saturation There must be some saturation term Otherwise, essentially linear The results are universal May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 9 / 19

  19. Precise position — strategy ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth, saturation There must be some saturation term Otherwise, essentially linear The results are universal We construct an equation with the simplest possible saturation term May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 9 / 19

  20. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎩ 0 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 10 / 19

  21. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎩ 0 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 10 / 19

  22. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎩ 0 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 10 / 19

  23. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎩ reaches 1 0 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 10 / 19

  24. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎩ reaches 1 0 Main result Assuming h 0 ( 0 ) = 0 and h 0 ( n ) ↘ e λ ( n − e λ + 1 t n ) − e λ ] h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 ∑ λ n ≥ 1 n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 10 / 19

  25. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎩ reaches 1 0 Main result Assuming h 0 ( 0 ) = 0 and h 0 ( n ) ↘ e λ ( n − e λ + 1 t n ) − e λ ] h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 ∑ λ n ≥ 1 n ≥ 1 From there, extrain asymptotic behaviour of t n as n → ∞ . May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 10 / 19

  26. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] Let µ t be the position where the front saturates: h ( x , t ) = 1 if x < µ t . May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 11 / 19

  27. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] Let µ t be the position where the front saturates: h ( x , t ) = 1 if x < µ t . On the right of µ t , be linear: ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t . May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 11 / 19

  28. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] Let µ t be the position where the front saturates: h ( x , t ) = 1 if x < µ t . On the right of µ t , be linear: ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t . Assume h is continuous and differentiable at µ t : h ( µ t , t ) = 1 , ∂ x h ( µ t , t ) = 0. May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 11 / 19

  29. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] Let µ t be the position where the front saturates: h ( x , t ) = 1 if x < µ t . On the right of µ t , be linear: ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t . Assume h is continuous and differentiable at µ t : h ( µ t , t ) = 1 , ∂ x h ( µ t , t ) = 0. ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = 1 , ∂ x h ( µ t , t ) = 0 . May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 11 / 19

  30. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] Let µ t be the position where the front saturates: h ( x , t ) = 1 if x < µ t . On the right of µ t , be linear: ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t . Assume h is continuous and differentiable at µ t : h ( µ t , t ) = 1 , ∂ x h ( µ t , t ) = 0. ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = 1 , ∂ x h ( µ t , t ) = 0 . Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 11 / 19

  31. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] Let µ t be the position where the front saturates: h ( x , t ) = 1 if x < µ t . On the right of µ t , be linear: ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t . Assume h is continuous and differentiable at µ t : h ( µ t , t ) = 1 , ∂ x h ( µ t , t ) = 0. ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = 1 ∂ x h ( µ t , t ) = 0 / α, / β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 11 / 19

  32. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] Let µ t be the position where the front saturates: h ( x , t ) = 1 if x < µ t . On the right of µ t , be linear: ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t . Assume h is continuous and differentiable at µ t : h ( µ t , t ) = 1 , ∂ x h ( µ t , t ) = 0. ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = 1 ∂ x h ( µ t , t ) = 0 / α, / β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Can be solved with same method as First approach. But is it a well-posed problem ? May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 11 / 19

  33. ✶ Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = α, ∂ x h ( µ t , t ) = β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Second approach, in the continuum [Joint work with J. Berestycki, M. Roberts & S. Harris. Also studied by C. Henderson] For any given µ t ⎧ ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 ⎪ ⎩ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 12 / 19

  34. ✶ Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = α, ∂ x h ( µ t , t ) = β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Second approach, in the continuum [Joint work with J. Berestycki, M. Roberts & S. Harris. Also studied by C. Henderson] For any given µ t ⎧ ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 ⎪ ⎩ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 12 / 19

  35. ✶ Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = α, ∂ x h ( µ t , t ) = β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Second approach, in the continuum [Joint work with J. Berestycki, M. Roberts & S. Harris. Also studied by C. Henderson] For any given µ t ⎧ ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 ⎪ ⎩ h ( x , t ) = ∫ d y h 0 ( y ) E y [ δ ( B t − x ) ] May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 12 / 19

  36. ✶ Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = α, ∂ x h ( µ t , t ) = β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Second approach, in the continuum [Joint work with J. Berestycki, M. Roberts & S. Harris. Also studied by C. Henderson] For any given µ t ⎧ ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 ⎪ ⎩ h ( x , t ) = e t ∫ d y h 0 ( y ) E y [ δ ( B t − x ) ] May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 12 / 19

  37. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = α, ∂ x h ( µ t , t ) = β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Second approach, in the continuum [Joint work with J. Berestycki, M. Roberts & S. Harris. Also studied by C. Henderson] For any given µ t ⎧ ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 ⎪ ⎩ h ( x , t ) = e t ∫ d y h 0 ( y ) E y [ δ ( B t − x ) ✶ { B s > µ s , ∀ s < t } ] May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 12 / 19

  38. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = α, ∂ x h ( µ t , t ) = β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Second approach, in the continuum [Joint work with J. Berestycki, M. Roberts & S. Harris. Also studied by C. Henderson] h ( µ t + z , t ) → 0 For any given µ t ⎧ if µ t grows too fast, ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ if µ t grows too slowly, h ( µ t + z , t ) → ∞ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 h ( µ t + z , t ) → ω ( z ) ⎪ ⎩ if µ t grows just right, h ( x , t ) = e t ∫ d y h 0 ( y ) E y [ δ ( B t − x ) ✶ { B s > µ s , ∀ s < t } ] May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 12 / 19

  39. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = α, ∂ x h ( µ t , t ) = β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Second approach, in the continuum [Joint work with J. Berestycki, M. Roberts & S. Harris. Also studied by C. Henderson] h ( µ t + z , t ) → 0 For any given µ t ⎧ if µ t grows too fast, ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ if µ t grows too slowly, h ( µ t + z , t ) → ∞ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 h ( µ t + z , t ) → ω ( z ) ⎪ ⎩ if µ t grows just right, h ( x , t ) = e t ∫ d y h 0 ( y ) E y [ δ ( B t − x ) ✶ { B s > µ s , ∀ s < t } ] What are the µ t such that h ( µ t + z , t ) → ω ( z ) ? May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 12 / 19

  40. Three approaches First approach, on the lattice [Joint work with B. Derrida] ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ t n = [ when h ( n , t ) ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ] ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 reaches 1 Third approach, in the continuum [Joint work with B. Derrida & J. Berestycki] ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t , h ( µ t , t ) = α, ∂ x h ( µ t , t ) = β. Both h ( x , t ) and µ t are unknown quantities! Second approach, in the continuum [Joint work with J. Berestycki, M. Roberts & S. Harris. Also studied by C. Henderson] h ( µ t + z , t ) → 0 For any given µ t ⎧ if µ t grows too fast, ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ if µ t grows too slowly, h ( µ t + z , t ) → ∞ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 h ( µ t + z , t ) → ω ( z ) ⎪ ⎩ if µ t grows just right, h ( x , t ) = e t ∫ d y h 0 ( y ) E y [ δ ( B t − x ) ✶ { B s > µ s , ∀ s < t } ] What are the µ t such that h ( µ t + z , t ) → ω ( z ) ? With a fast convergence rate? May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 12 / 19

  41. Let us get more technical We focus on ⎧ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ⎪ ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ 0 if h ( n , t ) = 1 . ⎪ ⎩ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 13 / 19

  42. Model on the lattice ⎧ ⎪ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 t n = [ when h ( n , t ) reaches 1 ] . May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 14 / 19

  43. Model on the lattice ⎧ ⎪ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 t n = [ when h ( n , t ) reaches 1 ] . Looking for h ( n , t ) ∼ e − γ ( n − vt ) : γ v = 1 + e γ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 14 / 19

  44. Model on the lattice ⎧ ⎪ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , v ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 v t n = [ when h ( n , t ) reaches 1 ] . v c Looking for h ( n , t ) ∼ e − γ ( n − vt ) : γ v = 1 + e γ v ( γ ) = 1 + e γ γ c = 1 . 27856 ..., v c = 3 . 59112 ... γ γ 1 γ c γ 2 γ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 14 / 19

  45. Model on the lattice ⎧ ⎪ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , v ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 v t n = [ when h ( n , t ) reaches 1 ] . v c Looking for h ( n , t ) ∼ e − γ ( n − vt ) : γ v = 1 + e γ v ( γ ) = 1 + e γ γ c = 1 . 27856 ..., v c = 3 . 59112 ... γ γ 1 γ c γ 2 γ h 0 ( n ) e λ n = e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] e λ + 1 [ 2 ∑ 1 ∑ Assuming h 0 ( 0 ) = 0 and h 0 ( n ) ↘ n ≥ 1 n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 14 / 19

  46. Model on the lattice ⎧ ⎪ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , v ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 v t n = [ when h ( n , t ) reaches 1 ] . v c Looking for h ( n , t ) ∼ e − γ ( n − vt ) : γ v = 1 + e γ v ( γ ) = 1 + e γ γ c = 1 . 27856 ..., v c = 3 . 59112 ... γ γ 1 γ c γ 2 γ h 0 ( n ) e λ n = e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] e λ + 1 [ 2 ∑ 1 ∑ Assuming h 0 ( 0 ) = 0 and h 0 ( n ) ↘ n ≥ 1 n ≥ 1 [Solve for t ∈ [ t n , t n + 1 ] with a generating function, and then glue things together] May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 14 / 19

  47. Model on the lattice ⎧ ⎪ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , v ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 v t n = [ when h ( n , t ) reaches 1 ] . v c Looking for h ( n , t ) ∼ e − γ ( n − vt ) : γ v = 1 + e γ v ( γ ) = 1 + e γ γ c = 1 . 27856 ..., v c = 3 . 59112 ... γ γ 1 γ c γ 2 γ h 0 ( n ) e λ n = e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] e λ + 1 [ 2 ∑ 1 ∑ Assuming h 0 ( 0 ) = 0 and h 0 ( n ) ↘ n ≥ 1 n ≥ 1 [Solve for t ∈ [ t n , t n + 1 ] with a generating function, and then glue things together] Basic observation: if h 0 ( n ) ∼ Ae − γ n with γ < γ c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 14 / 19

  48. Model on the lattice ⎧ ⎪ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , v ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 v t n = [ when h ( n , t ) reaches 1 ] . v c Looking for h ( n , t ) ∼ e − γ ( n − vt ) : γ v = 1 + e γ v ( γ ) = 1 + e γ γ c = 1 . 27856 ..., v c = 3 . 59112 ... γ γ 1 γ c γ 2 γ h 0 ( n ) e λ n = e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] e λ + 1 [ 2 ∑ 1 ∑ Assuming h 0 ( 0 ) = 0 and h 0 ( n ) ↘ n ≥ 1 n ≥ 1 [Solve for t ∈ [ t n , t n + 1 ] with a generating function, and then glue things together] Basic observation: if h 0 ( n ) ∼ Ae − γ n with γ < γ c pick λ = γ − ǫ ; then ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) e λ n ∼ A / ǫ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 14 / 19

  49. Model on the lattice ⎧ ⎪ ⎪ h ( n , t ) + h ( n − 1 , t ) if h ( n , t ) < 1 , v ∂ t h ( n , t ) = ⎨ ⎪ if h ( n , t ) = 1 , ⎪ ⎩ 0 v t n = [ when h ( n , t ) reaches 1 ] . v c Looking for h ( n , t ) ∼ e − γ ( n − vt ) : γ v = 1 + e γ v ( γ ) = 1 + e γ γ c = 1 . 27856 ..., v c = 3 . 59112 ... γ γ 1 γ c γ 2 γ h 0 ( n ) e λ n = e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] e λ + 1 [ 2 ∑ 1 ∑ Assuming h 0 ( 0 ) = 0 and h 0 ( n ) ↘ n ≥ 1 n ≥ 1 [Solve for t ∈ [ t n , t n + 1 ] with a generating function, and then glue things together] Basic observation: if h 0 ( n ) ∼ Ae − γ n with γ < γ c pick λ = γ − ǫ ; then ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) e λ n ∼ A / ǫ one must have t n ∼ n / v ( γ ) to reproduce the singularity in the R.H.S.: v ( γ )] = n ǫ v ′ ( γ ) [ n − v ( γ − ǫ ) n v ( γ ) May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 14 / 19

  50. v The case h 0 = 0 h 0 ( n ) e λ n = e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ γ 1 γ c γ 2 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  51. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ ∑ If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  52. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ ∑ If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  53. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ e n λ [ 1 − v ( λ ) vc ] − λ v ( λ ) γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ = ∑ ∑ λ c vc ( α ln n + r n ) If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  54. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ e n λ [ 1 − v ( λ ) vc ] − λ v ( λ ) γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ = ∑ ∑ λ c vc ( α ln n + r n ) If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c Take now λ = γ c − ǫ and use λ [ 1 − v ( λ ) v c ] ≈ − γ c v ′′ ( γ c ) ǫ 2 =∶ − Q ǫ 2 . 2 v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  55. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ e n λ [ 1 − v ( λ ) vc ] − λ v ( λ ) γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ = ∑ ∑ λ c vc ( α ln n + r n ) If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c Take now λ = γ c − ǫ and use λ [ 1 − v ( λ ) v c ] ≈ − γ c v ′′ ( γ c ) ǫ 2 =∶ − Q ǫ 2 . 2 v c (nice function of ǫ ) ≈ ∑ e − nQ ǫ 2 − r n n − α n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  56. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ e n λ [ 1 − v ( λ ) vc ] − λ v ( λ ) γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ = ∑ ∑ λ c vc ( α ln n + r n ) If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c Take now λ = γ c − ǫ and use λ [ 1 − v ( λ ) v c ] ≈ − γ c v ′′ ( γ c ) ǫ 2 =∶ − Q ǫ 2 . 2 v c (nice function of ǫ ) ≈ ∑ e − nQ ǫ 2 − r n n − α n ≥ 1 Remark: ∑ e − nu n − 1 . 7 = n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  57. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ e n λ [ 1 − v ( λ ) vc ] − λ v ( λ ) γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ = ∑ ∑ λ c vc ( α ln n + r n ) If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c Take now λ = γ c − ǫ and use λ [ 1 − v ( λ ) v c ] ≈ − γ c v ′′ ( γ c ) ǫ 2 =∶ − Q ǫ 2 . 2 v c (nice function of ǫ ) ≈ ∑ e − nQ ǫ 2 − r n n − α n ≥ 1 Remark: ∑ e − nu n − 1 . 7 = 2 . 05 − 4 . 27 u 0 . 7 + 2 . 78 u − 0 . 15 u 2 + 0 . 007 u 3 + ⋯ n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  58. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ e n λ [ 1 − v ( λ ) vc ] − λ v ( λ ) γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ = ∑ ∑ λ c vc ( α ln n + r n ) If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c Take now λ = γ c − ǫ and use λ [ 1 − v ( λ ) v c ] ≈ − γ c v ′′ ( γ c ) ǫ 2 =∶ − Q ǫ 2 . 2 v c (nice function of ǫ ) ≈ ∑ e − nQ ǫ 2 − r n n − α n ≥ 1 Remark: ∑ e − nu n − 1 . 7 = 2 . 05 − 4 . 27 u 0 . 7 + 2 . 78 u − 0 . 15 u 2 + 0 . 007 u 3 + ⋯ ⎧ ⎪ Γ ( 1 − α ) u α − 1 ⎪ n ≥ 1 ⎨ ∈ N ∗ ) ∑ (if α / e − nu n − α = (nice function of u ) + ⎪ ⎪ ( α − 1 ) ! u α − 1 ln u ( − 1 ) α ⎩ (if α ∈ N ∗ ) n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  59. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ e n λ [ 1 − v ( λ ) vc ] − λ v ( λ ) γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ = ∑ ∑ λ c vc ( α ln n + r n ) If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c Take now λ = γ c − ǫ and use λ [ 1 − v ( λ ) v c ] ≈ − γ c v ′′ ( γ c ) ǫ 2 =∶ − Q ǫ 2 . 2 v c (nice function of ǫ ) ≈ ∑ e − nQ ǫ 2 − r n n − α ≈ (nice function of ǫ 2 ) + cste ( ǫ 2 ) α − 1 n ≥ 1 Remark: ∑ e − nu n − 1 . 7 = 2 . 05 − 4 . 27 u 0 . 7 + 2 . 78 u − 0 . 15 u 2 + 0 . 007 u 3 + ⋯ ⎧ ⎪ Γ ( 1 − α ) u α − 1 ⎪ n ≥ 1 ⎨ ∈ N ∗ ) ∑ (if α / e − nu n − α = (nice function of u ) + ⎪ ⎪ ( α − 1 ) ! u α − 1 ln u ( − 1 ) α ⎩ (if α ∈ N ∗ ) n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  60. v The case h 0 = 0 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] v 1 ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ v c n ≥ 1 n ≥ 1 γ e n λ [ 1 − v ( λ ) vc ] − λ v ( λ ) γ 1 γ c γ 2 e λ [ n − v ( λ ) t n ] = e λ = ∑ ∑ λ c vc ( α ln n + r n ) If h 0 = 0: 2 n ≥ 1 n ≥ 1 v c + α ln n + r n where r n = O( 1 ) . Use t n = n γ c v c Take now λ = γ c − ǫ and use λ [ 1 − v ( λ ) v c ] ≈ − γ c v ′′ ( γ c ) ǫ 2 =∶ − Q ǫ 2 . 2 v c (nice function of ǫ ) ≈ ∑ e − nQ ǫ 2 − r n n − α ≈ (nice function of ǫ 2 ) + cste ( ǫ 2 ) α − 1 n ≥ 1 α = 3 2 to have a term of order ǫ Remark: ∑ e − nu n − 1 . 7 = 2 . 05 − 4 . 27 u 0 . 7 + 2 . 78 u − 0 . 15 u 2 + 0 . 007 u 3 + ⋯ ⎧ ⎪ Γ ( 1 − α ) u α − 1 ⎪ n ≥ 1 ⎨ ∈ N ∗ ) ∑ (if α / e − nu n − α = (nice function of u ) + ⎪ ⎪ ( α − 1 ) ! u α − 1 ln u ( − 1 ) α ⎩ (if α ∈ N ∗ ) n ≥ 1 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 15 / 19

  61. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 t n = n + v c γ c v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  62. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 ⇔ µ t = v c t − 3 ln t + O( 1 ) t n = n + 2 γ c v c γ c v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  63. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 ⇔ µ t = v c t − 3 ln t + O( 1 ) t n = n Bramson! + 2 γ c v c γ c v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  64. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 ⇔ µ t = v c t − 3 ln t + O( 1 ) t n = n Bramson! + 2 γ c v c γ c v c If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  65. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 ⇔ µ t = v c t − 3 ln t + O( 1 ) t n = n Bramson! + 2 γ c v c γ c v c If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n Then Ψ ( γ c − ǫ ) ≋ ∑ An α e − ǫ n n May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  66. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 ⇔ µ t = v c t − 3 ln t + O( 1 ) t n = n Bramson! + 2 γ c v c γ c v c α = − 3 . 1 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + c ǫ 2 + k ǫ 2 . 1 + ⋯ If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n α = − 3 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + ǫ 2 + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ α = − 2 . 9 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 9 + ⋯ Then α = − 2 . 2 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 2 + ⋯ Ψ ( γ c − ǫ ) ≋ ∑ An α e − ǫ n α = − 2 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + k ǫ ln ǫ + ⋯ n α = − 1 . 7 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + k ǫ 0 . 7 + ⋯ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  67. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 ⇔ µ t = v c t − 3 ln t + O( 1 ) t n = n Bramson! + 2 γ c v c γ c v c α = − 3 . 1 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + c ǫ 2 + k ǫ 2 . 1 + ⋯ If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n α = − 3 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + ǫ 2 + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ α = − 2 . 9 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 9 + ⋯ Then α = − 2 . 2 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 2 + ⋯ Ψ ( γ c − ǫ ) ≋ ∑ An α e − ǫ n α = − 2 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + k ǫ ln ǫ + ⋯ n α = − 1 . 7 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + k ǫ 0 . 7 + ⋯ 2 ln t term is there if α < − 2. Bramson’s 3 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  68. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 ⇔ µ t = v c t − 3 ln t + O( 1 ) t n = n Bramson! + 2 γ c v c γ c v c α = − 3 . 1 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + c ǫ 2 + k ǫ 2 . 1 + ⋯ If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n α = − 3 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + ǫ 2 + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ α = − 2 . 9 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 9 + ⋯ Then α = − 2 . 2 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 2 + ⋯ Ψ ( γ c − ǫ ) ≋ ∑ An α e − ǫ n α = − 2 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + k ǫ ln ǫ + ⋯ n α = − 1 . 7 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + k ǫ 0 . 7 + ⋯ 2 ln t term is there if α < − 2. Bramson’s 3 In fact, Bramson’s term is there iff Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + ⋯ . May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  69. Bramson’s term Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] ; pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 If h 0 = 0, to get the term of order ǫ right, one must take 2 ln n + O( 1 ) 3 ⇔ µ t = v c t − 3 ln t + O( 1 ) t n = n Bramson! + 2 γ c v c γ c v c α = − 3 . 1 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + c ǫ 2 + k ǫ 2 . 1 + ⋯ If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n α = − 3 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + ǫ 2 + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ α = − 2 . 9 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 9 + ⋯ Then α = − 2 . 2 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 2 + ⋯ Ψ ( γ c − ǫ ) ≋ ∑ An α e − ǫ n α = − 2 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + k ǫ ln ǫ + ⋯ n α = − 1 . 7 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + k ǫ 0 . 7 + ⋯ 2 ln t term is there if α < − 2. Bramson’s 3 In fact, Bramson’s term is there iff Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + ⋯ . Which means that Bramson’s term is there iff ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) n < ∞ . May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 16 / 19

  70. The term from Ebert and van Saarloos Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] , and pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 Bramson’s term to get the ǫ term right iff ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) n < ∞ : ⇔ 2 γ c ln t + O( 1 ) 3 2 ln n +O ( 1 ) 3 t n = n v c + µ t = v c t − γ c v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 17 / 19

  71. The term from Ebert and van Saarloos Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] , and pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 Bramson’s term to get the ǫ term right iff ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) n < ∞ : ⇔ 2 γ c ln t + O( 1 ) 3 2 ln n +O ( 1 ) 3 t n = n v c + µ t = v c t − γ c v c Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ 3 2 ln n + C For t n = n exactly: v c + γ c v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 17 / 19

  72. The term from Ebert and van Saarloos Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] , and pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 Bramson’s term to get the ǫ term right iff ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) n < ∞ : ⇔ 2 γ c ln t + O( 1 ) 3 2 ln n +O ( 1 ) 3 t n = n v c + µ t = v c t − γ c v c Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ 3 2 ln n + C For t n = n exactly: v c + γ c v c α = − 3 . 1 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + c ǫ 2 + k ǫ 2 . 1 + ⋯ Remember: α = − 3 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n α = − 2 . 9 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 9 + ⋯ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 17 / 19

  73. The term from Ebert and van Saarloos Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] , and pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 Bramson’s term to get the ǫ term right iff ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) n < ∞ : ⇔ 2 γ c ln t + O( 1 ) 3 2 ln n +O ( 1 ) 3 t n = n v c + µ t = v c t − γ c v c Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ 3 2 ln n + C For t n = n exactly: v c + γ c v c α = − 3 . 1 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + c ǫ 2 + k ǫ 2 . 1 + ⋯ Remember: α = − 3 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n α = − 2 . 9 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 9 + ⋯ If α < − 3, there is no ǫ 2 ln ǫ term May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 17 / 19

  74. The term from Ebert and van Saarloos Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] , and pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 Bramson’s term to get the ǫ term right iff ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) n < ∞ : ⇔ 2 γ c ln t + O( 1 ) 3 2 ln n +O ( 1 ) 3 t n = n v c + µ t = v c t − γ c v c Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ 2 ln n + C 3 For t n = n exactly: v c + γ c v c α = − 3 . 1 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + c ǫ 2 + k ǫ 2 . 1 + ⋯ Remember: α = − 3 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n α = − 2 . 9 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 9 + ⋯ If α < − 3, there is no ǫ 2 ln ǫ term 2 ln n + C + K + o ( 1 ) 3 √ n The only way to get rid of it is to pick t n = n + v c γ c v c May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 17 / 19

  75. The term from Ebert and van Saarloos Ψ ( λ ) ∶= ∑ h 0 ( n ) e λ n = e λ + 1 [ 2 ∑ 1 e λ [ n − v ( λ ) t n ] − e λ ] , and pick λ = γ c − ǫ n ≥ 1 n ≥ 1 Bramson’s term to get the ǫ term right iff ∑ n ≥ 1 h 0 ( n ) n < ∞ : ⇔ 2 γ c ln t + O( 1 ) 3 2 ln n +O ( 1 ) 3 t n = n v c + µ t = v c t − γ c v c Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ 2 ln n + C 3 For t n = n exactly: v c + γ c v c α = − 3 . 1 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + c ǫ 2 + k ǫ 2 . 1 + ⋯ Remember: α = − 3 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 2 ln ǫ + ⋯ If h 0 ( n ) ∼ An α e − γ c n α = − 2 . 9 ∶ Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + k ǫ 1 . 9 + ⋯ If α < − 3, there is no ǫ 2 ln ǫ term 2 ln n + C + K + o ( 1 ) 3 √ n The only way to get rid of it is to pick t n = n + v c γ c v c This is the van Saarloos term, present iff Ψ ( γ c − ǫ ) = a + b ǫ + o ( ǫ 2 ln ǫ ) (which is nearly the same as ∑ n h 0 ( n ) e γ c n n 2 < ∞ ) . May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 17 / 19

  76. √ Thank you for listening! µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + K ln t + O( 1 t ) c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 γ 5 2 γ c t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 3 e γ c x < ∞ May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 18 / 19

  77. √ Thank you for listening! µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + K ln t + O( 1 t ) c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 γ 5 2 γ c t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 3 e γ c x < ∞ By matching singularities in a model on the lattice É. Brunet and B. Derrida, An exactly solvable travelling wave equation in the Fisher-KPP class , Journal of Statistical Physics 2015, 161 (4), 801. May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 18 / 19

  78. √ Thank you for listening! µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + K ln t + O( 1 t ) c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 γ 5 2 γ c t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 3 e γ c x < ∞ By matching singularities in a model on the lattice É. Brunet and B. Derrida, An exactly solvable travelling wave equation in the Fisher-KPP class , Journal of Statistical Physics 2015, 161 (4), 801. Second approach, by computing some expectation of Brownian paths J.Berestycki, É.Brunet, S.C.Harris and M.I.Roberts, Vanishing corrections for the position in a linear model of FKPP fronts , Comm. in Mathematical Physics 2017, 349 , 857 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 18 / 19

  79. √ Thank you for listening! µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + K ln t + O( 1 t ) c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 γ 5 2 γ c t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 3 e γ c x < ∞ By matching singularities in a model on the lattice É. Brunet and B. Derrida, An exactly solvable travelling wave equation in the Fisher-KPP class , Journal of Statistical Physics 2015, 161 (4), 801. Second approach, by computing some expectation of Brownian paths J.Berestycki, É.Brunet, S.C.Harris and M.I.Roberts, Vanishing corrections for the position in a linear model of FKPP fronts , Comm. in Mathematical Physics 2017, 349 , 857 Third approach, by matching singularities in a model in the continuum J.Berestycki, É.Brunet and B. Derrida, Exact solution and precise asymptotics of a Fisher-KPP type front , https://arxiv.org/abs/1705.08416 May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 18 / 19

  80. √ Thank you for listening! µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + K ln t + O( 1 t ) c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 γ 5 2 γ c t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ if ∫ d x h 0 ( x ) x 3 e γ c x < ∞ By matching singularities in a model on the lattice É. Brunet and B. Derrida, An exactly solvable travelling wave equation in the Fisher-KPP class , Journal of Statistical Physics 2015, 161 (4), 801. Second approach, by computing some expectation of Brownian paths J.Berestycki, É.Brunet, S.C.Harris and M.I.Roberts, Vanishing corrections for the position in a linear model of FKPP fronts , Comm. in Mathematical Physics 2017, 349 , 857 Third approach, by matching singularities in a model in the continuum J.Berestycki, É.Brunet and B. Derrida, Exact solution and precise asymptotics of a Fisher-KPP type front , https://arxiv.org/abs/1705.08416 Remark: for a step initial condition, with µ t = 2 t + δ t : May the 3 rd , 2017, Paris Éric Brunet Vanishing corrections for FKPP 18 / 19

Recommend

Fronts &amp; Frontogenesis Fronts &amp; Frontogenesis In a landmark paper, Sawyer (1956) stated

Fronts &amp; Frontogenesis Fronts &amp; Frontogenesis In a landmark paper, Sawyer (1956) stated

Fronts &amp; Frontogenesis Fronts &amp; Frontogenesis In a landmark paper, Sawyer (1956) stated that although the Norwegian system of frontal analysis has been generally accepted by weather forecasters since the 1920s, no satisfactory

1.53k views • 76 slides
North West Landlords Forum Universal Credit June 2014 Universal Credit Current position

North West Landlords Forum Universal Credit June 2014 Universal Credit Current position

North West Landlords Forum Universal Credit June 2014 Universal Credit Current position Universal Credit Current position Universal Credit live in 10 sites North West Expansion Tranche 1 starts in June Trafford Bolton /

466 views • 12 slides
Atmospheric Fronts The material in this section is based largely on Lectures on Dynamical

Atmospheric Fronts The material in this section is based largely on Lectures on Dynamical

Atmospheric Fronts The material in this section is based largely on Lectures on Dynamical Meteorology by Roger Smith. Atmospheric Fronts 2 Atmospheric Fronts A front is the sloping interfacial region of air between two air masses, each of

642 views • 53 slides
WEATHER FRONTS Map Obtained from TWC COLD FRONTS We already have stated that a cold front is a

WEATHER FRONTS Map Obtained from TWC COLD FRONTS We already have stated that a cold front is a

WEATHER FRONTS Map Obtained from TWC COLD FRONTS We already have stated that a cold front is a boundary separating two air masses (a cold air mass and a warm air mass) The cold air is found behind the cold front and it advances towards the

560 views • 31 slides
Fronts in November 1998 Storm Much of the significant weather observed in association with

Fronts in November 1998 Storm Much of the significant weather observed in association with

Fronts in November 1998 Storm Much of the significant weather observed in association with extratropical storms tends to be concentrated within narrow bands called frontal zones . Fronts in November 1998 Storm Much of the significant weather

984 views • 73 slides
A new study on the vanishing ideal of a set of points with multiplicity structures Na Lei,

A new study on the vanishing ideal of a set of points with multiplicity structures Na Lei,

A new study on the vanishing ideal of a set of points with multiplicity structures Na Lei, Xiaopeng Zheng, Yuxue Ren School of Mathematics, Jilin University na.lei.cn@gmail.com 2012-10-27 A new study on the vanishing ideal of a set of points

546 views • 42 slides
Exploration gathering momentum on two fronts Connors Arc, Qld: currently drilling an

Exploration gathering momentum on two fronts Connors Arc, Qld: currently drilling an

ASX Code: ORN Exploration gathering momentum on two fronts Connors Arc, Qld: currently drilling an epithermal gold-silver system Fraser Range Nickel-Copper, WA: new phase of ground EM underway March 2015 1 Disclaimer and

528 views • 30 slides
Corrections Office of Community Corrections Division of Criminal Justice SECTION 1 State

Corrections Office of Community Corrections Division of Criminal Justice SECTION 1 State

Colorado Community Corrections Office of Community Corrections Division of Criminal Justice SECTION 1 State Statutes and Funding Role of the State in Community Corrections C.R.S 17-27-101 Establishes community corrections and its purpose

417 views • 12 slides
A Climatology of Lower Stratospheric Fronts over North America

A Climatology of Lower Stratospheric Fronts over North America

A Climatology of Lower Stratospheric Fronts over North America Hannah E. A=ard and Andrea L. Lang University at Albany, SUNY 23 September 2013

687 views • 42 slides
Universal Credit Universal Credit Universal Credit is for working-age people aged over 18 and

Universal Credit Universal Credit Universal Credit is for working-age people aged over 18 and

Universal Credit Universal Credit Universal Credit is for working-age people aged over 18 and under State Pension age. Universal Credit will replace a number of current benefits: income-based Jobseekers Allowance (JSA);

332 views • 14 slides
ADA, Corrections and Effective Communication: Lessons Learned Mid-Atlantic ADA Corrections and

ADA, Corrections and Effective Communication: Lessons Learned Mid-Atlantic ADA Corrections and

9/7/2016 ADA, Corrections and Effective Communication: Lessons Learned Mid-Atlantic ADA Corrections and Law Enforcement Network Robin Ahern , LCSW 267.428.1118 (VP) robin.ahern@prisons.phila.gov Barry Marano , ADA Coordinator 804.763.9960

509 views • 29 slides
ADA, Corrections and Effective Communication: Lessons Learned Mid-Atlantic ADA Corrections and

ADA, Corrections and Effective Communication: Lessons Learned Mid-Atlantic ADA Corrections and

9/7/2016 ADA, Corrections and Effective Communication: Lessons Learned Mid-Atlantic ADA Corrections and Law Enforcement Network Robin Ahern , LCSW 267.428.1118 (VP) robin.ahern@prisons.phila.gov Barry Marano , ADA Coordinator 804.763.9960

223 views • 19 slides
Se r vic e Awar ds August 2, 2016 Corrections Community Corrections Marie A. Eady 20 Years

Se r vic e Awar ds August 2, 2016 Corrections Community Corrections Marie A. Eady 20 Years

Orange County BCC Se r vic e Awar ds August 2, 2016 Corrections Community Corrections Marie A. Eady 20 Years Marie A. Eady 20 Years Unit Supervisor 1996: Secretary Certified and Civilian side Certified Corrections

819 views • 50 slides
Universal Acceptance Quick Guide What Does Universal Acceptance Mean? ACCEPT Universal

Universal Acceptance Quick Guide What Does Universal Acceptance Mean? ACCEPT Universal

Universal Acceptance Quick Guide What Does Universal Acceptance Mean? ACCEPT Universal Acceptance (UA) is the state where all valid domain names and email addresses are accepted, validated, stored, processed and displayed correctly and

122 views • 8 slides
Vanishing Signatures A Complete Dichotomy Rises from the Capture of . . . .. . . . .. .

Vanishing Signatures A Complete Dichotomy Rises from the Capture of . . . .. . . . .. .

. .. .. . . .. . . . . . .. . . .. . . .. .. (joint work with Jin-Yi Cai and Tyson Williams) STOC 2013 Complex Holant Heng Guo (CS, UW-Madison) June 3rd 2013 Palo Alto University of Wisconsia-Madison Heng Guo . Vanishing

851 views • 64 slides
A well-balanced reconstruction of wet/dry fronts for the shallow water equations Guoxian Chen

A well-balanced reconstruction of wet/dry fronts for the shallow water equations Guoxian Chen

A well-balanced reconstruction of wet/dry fronts for the shallow water equations Guoxian Chen Wuhan University, P.R.China Co-authors: Bollermann, Kurganov, Noelle May 24, 2014 Outline Governing Equations 1 A Central-Upwind Scheme for the

873 views • 59 slides
The vanishing gradient problem revisited: Highway and residual connections CS 6956: Deep

The vanishing gradient problem revisited: Highway and residual connections CS 6956: Deep

The vanishing gradient problem revisited: Highway and residual connections CS 6956: Deep Learning for NLP Revisiting the vanishing gradient problem Stems from the fact that the derivative of the activation is between zero and one and

543 views • 17 slides
Monte Carlo Simulations of Gravimetric Terrain Corrections Gravimetric Terrain Corrections Using

Monte Carlo Simulations of Gravimetric Terrain Corrections Gravimetric Terrain Corrections Using

Monte Carlo Simulations of Gravimetric Terrain Corrections Gravimetric Terrain Corrections Using LIDAR Data J. A. Rod Blais Dept. of Geomatics Engineering Pacific Institute for the Mathematical Sciences University of Calgary, Calgary, AB y

409 views • 20 slides
EXCHANGE POSITION - DEFINITION THE EXCHANGE POSITION, OR CURRENCY POSITION AS IT IS CALLED

EXCHANGE POSITION - DEFINITION THE EXCHANGE POSITION, OR CURRENCY POSITION AS IT IS CALLED

Chapter No. Page No. 25 432 International Finance EXCHANGE POSITION EXCHANGE POSITION - DEFINITION THE EXCHANGE POSITION, OR CURRENCY POSITION AS IT IS CALLED OF A BANK IS THE POSITION FROM ITS DAYS PURCHASES AND SALES, BOTH

304 views • 8 slides
Position Management across the UMass System Why Position Management? 2017 What is Position

Position Management across the UMass System Why Position Management? 2017 What is Position

Position Management across the UMass System Why Position Management? 2017 What is Position Management? Position Management is a campus driven strategic tool that provides transparency around positions and their respective funding. Position

638 views • 9 slides
Department of Corrections Budget Hearing February 10, 2014 South Dakota Department of Corrections

Department of Corrections Budget Hearing February 10, 2014 South Dakota Department of Corrections

Agency Presentation - DOC - FY15 Thursday, February 06, 2014 4:53 PM Department of Corrections Budget Hearing February 10, 2014 South Dakota Department of Corrections Staff Present: Dennis Kaemingk Cabinet Secretary Laurie Feiler Deputy

638 views • 44 slides
Climatology of Fronts and Associated Surface Baroclinic Zones in the Great Lakes Region Melissa

Climatology of Fronts and Associated Surface Baroclinic Zones in the Great Lakes Region Melissa

Climatology of Fronts and Associated Surface Baroclinic Zones in the Great Lakes Region Melissa Payer Department of Atmospheric and Environmental Sciences University at Albany/SUNY Richard Maliawco Meteorology Department Lyndon State College

211 views • 19 slides
Position Manage me nt Position Management Age nda Overview of Position Management

Position Manage me nt Position Management Age nda Overview of Position Management

Position Management Position Manage me nt Position Management Age nda Overview of Position Management Walk-through of the system changes in Recruiting Solutions Reporting Next Steps Position Management What is Position Manage

454 views • 23 slides
Arizona Department of Corrections March 5, 2016 Nicole Taylor, J.D., Ph.D. Arizona Department

Arizona Department of Corrections March 5, 2016 Nicole Taylor, J.D., Ph.D. Arizona Department

Arizona Department of Corrections March 5, 2016 Nicole Taylor, J.D., Ph.D. Arizona Department of Corrections VISION Safer communities through effective corrections . MISSION To serve and protect the people of Arizona by securely

652 views • 41 slides

More recommend