Unicast Conjecture in Network Coding Zongpeng Li What is - PowerPoint PPT Presentation

A ¡Reduc(on ¡Approach ¡to ¡the ¡Mul(ple-­‑ Unicast ¡Conjecture ¡in ¡Network ¡Coding Zongpeng ¡Li

What ¡is ¡Network ¡Coding? • Encoding ¡data ¡during ¡a ¡ mul(-­‑hop ¡transmission ¡ – mul(ple ¡unicasts ¡ – mul(cast

Coding ¡Advantage • Improve ¡throughput ¡for ¡mul(cast

Coding ¡Advantage • Improve ¡throughput ¡for ¡mul(ple-­‑unicast s1 s2 a b a+b a b t1 t2

Coding ¡Advantage • Save ¡bandwidth ¡ – Network ¡Coding: ¡9 ¡bits ¡ b a – Rou(ng: ¡10 ¡bits s2 s1 a+b a b t2 t1

Network ¡Models Directed ¡Networks Undirected ¡Networks • Not ¡necessarily ¡bidirec(onal ¡ • Bidirec(onal ¡ • A ¡pair ¡of ¡reverse ¡links ¡each ¡ • Capacity ¡can ¡be ¡freely ¡ has ¡its ¡own ¡capacity allocated ¡to ¡two ¡direc(ons 2 5 3 6 4 6 4 4 4

Coding ¡Advantage ¡in ¡Undirected ¡ Networks • Improve ¡throughput ¡for ¡mul(cast ¡ – Up ¡to ¡a ¡bounded ¡factor ¡ • Network ¡Coding: ¡2 ¡bps ¡ • Rou(ng: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡1.875 ¡bps ¡ LeVer: ¡0.25bps; ¡Number: ¡0.125bps

Coding ¡Advantage ¡in ¡Undirected ¡ Networks • Reduce ¡cost ¡for ¡mul(cast Rou(ng: ¡ ¡4.64 Network ¡Coding: ¡ ¡4.57

Mul(ple-­‑Unicast ¡+ ¡Undirected ¡ Networks? s 1 s 2 s 1 s 2 a1 a b a1 b1 b1 a+b a b b1 a2 a1 b2 a2 a+b a2 a+b b2 b2 t 2 t 1 t 2 t 1 ¡ ¡ ¡ ¡Coding ¡advantage ¡vanishes!

Another ¡Example a b c a b c a1 b2 c1 a b b c b1 c1 c1 c1 b2 c a+b a b+c a1 b1 c2 a2 b2 a+b a1 c1 c2 a+b b1 b+c c2 c2 a1 a+c b+c a+b+c b2 b1 a2 a2 b1 a2 a1 a2 c2 b2 c c b a b a

The ¡Conjecture In ¡terms ¡of ¡improving ¡throughput ¡or ¡saving ¡ bandwidth, ¡Network ¡coding ¡has ¡no ¡advantage ¡ over ¡rou(ng ¡for ¡mul(ple ¡unicast ¡sessions ¡in ¡ undirected ¡networks. ¡[Li ¡and ¡Li ¡2004]

Comments • Mitzenmacher ¡: ¡No.1 ¡of ¡seven ¡open ¡problems ¡in ¡ network ¡coding ¡(2007) ¡ • Chekuri ¡: ¡“bold ¡conjecture”, ¡the ¡problem ¡of ¡fully ¡ understanding ¡network ¡coding ¡for ¡mul(ple ¡unicast ¡ sessions ¡is ¡s(ll ¡“wild ¡open”. ¡ • Adler ¡: ¡“arguably ¡the ¡ ¡most ¡important ¡open ¡problem ¡ in ¡the ¡field ¡of ¡network ¡coding” ¡(2006) ¡ • The ¡conjecture ¡implies ¡an ¡affirma(ve ¡answer ¡to ¡a ¡28-­‑ year-­‑old ¡open ¡problem.

Verified ¡Cases • 2 ¡unicast ¡sessions ¡ • Terminal ¡co-­‑face ¡planar ¡networks ¡ • Complete ¡networks ¡with ¡uniform ¡link ¡length ¡ • Grid ¡networks ¡with ¡uniform ¡link ¡length ¡and ¡ aligned ¡source-­‑receivers ¡ • Each ¡source ¡is ¡closer ¡to ¡its ¡receiver ¡than ¡other ¡ receivers

Verified ¡Cases s 2 t 4 • Okamura-­‑Seymour ¡ s 3 t 2 Network ¡(K 3,2 ) ¡ s 1 t 1 • Hu’s ¡3-­‑commodity ¡ network ¡ s 4 t 3 s 2 • Complete ¡bipar(te ¡ networks ¡with ¡ s 3 s 1 t 1 t 3 uniform ¡link ¡length t 2

� Overview ¡of ¡our ¡reduc(on ¡approach Undirected)Networks � Decompose � Theorem)2:))when)&)how)to)decompose � … � … � Atom) Networks � Require) Cut6set) ? � Coding? � Bound:)No � Theorem)1:)No � Assemble � Theorem)3:)No)need)to)code)in)networks)that) can)be)decomposed)into)these)atoms)networks. � �

Highlights ¡of ¡our ¡results • Generalize ¡proofs ¡of ¡verified ¡cases ¡ • Prove ¡the ¡conjecture ¡for ¡up ¡to ¡6 ¡nodes ¡& ¡most ¡ 7-­‑node ¡networks ¡ • Find ¡an ¡interes(ng ¡example ¡where ¡new ¡ techniques ¡may ¡be ¡necessary ¡

Cost ¡Domain • Link ¡capacity ¡is ¡ignored ¡ • Each ¡link ¡is ¡assigned ¡with ¡a ¡non-­‑nega(ve ¡ length ¡ l e ¡ • Let ¡ f e ¡denote ¡the ¡amount ¡of ¡informa(on ¡ transmiVed ¡on ¡link ¡ e ¡ • Cost: ¡ Σ e ¡f e ¡l e

Rela(ons ¡Between ¡Cost ¡Domain ¡and ¡ Throughput ¡Domain

The ¡conjecture ¡in ¡Cost ¡Domain

Basic ¡Techniques ¡-­‑-­‑ ¡inequali(es • Cut-­‑set: ¡a ¡set ¡of ¡edges ¡dividing ¡nodes ¡into ¡two ¡ parts ¡ • Cut-­‑set ¡bound: ¡ ¡ F ∑ ∑ f e H ( X i ) ≥ e ∈ F i ∈ Sep ( F )

Example ¡for ¡the ¡cut-­‑set ¡bound s1 s2 F 1 t1 t2 F 2 F 3 • Unit ¡link ¡length ¡ • For ¡each ¡cut-­‑set ¡ F j : ¡ ∑ f e ≥ H ( X 1 ) + H ( X 2 ) e ∈ Fj ∑ • Sum ¡up: ¡ f e ≥ 3 H ( X 1 ) + 3 H ( X 2 ) e ∈ E

� Overview ¡of ¡our ¡reduc(on ¡approach Undirected)Networks � Decompose � Theorem)2:))when)&)how)to)decompose � … � … � Atom) Networks � Require) Cut6set) ? � Coding? � Bound:)No � Theorem)1:)No � Assemble � Theorem)3:)No)need)to)code)in)networks)that) can)be)decomposed)into)these)atoms)networks. � �

An ¡observa(on ∑ • Under ¡the ¡condi(on ¡ f e ≥ H ( X 1 ) + H ( X 2 ) e ∈ F 2 Network ¡coding ¡is ¡necessary ¡in ¡G 1 ¡iff ¡it ¡is ¡ necessary ¡in ¡G 2 ¡ s2 s1 s2 s1 Contract ¡ edges ¡in ¡F 2 t2 t1 t1 t2 F 2 G 1 G 2

Generalize ¡the ¡idea • Cut-­‑set ¡ à ¡Arbitrary ¡edge ¡set ¡F ¡ • The ¡problem ¡is ¡about ¡the ¡condi(on: ∑ f e ≥ H ( X 1 ) + H ( X 2 ) e ∈ F 2 ∑ ∑ H ( X i ) f e ? ≥ e ∈ F i

An ¡Equivalent ¡form ¡of ¡the ¡conjecture

Explana(on • An ¡edge ¡set ¡ F ¡decomposes ¡G ¡in ¡to ¡G/F ¡and ¡G/F. ¡ s2 s1 s2 s1 Decompose t2 t1 t2 t1 F 2 s1 s2 t2 t1

• As ¡long ¡as ¡the ¡decomposi(on ¡preserves ¡the ¡distance ¡ between ¡each ¡pair ¡of ¡source-­‑receiver: ¡ • Network ¡coding ¡is ¡unnecessary ¡in ¡G/F ¡and ¡G/F ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ è ¡it ¡is ¡unnecessary ¡in ¡G. ¡ – Cost ¡of ¡Network ¡Coding: ¡ ¡ ∑ ∑ ∑ f e f e f e = + – Cost ¡of ¡Rou(ng: ¡ ¡ e ∈ E e ∈ F e ∈ F ∑ ∑ ∑ d G ( s i , t i ) H ( X i ) d G / F ( s i , t i ) H ( X i ) d G / F ( s i , t i ) H ( X i ) = + ¡ ¡ ¡ ¡ i i i

When ¡there ¡exists ¡a ¡decomposi(on s • An ¡example ¡ t – d G (s,t) ¡= ¡2 ¡ – d G/F (s,t) ¡=d G/F (s,t) ¡= ¡0 ¡ • A ¡path ¡ p ¡in ¡ G ¡ à ¡ F ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡length ¡| p ¡ ¡ ¡ F | ¡in ¡G/F ¡ ∩ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡length ¡| p ¡ ¡ ¡ F | ¡in ¡G/F ¡ ∩ • There ¡exist ¡two ¡shortest ¡paths ¡p 1 ,p 2 ¡in ¡G: ¡ | p 1 ¡ ¡ ¡ ¡ F |≠| p 2 ¡ ¡ ¡ ¡ F | ¡ ∩ ∩

When ¡there ¡exists ¡a ¡decomposi(on s • Another ¡example ¡ • Observa(on: ¡ t F – Non-­‑shortest ¡paths ¡have ¡some ¡ 1 ¡> ¡0 ¡+ ¡0 redundancy ¡ scale ¡up ¡link ¡ – Shortest ¡paths ¡intersect ¡F ¡the ¡ length minimum ¡(me ¡ 2 ¡= ¡2 ¡+ ¡0

When ¡there ¡exists ¡a ¡decomposi(on Theorem ¡2 ¡ If ¡there ¡is ¡an ¡edge ¡set ¡F ¡that ¡is ¡compa(ble ¡with ¡ all ¡sessions, ¡there ¡exists ¡a ¡decomposi(on. ¡

� Overview ¡of ¡our ¡reduc(on ¡approach Undirected)Networks � Decompose � Theorem)2:))when)&)how)to)decompose � … � … � Atom) Networks � Require) Cut6set) ? � Coding? � Bound:)No � Theorem)1:)No � Assemble � Theorem)3:)No)need)to)code)in)networks)that) can)be)decomposed)into)these)atoms)networks. � �

When ¡the ¡cut-­‑set ¡bound ¡is ¡insufficient s 2 • Intui(vely, ¡we ¡need ¡to ¡combine ¡ b several ¡ f e ¡to ¡show ¡that ¡their ¡sum ¡ X ab s 1 is ¡no ¡less ¡than ¡some ¡H(X i ). ¡ X ba t 1 a d f ab + f ac ≥ H ( X 1 ) X ac X ca c t 2 • Consider ¡the ¡following ¡solu(on: ¡ X ab = X bd = X 1 X ba = X ac = X 2 • LHS: ¡ ¡ f ab = H ( X ab ) + H ( X ba ) f ab + f ac = H ( X 1 ) + 2 H ( X 2 ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ f ac = H ( X ac ) + H ( X ca ) Loss!

A ¡Finer ¡Technique ¡-­‑-­‑ ¡Informa(on ¡Inequality • Use ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡instead ¡of ¡the ¡combined ¡ H ( X uv ), H ( X vu ) version ¡ ¡ f uv Flexible! • Submodularity ¡ H ( A ) + H ( B ) ≥ H ( A ∪ B ) + H ( A ∩ B ) Might ¡save ¡ – Here ¡ A,B ¡are ¡sets ¡of ¡variables ¡ X i ¡, ¡X uv ¡ some ¡loss!